胡塞尔论形式公理系统的完全性

李义民

（九江学院思政部，江西九江 332005）

胡塞尔论形式公理系统的完全性

李义民

（九江学院思政部，江西九江 332005）

在放弃了《算术哲学》中的心理学方案后，胡塞尔在哥廷根的两个讲座中提出了一个新方案解决数学基础问题。该方案通过形式公理系统证明了想象数的有效性和实数系统形式上的一致性。其中，胡塞尔论述了一种“确定的簇”来说明算术系统的完全性，并对希尔伯特的完全性公理进行了批判。

算术哲学；胡塞尔；簇；完全性；公理化

在现象学方法论探索中，胡塞尔所关切的核心主题是数学与逻辑，这种研究被胡塞尔称为“哲学-数学的（philosophico-mathematical）研究”。二战之后，胡塞尔研究已经迅速成长为一门专学，美中不足的是，对复杂艰深的现象学方法论的兴趣使研究者们常常遗漏了胡塞尔所瞄准的科学问题。当代学者们发现，胡塞尔在1901年之前的数学基础研究也具有重要价值。

1901年冬，胡塞尔受邀在哥廷根数学学会做了两个重要讲座，相关文献被称为《两个讲座》（Doppelvortrag，下文用简称DV代替）。①《两个讲座》最早作为附件收录在胡塞尔全集第12卷《算术哲学》中。K·舒曼和E·舒曼在卢汶档案馆重新编订《两个讲座》时发现了更多的手稿，相关内容发表于2001年《胡塞尔研究》（17，pp87-123）。2003年英译本《算术哲学》收录并整合了这两部分内容。本文将探讨胡塞尔在这两个讲座中提出的簇（Mannigfaltigkeit）②胡塞尔在三种意义上使用了Mannigfaltigkeit这个词，一是字面意义“多”，二是数学中的“流形”或“簇”，三是他的哲学规定，即由若干公理所确定的形式性对象，这些对象构成一个集合。这个词的英语翻译相对简单，但也存在困难。英语中有set、multiplicity、manifold等译法，不过，该问题的主要研究者现在都译为manifold。这个词的恰当汉译较难，在《逻辑研究》中倪梁康先生的翻译是流形、杂多，李幼蒸先生在《观念I》和《形式逻辑和先验逻辑》中译为复多体、多样性。鉴于两位前辈的翻译互不一致以及该词在胡塞尔哲学中的重要性，这里试作探究，以就教方家。在使用字面意义时，胡塞尔语境中的Mannigfaltigkeit显然是多而不杂的，所以取“多样性”更合适。涉及数学意义时用流形、簇已是通译（晏成书先生翻译罗素《数理哲学导论》中的manifold用的就是簇），但流形字面上没有表达胡塞尔的哲学意义，即特定的对象域，复多体也不适合这个含义。Mannigfaltigkeit在字面上或有“重”、“复”之意，但“复多（体）”在汉语中是不好理解的。用簇似乎更契合胡塞尔的“对象域”，也兼顾了数学意义，缺点是没有直接表达“多”。所以，可以提议用簇和多样性来翻译胡塞尔文本中的Mannigfaltigkeit。簇论（Mannigfaltigkeitslehre）是胡塞尔从1890年代初开始到1920年代末长期思考的问题，在《危机》中也有论及。尽管在《观念I》和《形式逻辑和先验逻辑》等作品中，胡塞尔对簇论有更多论述和更清晰的表述，但他的主要思想在《两个讲座》中已经形成，此后没有重大改变。在1900年的《逻辑研究》第一卷中胡塞尔用“纯粹的簇论”批判逻辑心理主义。通过簇论，胡塞尔论述了一种莱布尼茨意义上的普遍数学，证明了数学基础问题，相应地也揭示了一种超越形式逻辑的纯逻辑；或者说，簇论提供了一种形式本体论和世界一般（word-in-general）的形式结构。在《形式逻辑和先验逻辑》中，胡塞尔进一步希望通过簇论揭示逻辑的终极意义。的完全性问题。关于胡塞尔的数学哲学研究，国外大致有两种方法。一种是“内在的（internal）”，即根据胡塞尔本人的思想和“语言”来阅读胡塞尔；另一种是“分析的（analytical）”，就是用分析哲学的眼光和语言来解释和建构胡塞尔的本意。本文拟采用分析的方法。

