中澳数学教科书习题比较研究:以人教版和HMZ 8年级教科书为例

吴立宝

（1．北京师范大学 数学科学学院，北京 100875；2．内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641100）

1 问题提出

习题作为数学教科书的一个重要组成部分，有着巩固和深化新知、补充与延伸新知、综合运用新知、领悟数学思想方法、诊断反馈补救与育人等功能．在数学教科书的编写上，一个重要的环节就是建立配套的例习题体系，其在数量、水平、风格和侧重点上的差异既反映着一个国家数学教科书的整体水平、风格和倾向，也对具体的数学教学实践产生了不可忽视的影响．毕竟无论学生数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得，还是学生智能的培养和发展，都必须通过习题的解决来实现．因此选择中国和澳大利亚两个国家8年级数学教科书中的习题作为研究对象，以期对中国数学教科书习题编写与使用提供参考与借鉴．

2 研究设计

2.1 研究对象

在中国，人民教育出版社出版的初中数学教科书使用面最广，因此选取现行的人民教育出版社2008年出版的初中《数学》[1]（8年级上册与下册）教科书（以下简称PEPM）为代表．PEPM教科书正文部分包含着 10章30节：上册177页，下册155页，合计332页，其包含练习、习题与复习题为研究对象（练习、习题、复习题统称习题）．

澳大利亚是一个实行联邦制的多元文化移民国家，共有6个州两个领地，6个州包括昆士兰州、维多利亚州、新南威尔士州、南澳、西澳、塔斯马尼亚州；两个领地则是北方领地和首都领地，没有全国统一的数学教科书．选择在维多利亚州广泛使用的培生（Pearson）出版集团出版的Heinemann Maths Zone 7-10 VELS Enhanced教科书，以Heinemann Maths Zone 8：Enhanced（以下简称 HMZ）[2]为代表．HMZ正文部分包含着11章89节，共计535页（不包括答案 56页），其教科书的课后习题与复习题为研究对象．

2.2 研究问题

主要从习题数量、类型、难易程度等3个方面来统计数据，依次推断中国与澳大利亚整个初中阶段的数学教科书习题配置情况、难易情况等．

对于习题数量，首先分门别类来统计，以大题为主；其次，统计大题包含的小题数量，了解两个国家习题的总量水平．

对于习题类型，主要分为选择题、是非题（或者判断题）、填空题、计算题、证明题、解答题等6种，凡是不能明确判断为前5种的全部归为解答题，譬如有些开放性的题目、学生动手操作的题目、画图、应用题等都作为解答题来统计．在澳大利亚HMZ教科书中没有区分“Calculate”与“Evaluate”，都作为计算题，对于习题类型统计按照大题来算，因为对同一道题目而言，类型一般是相同的．

对于习题的难易程度主要从包含知识点个数、背景、运算、数学任务（题目本身要求水平）等方面进行刻画，具体指标见表1．在知识点个数统计上由于中澳8年级数学教科书内容差异太大，澳大利亚主要以数学教科书中的1～2小节为准来统计，对于中国 PEPM 的节次按照教科书的练习为间隔来划分．背景主要分为无背景、个人生活背景、公共生活背景、科学背景4类，纯粹的数学问题算归到无背景之中，其中对于个人生活背景，主要是以学生个人生活经历相关的背景．运算分为无运算、数字运算、符号运算（带有字母）、复杂符号运算（主要指公式的逆用、灵活运用等）．数学任务主要分为记忆性、无联系的程序性、有联系的程序型、做数学4类，具体评价指标说明参照文[3]．

表1 习题难易程度量化指标表

上面分项讨论各个子指标的基本数据，根据赋值情况，使用公式：

其中di依次分别表示知识点数量、背景、运算和数学任务等因素的取值；表示第i个难度因素的第j个水平的权重；表示一组题目中属于第i个难度因素的第j个水平的题目的个数，其总和等于该组题目的总数n[4]．