1.“基础概念”与胡塞尔早期的哲学立场。“基础”一词可以非常简洁地刻划胡塞尔终生工作的基本特征。胡塞尔哲学总是试图不断地追问问题背后的根据，或意义背后更一般的意义根源。这种带有方法论性质的反思方式无疑出自布伦塔诺，但并非与数学基础研究毫无关联，即究竟是什么东西构成了数学的可靠基础？所以在《算术哲学》（Philosophie der Arithmetik，下文用PA代替）中胡塞尔明确指出，他的算术哲学不仅仅是“计算的形而上学（Metaphysik des Kalküls）”。在PA中，胡塞尔对“基础的（Elementar或Fundamental）”与“基本的（Grund-，英译为basic）”在使用上作了区分。这种区分在德语、英语和汉语中似乎都不是实质性的，而在胡塞尔的PA文本中则是原则性的。区分之后，“基础概念（Elementarbegriffe或Fundamentalbegriffe）”一词就体现了胡塞尔与众多基础研究者，尤其是与弗雷格的根本分歧。

胡塞尔的时代是“严格化”之风劲吹的时代。这种严格化要求，数学必须首先对基本概念作明确规定，然后从概念到其他概念、从概念到命题、从命题到另一个命题和从理论到另一个理论，都不允许存在逻辑空隙，更不允许存在矛盾。1780年代，Dedekind和Peano建立的算术理论中，有1（或0）、后继、数这三个概念没有被定义。弗雷格认为这是不严格的，他在稍早的《算术基础》中则定义了所有的概念。但胡塞尔认为：“（人们）过于热衷于被设定的严格性，试图也定义一些，因为它们的基础性质既不可能也不需要定义的概念。”[1](p96)在胡塞尔看来，只有复合概念可以通过分析而被定义为其基本要素。

对弗雷格而言，算术命题不是先天综合判断，算术是纯分析的。弗雷格之所以如此自信是因为他利用了莱布尼茨的“相同置换”定义。这个定义是：“能用一事物代替另一事物而不改变真，这样的事物是相同的。”[2](p76)在《算术基础》中，为了定义数，弗雷格认为莱布尼茨的“相同（identity）”可以改换成“相等（equality）”；然后弗雷格举了一个比较直观的例子，即如何可以用直线a的平行线b的方向去定义直线a的方向。根据“相等置换”弗雷格有：

a∥b↔（a的方向=b的方向）↔a的方向是“与a平行”这个概念的外延。

类似就有：适合概念F的数是“与概念F等数的”这个概念的外延。[2](pp76-80)

此外，弗雷格还通过等价概念给出了等数概念的定义。经过一番论证，弗雷格的结论表明，基数是所有等价类的类。

在PA中，胡塞尔认为弗雷格用“相等”代替莱布尼茨的“相同”是不合适的，相等置换不能保真。同时，“相同置换”是没有根据的。如果追问“在某些或所有真判断中一个内容置换另一个内容的基础是什么”，唯一适当的回答是它们的内容相同。“每个相同的性质可以确立真值相同的判断，但真值相同的判断并不确立相同的性质”。[1](p97)弗雷格之后的语言哲学研究表明，“相同置换”并不是普遍的，这与胡塞尔的批评不谋而合。

其实，胡塞尔与弗雷格并非完全没有共同语言，他们都反对数是事物的物理属性，都认为数的客观性在于它是观念性的东西。对弗雷格而言，数是观念世界中的“对象”，数学的真与心理体验无关。胡塞尔不赞同把数理解为纯逻辑概念，认为这完全背离了数的直觉意义，即事物的数（Anzahl，基数）是一个“多少（How many）”的概念。胡塞尔接受了布伦塔诺关于物理现象与心理现象的严格区分，如果数不是可被表象的物理现象，那么就只能在心理学中分析其客观性的根据。

胡塞尔认为算术的基础概念是不能被规定的，这其实是宣告纯数学的数学基础证明是行不通的。胡塞尔的道路是，在描述心理学中反思基础概念的性质和符号方法的一般逻辑意义，在此基础上为数学奠基。