2.3 研究方法

基于中国与澳大利亚选定的两套数学教科书的文本材料，以文本质性分析和比较研究为主要研究方法．

3 研究结果

研究表明，中澳两个国家两套8年级数学教科书的习题无论是数量、类型，还是难易程度等方面同中有异，其具体结果如下．

3.1 相 同 点

3.1.1 习题均分3类且比例大致相同

中国与澳大利亚这两套数学教科书都对习题按照其要求进行了适当分类．澳大利亚HMZ数学教科书不管是习题（Exercise）还是复习题（Chapter review）（排除前面的知识小结与个人学习活动）都分为技能（Skills）、应用（Applications）、分析（Analysis）3类，其题目数量分别是542、447、165，占总习题数量的百分比分别为46.7%、38.5%、14.2%．在中国PEPM教科书正文中穿插了部分小练习，除此之外，对习题以及各章复习题也分为3类：复习巩固、综合运用、拓广探索3类，其各类习题数量分别是185、148、79，占教科书习题总量的百分比分别是 44.9%、35.9%、19.2%．虽然中澳8年级数学教科书3部分习题数量差异是显著的，譬如综合应用类习题，澳大利亚HMZ是中国PEPM教科书的3倍，但是3类习题数量占各自国家教科书习题总量的百分比还是比较吻合的，基本维持在46%、36%、18%左右．

此外，中澳8年级数学教科书各章复习题的数量之和分别是121道、191道，其占总习题的百分比分别是20.9%、16.5%，相差4.4个百分点，可以看出复习题的总量在20%左右．

3.1.2 习题类型基本相同

中国PEPM教科书与澳大利亚HMZ教科书有5种相同类型习题，分别是填空题、判断题、选择题、计算题、解答题，澳大利亚教科书缺少证明题．从分布来看，中澳两套数学教科书中习题最多的是解答题，占习题总量的比例分别为67.7%与 69.5%，基本相同，非常接近；其次是计算题，澳大利亚HMZ教科书计算题占习题总量的17%，比重高于中国PEPM教科书计算题的比重12.3%．从教科书可以看出，澳大利亚 HMZ在 8年级比较注重学生数学运算能力的培养，运算在8年级占有相当大的比重，花费较多的时间和精力去学习和掌握关于运算的一些知识和技能，其部分内容在中国相当于小学5、6年级所学知识．其他3种类型数量较少，占据比重偏少，差异较大，譬如澳大利亚HMZ教科书选择题的数量有121道，占教科书比重达到10.4%，远高于中国PEPM教科书的0.9%，为中国教科书习题编写类型分布提供参考．

3.2 不 同 点

3.2.1 澳大利亚习题总量远超中国PEPM

从习题数量上，中国PEPM 8年级上下册教科书有579道题目，而澳大利亚HMZ 8年级教科书有1 160道，是中国 PEPM 教科书的两倍多，表明澳大利亚数学教科书的习题数量远大于中国数学教科书，也从一个侧面说明中国学生负担重，数学教科书不是主要原因．由于每道习题又包含若干道小题，从小题数量来看，中国PEPM教科书有1 005小题，而澳大利亚HMZ教科书小题数量达到4 725道，是中国教科书的4.7倍．在澳大利亚HMZ教科书每道题目包含的小题数目多，甚至于个别习题会包含26道小题，一般分析类型的习题也是有3～6小问，层层铺垫，在某种程度上降低了其难度．

3.2.2 澳大利亚HMZ习题缺少证明题

纯粹的证明题在澳大利亚 HMZ教科书中没有明确出现，一方面说明澳大利亚HMZ教科书对几何推理证明要求较低，至少在8年级是如此，并且几何知识内容仅安排一章；另一方面说明学生推理能力的培养并不仅仅限于证明题，实际上在计算、解答题中都隐含推理成分．相比较而言，中国PEPM教科书中有53道证明题，是明确写明“证明”或者“求证”，占习题总量的 9.2%，对于推理论证能力的要求从形式上来看是中国PEPM教科书的要求高于澳大利亚HMZ教科书，尤其是重视演绎推理的训练，这也是中国数学教科书一贯的传统——重视推理能力的培养，毕竟具有一定推理能力是培养学生数学素养的重要内容，也是最重要的载体．