2.《算术哲学》中的难题。不过，就“以算术为数学奠基”而言，1890年前的胡塞尔与其他基础研究者是完全一致的。具体而言，当时学者要做的工作是建立严格的算术理论来论述一个一致的实数系统。这种研究都具有“还原论”性质，胡塞尔的不同仅在于他是在心理学中进行这种还原。但是在PA中，胡塞尔遇到了一个无法克服的问题。1890年，胡塞尔在给施通普夫的信中说：“在考虑教职论文中仍然指导我的观点——基数概念构成一般算术的基础——很快被证明是错的（对基数的分析已经使我清楚了这一点）。无论用什么巧妙的方法，无论什么非本真的表象，都不能从基数概念中得出负数、有理数、无理数和各种复数。对序数概念、量的概念等同样如此。”（Hua XXI，p245）

“不能从基数概念中得出负数、有理数、无理数和各种复数”，其实就是不能把实数还原为基数。我们知道，在PA中，基数是一种出自集合联合（Kollektive Verbingdung）的形式概念或范畴。基数既非物理事实（它在经验领域无对应物），也非心理事实（从而是主观表象），而是一种综合行为把任何可能的、若干个对象单元统一而成的纯形式的“多”。胡塞尔认为他在PA中对基数概念的处理是成功的，但按照这种心理学的概念分析，他无法构造出如-1、%、√2等这样的数。这些数在意识中没有预先被给予的对象，是反直观的，所以没有真实（reale）意义。在DV中，胡塞尔把基数之外的分数、负数、无理数等统称为想象数（dasäimaginäre）。

在数学史上，人们始终无法理解想象数是什么。想象数问题是当时基础研究者的共同难题，它包括想象数的本体论性质和它们在算术计算中的合法性两个方面。这个问题对逻辑主义而言，利用逻辑-数学的定义相对不难，但其背后的哲学根据却大有问题。例如，胡塞尔在DV中批判了戴德金的还原论。戴德金认为，数的建构是一个自由创造的过程，前提是在自然数的稳步扩充中，新数通过创新的定义引入，新数的计算法则尽可能服从旧的法则并在整个数域中不引起矛盾。胡塞尔认为，自然数域是封闭的，它的对象是由其概念而被严格给定的，不能通过定义而任意扩充。胡塞尔认识到，如基数、负数、有理数、无理数等，它们的意义相互矛盾，是不可“通约”的，把实数还原到自然数是不可能的。

我们知道，自然数有一种奇特的“繁殖能力”。在自然数域内，自然数的加法、乘法等运算可以无限进行并有确定的结果，但相应的逆运算却是有限的。如a-b=c，如果a＜b，则c在自然数域之外。如果要使各种逆运算是完全的，就必须造出新数，所以想象数都出自算术的逆运算。然而，想象数虽然出自自然数，但却不能通过自然数而获得清晰的说明，比如归约为自然数。自然数的这种神秘性质使数学家们深感震惊和困惑。

尽管否定了各种基础主义方案，但胡塞尔没有放弃基础主义的信念。胡塞尔还是相信想象数与自然数有某种实质性关联。如果这种关联不是意义上的，从而可以否定戴德金的创新定义方案和自己的现象学方案，那么另一可能的关联就是算术运算本身。，是开方运算把x和-a关联起来。胡塞尔意识到，运算形式作为形式之物是普遍的，算术是一种特殊的逻辑学。这样胡塞尔就找到了一个新的探索方向，但探索的过程是异常艰辛的。直到1901年受希尔伯特公理化方法的影响，胡塞尔才提出了一个新方案：在形式公理系统中论证想象数的合法性，从而保证它们既不属于自然数但又可以是自然数的各种逆运算的确定结果。这样，数学基础问题就在于论证，在什么条件下，运用想象数的运算是有效的。这就是DV中讨论的核心问题。

3.簇论。算术运算的逻辑性质使得胡塞尔求助于形式演绎系统，这被认为是靠近了弗雷格的逻辑主义：数学的可靠性在于逻辑。但二者的共识几乎仅此而已。胡塞尔始终不认同弗雷格对基数（从而可能的对想象数）的逻辑定义，认为想象数是不存在的、无意义（指称）的。他说：“让我们考虑整数，正数和负数的公理系统。当然有一个意义。因为平方是被定义的，–a和=也是。但在整数中不存所以我不能提出这个问题：一个确定的量x满足x2=a。这是哪个量？”[3](p438-439)

弗雷格对这种观点作了激烈的批判，在他看来，对象对科学而言是本质性的东西，人们无法想象某种科学在研究不存在之物，如数学研究的是没有指称的。[4](p123)显然，弗雷格只是断定了的存在，他并不能回答究竟是什么，因为他的逻辑主义是失败的。胡塞尔认为，想象数问题出自算术的形式化，是数学从数量科学到抽象形式理论转换的产物，人们不理解想象数是因为人们对算术运算作为形式演算这种方式缺乏理解。

通过形式演绎系统反思想象数，这使胡塞尔发现了莱布尼茨所设想的普遍数学的重要价值。胡塞尔认为普遍数学是最高层次的数学，一种理论学（Theorienlehre），独立于所有具体的知识领域。

实现这种科学的方法是一般化，就是“用形式的表述代替对象的有确定内容的表述”。例如，人们在代数中用a、b等字母代替自然数就是这种方法。不仅算术、几何，而且其他各种知识领域都可以这样处理。这样，一个具体理论的知识内容全部被抽取，只剩下与原命题相对应的形式命题。每个具体命题都对应一个形式命题，每个形式命题也有相应的具体命题，一个具体理论相应地就转化为形式的命题系统。其中，一些数量有限、相互独立且不矛盾的命题是基本命题（即公理），其他的命题则是公理的逻辑后承。在这种形式理论中，它的对象域由公理通过演绎而限定在特定范围内，也就是说不是任意的。“我们称这样被规定的对象域为一个确定的、仅在形式上被规定的簇。”簇中的对象是各种形式性的对象、关系等观念物，如命题形式、命题关系等。所以，一个形式理论可以把握一类来自不同经验领域的科学理论，因为它们有相同的形式理论，而被形式化的理论就是这类理论的一个特例。相应地，胡塞尔可以明确规定“纯粹逻辑”概念，它与亚里士多德的命题逻辑的区别在于，纯粹逻辑不再处理经验的实体。

如果对某种形式理论再进行抽象，就构成普遍数学。这是一门关于演绎理论的科学，也就是关于各种簇的理论（Mannigfaltigkeitslehre）。在这个阶段，可以把各种形式理论进行系统的分类，并把一个形式理论与一类不同形式的理论系统地关联起来，从中可以引出一些重要结论。例如，公理化的欧式几何是一个三维欧式簇，是一类系统相关的不同曲率簇的一个特例。这里胡塞尔要探讨的是不同理论的结构关系，也就是理论的数学结构。通过这种结构，可以构造出其他可能的演绎系统。比如，胡塞尔认为，在纯形式领域可以用不同方式改变形式系统。如取代3维欧式几何簇，可以选择4维甚至n维，建立n维的所有几何簇，它们仍然可称为是欧式几何，因为除了维度外，公理形式没有任何本质上的改变。这样人们就找到了可以建构无限多个可能学科的形式的方法。[5](p170)由此Centrone认为，胡塞尔先于希尔伯特认识到：人们应当把证明本身视为一种数学建构和一个数学研究的对象。[6](p157)

所以，与当时弗雷格和希尔伯特的演绎系统不同，胡塞尔的簇论还研究为演绎系统奠基的形式结构。具体而言，就是研究不同簇中的概念、命题和论证形式之间的对应关系。双方更进一步的差别是，簇论不仅仅是数学方法论性质的，而且具有本体论性质。在《逻辑研究》第一卷《纯粹逻辑学导引》中，胡塞尔就是根据这种研究观念性对象和观念性事态的簇论，提出了“形式本体论”的概念，即簇的形式结构是各种科学的先天结构。在此意义上，各种知识领域之所以统称为科学，就在于它们拥有同样的结构形式。