3.2.3 澳大利亚习题背景水平略高

在习题的背景上，澳大利亚与中国教科书一个共同的特点就是：超过一半以上的习题没有任何背景，澳大利亚HMZ教科书占51.9%，而中国PEPM教科书更多，占70.3%．澳大利亚 HMZ教科书习题有 217道来自于学生个人生活背景，315道来自公共生活背景，有27道来自科学背景，而中国教科书56道个人生活背景，105道公共生活背景，11道科学背景，主要涉及物理、化学等学科知识．采用上面公式得到：中国PEPM教科书习题的背景水平平均值为1.48，澳大利亚 HMZ教科书习题背景平均值为 1.78，具体见图1．相对而言说明澳大利亚 HMZ数学教科书比中国 PEPM教科书更加关注学生的个人生活背景与公共生活背景，科学背景比重基本持平的．如果忽视知识与学生的情境的联系，学生难以形成在任何生活情境下的数学表征习惯，容易限制学生学会数学化处理事物的方法[5]．

3.2.4 中国PEPM教科书习题难度大于澳大利亚HMZ教科书根据上面公式计算难度获得其比较的折线图，如图1.

图1 中澳习题难易程度比较

在知识点数量上，澳大利亚HMZ教科书习题有862道仅包含1个知识点，282道包含2个知识点，14道包含3个知识点，2道包含4个知识点；而中国PEPM教科书习题579道题，有217道包含1个知识点，284道包含2个知识点，67道包含3个知识点，9道包括4个以上知识点．相比较而言，澳大利亚HMZ教科书习题更多的是单一知识点设置的，习题平均知识点含量为 1.25，中国 PEPM 教科书习题平均知识点含量为 1.76，中国 PEPM 教科书习题平均知识点含量高于澳大利亚HMZ教科书40.8%．

在习题运算方面上，采用上面公式得到：中国PEPM教科书习题的运算平均值为2.07，澳大利亚HMZ教科书习题运算平均值为2.01，中澳两个国家两套数学教科书在习题运算上要求基本相同．进一步探究发现中国PEPM8年级数学教科书更多的习题是字母运算，占习题总量的39.1%，毕竟字母运算相对数字运算抽象程度更高，对学生难度更大．此外证明题没有涉及运算，降低了平均值．而澳大利亚数学教科书字母运算占习题总量的25.5%，澳大利亚数学教科书数字运算习题有616道，占到53.1%，没有证明题．因此虽然习题总体运算平均值比较接近，但是中国 PEPM 教科书习题运算水平上高于澳大利亚．

根据数学任务方面，中国习题要求水平明显高于澳大利亚教科书，平均为2.36．而澳大利亚教科书习题要求水平为1.90，中国教科书高于澳大利亚．但是，澳大利亚部分教科书习题设问巧妙，层层铺垫，逐渐引申到高等数学背景，乍看很难，仔细一思考，原来可以在学生原有的知识点上生根发芽，长出新枝，是在学生的可接受水平上的．此外，对于习题的开放性方面简单统计，中国 PEPM 教科书封闭型问题占到96%，澳大利亚HMZ教科书90%．澳大利亚更多的是让学生举例来说明问题．

综上，澳大利亚HMZ教科书习题难度低于中国PEPM教科书难度水平．

4 几点讨论

4.1 中国与澳大利亚数学教科书重视双基

澳大利亚和中国一样，小学和初中属于义务教育．澳大利亚HMZ教科书和中国数学教科书一样，习题内容的设计重在基础，重在通性、通法的掌握，这一点是相通的．在数量上，澳大利亚HMZ教科书明显多于中国PEPM教科书．在澳大利亚教科书中有47%的习题属于技能类型，这部分习题主要以学生掌握基础知识、形成基本技能为主，尤其是运算能力的培养，为学生巩固概念或者重要的公式、法则而设置的，都是属于基础试题．澳大利亚HMZ教科书习题包含的知识点数量平均为1.25，比较单一，总体来说综合性问题少，属于Solo学习分类的单一结构水平．

4.2 中国与澳大利亚重视数学应用

总体而言，中国与澳大利亚这两套数学教科书都比较重视数学应用，与澳大利亚维多利亚州必备学习标准2008年修订版（Victorian Essential Learning Standards, Revised Edition January2008）课标要求是一致的[6]．在中国 PEPM教科书明确用“综合应用”来区分，在澳大利亚HMZ教科书明确用“Applications（应用）”，并且中澳这两部分习题数量占各自习题总量的比重分别为36%与38.5%．从习题设置的背景来看，澳大利亚HMZ教科书习题比中国数学教科书更加关注学生的个人生活背景与公共生活背景，科学背景比重基本持平．虽然中国 PEPM 数学教科书相比以前有很大改观，但是相对澳大利亚HMZ教科书，其背景设置方面略显单一．澳大利亚数学课程重点在于发展日趋复杂和精准的数学理解、熟练程度、逻辑推理、分析思考过程，以及问题解决技能，使得学生能够通过应用数学策略做出明智的决定，并高效的解决数学问题，以应对熟悉或陌生的环境[7]．