与此相应，胡塞尔论述了一种普遍算术（arithmetica universalis）理论。以自然数为例，基本概念如“自然数”等由公理规定，而个别的自然数由“自然数”概念严格界定。如果把自然数系统公理化，那么在该系统中，不仅有其特有的公理、运算形式和运算法则，而且也有与整数、无理数等所共同的公理、运算法则和共同的算法（algorithm），这些共同的部分构成普遍算术。Hartimo认为，胡塞尔没有清晰说明各种不同算术具体的结构关系，[7](p296)在此意义上，胡塞尔的普遍算术理论是不成熟的。所以可以发现，在谈论普遍数学时，胡塞尔总是举几何学的例子。

通过簇论，胡塞尔就为证明数学基础问题搭好了脚手架。从普遍算术的观点看，即便各种不同的数在意义上不可“通约”，但它们有共同的演绎形式。也就是说，从自然数到实数等，它们有统一的形式结构和法则，从而保证全部算术是相容的。只要想象数可被定义并在形式系统中保持一致，它们就不仅在数学中是有用的，而且可以作为纯形式之物而获得某种存在性。这与胡塞尔在PA中认为基数是纯形式的，具有一致性。

4.新方案。在《形式逻辑和先验逻辑》中，胡塞尔对自己的新方案作了清晰的总结：“我最初用确定的簇这个概念是为了一个不同的目的，即为了澄清使用想象数的概念运算过程的逻辑意义……我的问题是：在什么条件下，在形式上被规定的演绎系统（一个形式上被规定的簇）中，可以使用由系统所定义的想象数概念进行自由的运算？在什么时候，这种关于运算的演绎所产生的没有想象数的命题实际上是正确的，也就是说，是规定它的公理形式的正确后承？扩充一个簇（一个被完好规定的演绎系统）到一个新的簇，把旧的簇包含其内作为一个部分，这在多大程度上是可能的？答案是：如果系统是确定的，那么运用想象数概念进行运算就永远不导致矛盾。”（Hua XVII，§31.p85）

新方案的要害是“确定的（definit）①胡塞尔在DV、《观念I》、《形式逻辑和先验逻辑》等著作中都是用“确定的definit”、“确定性Definitheit”，而不是希尔伯特用的“完全的vollstandig”、“完全性Vollstandigkeit”。簇”，即一个完全的公理系统。胡塞尔对它的规定是：“如果基于一个公理系统的每个可理解的命题，根据公理可被理解为或真或假，那么界定一个域的这个公理系统可称为是确定的。或者说，如果只有两种情况是可能的，或者命题出自公理，或者与它们矛盾。”这就表明，根据公理和矛盾律，在簇中没有任何不确定的东西，而且任何句子的真与假都由公理决定。按现代逻辑的说法就是，在公理系统A中，出自A的任何一个命题，或者是A的一个后承，或者与A矛盾，即它的否定在A的后承中。我们知道，这是演绎完全性的标准含义。简单地说，胡塞尔的新方案是：如果扩充公理系统A0得到新公理系统A1，A1是一致的且A0是确定的，那么A1的任何一个完全用A0的语言表达的后承，即没有想象数的命题，是真的。

我们知道，在算术中从任何一个初始系统A0到A1的扩充都是增加了某种想象数，如从自然数到整数增加了0和负整数，从自然数到有理数则还增加了分数，等等。这种扩充对公理集A0而言就是增加了数量有限的若干公理A+，从而保证算术中某种逆运算可以完全进行。胡塞尔认为：“A1=A0+A+且A0⊂A1，而两个系统的逻辑后承F有：FA1=FA+A+且FA0⊂FA1”[1](p439-440)

增加了公理就意味着在推理过程中增加新的前提，这必然影响逻辑结论。胡塞尔的要求是，A1的任一后承p，如果完全是用A0的语言表达，则p也要能从A0推导出来。这是可以成立的。因为A1是一致的且p在A1中成立，即p必定不与A1的任何后承矛盾，又因为FA0⊂FA1且A0是完全的，所以p在A0中必然成立。

总之，胡塞尔的结论是：一条运用想象数的道路是可允许的，（1）如果想象数能够在一个一致的、被扩充的演绎系统中被定义；（2）如果初始域被形式化后有这个性质，其下的每个命题的性质根据该域的公理或真或假。[3](p428)这样，胡塞尔就证明了想象数在形式上的合法性，也就是整个实数系统的一致性和可靠性。

上述证明要面对的一个问题是，凭什么可以断定一个初始演绎系统A0是确定的？这也是希尔伯特当时提出的问题。如果A0不是确定的，上述论证就完全失败了。对此问题，胡塞尔非常自信地反问道，“每个仅包含正整数的命题根据正整数的公理或真或假，难道我没有证明自己可以这么说吗？”（Hua XII,p445）胡塞尔的看法是，如果只考虑加法运算和相等、不等两种关系，自然数公理系统的完全性是可能的。因为，对于a+b，必有∀a∀b∃c（a+b=c）为真，在不等于c时恒假。不仅如此，胡塞尔还认为算术的完全性是自明的，因为自然数、有理数、实数等等，如果被公理系统所规定，都可以根据公理证明，每个出自公理所确立的概念所构成的命题或真或假。

值得注意的是，胡塞尔的结论与哥德尔基于Peano公理所证明的不完全性定理是互为抵触的，所以国外的一些学者试图对这个矛盾进行反思。据王浩先生介绍，哥德尔晚年对胡塞尔的公理化思想很感兴趣，但遗憾的是没有见到哥德尔的相关论述。[5](p161)

5.两种完全性。关于演绎系统的完全性，胡塞尔没有照搬希尔伯特并与希尔伯特有重要区别。希尔伯特认为，如果任意给定的一些公理及其全部后承是一致的，那么它们是真的，并且公理所定义的东西存在。但弗雷格认为，是数学理论的真决定它的一致性，而不是相反。显然，很多逻辑上一致的命题实际上是错的。[1](p445-451)胡塞尔倾向于弗雷格的立场，即数学真理的真是不容质疑的，数学中真的东西不可能相互矛盾，真决定一致性。对簇而言，公理是真的，所以与希尔伯特不同，不需要证明公理系统的一致性。只要公理系统是完全的，出自公理的后承就是真的。在《观念I》中胡塞尔仍然强调：“这个（确定的）簇的特征是，在给定的例子中，导自有关领域之本质的有限的概念和命题，以纯分析的必然性的方式完全地和无歧义地规定了该领域中所有可能构造物的全体，这样，出于本质的必然性，该领域中没有任何东西是不确定的……就一个数学的确定的簇而言，‘真的’与‘公理的形式逻辑后承’是等价的，‘假的’与‘公理的形式逻辑的反后承’等价。”（Hua III,§72.pp135-136）

这样，胡塞尔的形式演绎是从真到真的保真过程，从初始系统A0到新系统A1的扩充也是保真的。相反，希尔伯特的立场则颇显奇怪，从一致性中怎么冒出了“真”？

为建立实数的公理系统，希尔伯特在1899年的讲座“论数的概念”中第一次提出“完全性公理”。希尔伯特认为，“增加任何东西的集合到实数系统，使得在合并的集合中先前的公理被满足，这是不可能的；简单地说，也就是实数的对象系统不能以先前的公理保持有效的方式被扩充。”[8](p183)针对这种看法，胡塞尔区分了“相对确定性”和“绝对确定性”。“一个公理系统是相对确定的，如果它的存在域不接受更多的公理，但在扩充的域中，同样的公理和新公理有效。”[4](p426)

胡塞尔认为，每个确定的数学公理系统在其域内是不能扩充的，但在其域外可以有一致的扩充。例如，在自然数域内自然数不可扩充，但如果把自然数定义为整数，则在自然数外可以有一致的扩充；相应地，它的公理系统也是如此。所以，实数系统可以有一致的扩充并保持其原有公理的有效性。在此意义上，“绝对确定性明显地意味着相对确定性”。相应地，“完全性永远不是一个公理”，而是“一个确定的公理系统或簇的定理”。因为任何公理系统由于其纯分析性质，本质上都是绝对确定的（完全的），所以，可以用“一个类似于完全性公理的封闭公理”，使研究对象固定在某个特定对象域。“如果每个根据公理系统而有意义的命题局限于公理系统的域中被规定，这个公理系统是相对确定的。如果每个根据公理系统而有意义的命题是普遍被规定的，这个公理系统是绝对确定的。所以，绝对确定的=完全的，在希尔伯特的意义上。”[1](p440)胡塞尔认为，希尔伯特的这种完全性是本质的完全性，一种“不真实的（unechte）完全性”。在胡塞尔看来，本质的完全性，它的意义是隐而不彰的，所以他对此论述不多。显然，对胡塞尔而言，数学是一个可以前后一致地发展的开放系统，希尔伯特的完全性概念是很难理解的。