4.3 澳大利亚习题设问更加巧妙

澳大利亚HMZ教科书的“Skills”（技能）中大多数的习题是模仿教科书的例题，或者教科书概念与命题的简单应用与巩固，水平较低．但是在“Applications”（应用）“Analysis”（分析），尤其是“Analysis”中有不少习题设问非常巧妙：起点低，坡度小，逐步拔高，螺旋上升，到最后涉及一些高等数学知识．譬如8年级习题涉及到了无理数的连分数逼近、欧拉公式、握手定理、邮路问题等．这些问题若单看最后一问，肯定比较难，但是在层层铺垫下又觉得导出这样的结果是顺其自然，让学生慢慢欣赏到数学推理的美，“确保所有学生能在经历数学推理的过程中受益，并能够创造性地、高效地运用他们的理解力”[8～9]．对于推理能力的培养未必单靠证明来进行，这个是中国学者在教材编写以及课堂教学中需要加以借鉴的．

4.4 澳大利亚更适合学生学习

澳大利亚HMZ教科书的习题从难易程度来看，相对中国而言，难度较低，而阶梯又多，适合学生自学．有相当部分习题学生可以通过自己看书模仿例题而加以解决．究其原因，澳大利亚教科书例题全部有非常详细的分析以及对应解答，为习题解答提供非常好的范本和样例，尤其是技能部分习题．而“分析”部分习题，设问较多，降低了难度．在这个过程中，可以帮助学生成为自我激励、充满自信的学习者，使其有信心学好数学．因此要使学生乐学、好学，仅仅依赖教师的教学智慧是不够的，承载教学内容的教科书必须具备吸引学生主动探究、发现的品质．

4.5 澳大利亚教科书更加重视计算机（器）

在澳大利亚HMZ数学教科书，有整个一章的内容是有关使用计算器来学习的，而中国只有个别习题要求使用，并且数量较少，只有几道，对于信息技术差距要求方面还是非常大的．在澳大利亚 HMZ教科书明确规定使用 TI-Nspire CAS或Classpad图形计算器，其功能更强大，这些也渗透在习题的解答过程中．现在，随着现代科技的发展，掌握必备的信息技术是必须和必要的，数字技术的发展不仅对数学思想的发展有所贡献，还为数学中的探究活动提供了新的工具支持．例如无理数的连分数逼近问题，在中国教科书适当增加数字技术的使用，增强利用信息技术作为工具解决问题的设计．

中国与澳大利亚两套数学教科书的习题在数量、类型、难易程度等方面虽然有异同，但是编写出发点都是为了学生的发展，这是一致的．如何保留中国数学教科书的传统优势，又要跟上国家数学课程改革潮流，不断完善中国的数学教科书编写，是一个不断值得研究的问题．

[1]课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．义务教育课程标准实验教科书·数学（八年级上册）[M]．北京：人民教育出版社，2008．

[2]David Coffty. Heinemann Maths Zone 8: Enhanced [M]. Port Melbourne: Pearson, 2008.

[3]Stein M．实施初中数学课程标准的教学案例[M]．李忠如译．上海：上海教育出版社，2001．

[4]范良火，黄毅英，蔡金法，等．华人如何学习数学（中文版）[M]．南京：江苏教育出版社，2005．

[5]孙旭花．问题变式：中国数学教材问题设计之特色[J]．数学教育学报，2012，21（3）：54-59．

[6]康玥媛，曹一鸣，Xu Li-hua，等．中、澳、芬数学课程标准中内容分布的比较研究[J]．教育学报，2012，8（1）：62-66．

[7]康玥媛．澳大利亚全国统一数学课程标准评析[J]．数学教育学报，2011，20（5）：81-85．

[8]曹一鸣．十三国数学课程标准评介[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[9]Max Stephens，章勤琼．中澳美的经济变革与数学课程改革方向[J]．数学教育学报，2010，19（5）：4-6．