在胡塞尔的时代，各种元逻辑的概念还没有形成，所以胡塞尔所规定的概念与现代逻辑既相通又不同。一个簇在系统内的确定性与系统外的可扩充性，使确定性与完全性这两个概念的关系相当复杂。大致说来，胡塞尔的确定性概念主要是指现代逻辑的句法完全性，而希尔伯特的完全性，现代逻辑认为是指范畴性（categoricity）。①“范畴性”是现代英美逻辑的一个常用概念，该概念由美国学者Veblen于1903年首先使用。Veblen认为，在一个公理系统中，如果任何可能命题的有效性完全由若干公理决定，并且增加任何公理都被认为是多余的，这种系统就是“范畴的（categorical）”。具体而言，范畴性概念刻画了公理系统内所有模型（models）的同构性质。所以，胡塞尔的确定性与希尔伯特的完全性是不同的。有趣的是，胡塞尔认为自己所说的确定性就是希尔伯特的完全性，希尔伯特也是如此。两人都没有发现这两个概念的差别。对此，Majer感叹道，在数学逻辑的初创期，即使是希尔伯特这样的数学天才，要清晰把握这些元逻辑的概念是何其艰难！[9](p52)

最后，我们简单谈谈胡塞尔在数学哲学方面所取得的成就，以引起国内学界的关注和重视。在19世纪末，胡塞尔不仅独创了一种数学哲学，而且还通过论文、讲座和与当时一流学者的通信为现代逻辑的发展提供了思想资源，并对今天的数学哲学研究仍然具有重要的启示意义。遗憾的是，胡塞尔的数学哲学在西方学界曾长期被遗忘，直到上个世纪90年代，主要在英美学界兴起了对胡塞尔数学哲学的研究，目前已经初具规模。不少学者给予胡塞尔很高的评价，如Majer认为，胡塞尔现象学方法的算术基础研究可以成为基础研究三大流派外的一种流派。Centrone等人认为，胡塞尔的数学哲学“在深度和原创性上与同时代的康托尔、戴德金、弗雷格、罗素和希尔伯特处于同一水平”。

[1]Husserl,E.Philosophie der Arithmetik,Lothar Eley(Ed.) [M].The Hague:Martinus Nijhoff,1973.

[2]Frege,G.Die Grundlagen der Arithmetik.Eine logischmathematische Unter-suchung über den Begriff der Zahl. Köbner,Breslau,1884.

[3]Husserl,E.(2003)Philosophy of arithmetic,psychological and logical investigations with supplementary texts from 1887–1901.Willard.D(ed).Kluwer,Dordrecht,2003.

[4]Frege,G.Posthumous Writings.ed.H.Hermes,F.Kambartel and F.Kaulbach,trans.P.Long and R.White.Oxford: Basil Blackwell,1979.

[5]Hill,C.and Haddock,G.Husserl or Frege?Meaning，Objectivity,andMathematics.ChicagoandLaSalla：Open Court,2000.

[6]Centrone,S.Logic and Philosophy of Mathematics in the Early Husserl.Dordrecht:Springer,2010.

[7]Hartimo,M.H.Towards completeness:Husserl on theories of manifolds 1890–1901.Synthese156,2007.

[8]Hilbert,D.überdenZahlbegriff.Jahresberichtder Deutschen Mathematiker-Vereinigung8,1900.

[9]Majer,U.Husserl and Hilbert on Completeness:A Neglected Chapter in Early Twentieth Century Foundations of Mathematics,Synthese,Vol.110,1997.

责任编辑高思新

B516.52；B815

A

1003-8477（2013）12-0114-05

李义民（1970—），男，江西九江学院思政部讲师，上海华东师范大学哲学系2011级博士生。