平板间湍流流动影响因素的研究

赵君

(核工业理化工程研究院，天津 300180)

湍流指粘性流体(液体、气体、等离子体)在高雷诺数条件下由于流动失稳而引起极端混乱的流动状态。它是自然界和工程中广泛存在的流体流动现象，同时也是自然科学和工程技术中亟待解决的一个难题，工程技术中的大量问题与湍流问题密切相关(赵君，2008)。

1883年英国物理学家雷诺(Reynolds)由实验提出湍流这一基本流动形态以来，已有一百多年的历史，但其基本的机理和规律至今还不是完全清楚。由于在湍流研究中存在着理论及实验技术方面的困难，因此湍流的研究相对于层流要复杂很多。

早期，人们认为湍流是流体质点的完全随机运动，为了避免湍流运动随机性带来研究上的困难，建立了以求解湍流系综平均运动特征量为主要目的的湍流模式理论。雷诺(1895)将湍流运动分解为系综平均量和脉动量两个部分，但是从N-S运动方程出发的雷诺平均方程产生的雷诺应力项导致了雷诺平均方程的不封闭性。为了解决雷诺平均方程的不封闭性问题，需要依靠理论与经验的结合，对雷诺应力项引进一系列模型假设，使雷诺平均方程封闭，从而建立了一组描写湍流平均量的封闭方程组的理论计算方法。

气流为层流流动时，只存在通常意义上的粘性切应力，即流体层之间只存在由分子扩散引起的切应力，而如果流体做湍流流动，流体层之间除了存在这种通常意义上的切应力之外，还存在着由湍流脉动引起的附加切应力，即雷诺应力。实际有效切应力为两者之和。混合长度理论是普朗特在1925年提出的，主要思想是:湍流中流体微团的不规则运动与气体分子的热运动类似，可以借用分子运动论中建立粘性应力与速度梯度之间关系的方法来研究湍流雷诺应力与时均速度的关系(欧特尔，2008)。本文采用此理论计算脉动速度和雷诺应力。

蒙特卡洛模拟方法是一种直接从流动的物理模拟出发的方法，能够比较准确地模拟单个分子的行为。它与Boltzmann方程都是经过相同的物理推导得到的，但是蒙特卡洛模拟方法不依赖于逆碰撞假设，可以应用于复杂情况，而且引入符合实际的物理模型更为容易，求解更为方便。

稀薄气体分为三个领域包括:自由分子流领域、过渡领域和滑流领域。在自由分子流领域中，分子密度很小，分子之间的碰撞很少，主要存在分子与壁面之间的相互作用;在过渡流领域和接近滑流领域中，分子密度较大，不能忽略分子之间的碰撞，必须同时考虑分子与分子、分子与器壁之间的碰撞，采用蒙特卡洛方法可以很好地模拟这一区域分子运动。蒙特卡洛方法曾被应用于复杂外形航天飞机在过渡区的计算，取得了与实际较为一致的结果，因此本文选择这一理论进行计算。

1 流动计算

1.1 模拟分子双体碰撞计算

气体因分子与气体中固体表面边界的碰撞及分子间的碰撞而发生变化。双体碰撞是一种最为简单的碰撞，认为双体碰撞重要而可以忽略三体碰撞的条件是平均分子间隙远大于分子直径。

为了完全确定双体碰撞，即确定碰撞后的速度，除了需要知道碰撞前的速度外，还需要知道两个重要参数(沈青，2003)。一个是瞄准距离b，也就是质心坐标系中，尚未受到两分子相互作用力影响的粒子轨道间的最接近距离。瞄准距离越小，两个分子的碰撞效果越明显，瞄准距离为零时是两个分子正面碰撞的情况，瞄准距离增加，分子因碰撞产生的偏转减小，当瞄准距离超过一定范围时，分子之间完全没有作用;另一个是碰撞截面，除了瞄准距离之外再确定碰撞平面就完全确定了碰撞。总碰撞截面包括两个部分:一个是粘性碰撞截面σμ，一个是扩散碰撞截面σD，根据这两部分碰撞截面特点不同，可以有不同的分子模型。

图1 硬球模型分子碰撞示意图Fig.1 The hard-sphere molecular collision model

真实分子的碰撞截面是随着相对速度而改变的，这是模拟真实气体流动必须满足的条件，这样才能保证粘度系数与温度的关系与实际气体一致。变径硬球模型解决了硬球模型中假设碰撞截面固定不变这一问题，变径硬球模型分子具有和硬球模型一样的散射几率，计算碰撞后的速度方向散布时取样十分简单。变径硬球模型的重要一步是将碰撞截面取为正比于分子间相对速度的一定的逆幂次，这样就可以使所导出的粘度系数随温度的一定幂次变化。

在变径硬球模型中，粘性碰撞截面σμ和扩散碰撞截面σD比值不变，这在某些情况下会产生和实际有一定差距的结果，变径软球模型克服了这一缺点。综合考虑，本文选择变径软球模型进行计算。

1.2 分子与表面相互作用计算

气体分子与表面相互作用中有两种反射模型，即镜面反射模型和完全漫反射模型。镜面反射模型假定，来流分子在物体表面的反射与光滑弹性球在光滑的完全弹性表面上的反射相同，即来流分子在物体表面的相对速度的法向分量改变方向，其余方向的速度分量不变。因此反射流产生的正压力与来流产生的相同;而反射流产生的剪切应力与来流产生的具有相反的符号，总剪切应力为零，气体与表面的能量交换为零。完全漫反射模型假定离开表面的分子以平衡的即Maxwell分布散射，平衡条件是表面温度，Maxwell分布的温度与来流的静温相同。气体分子反射过程中既有可能发生镜面反射又有可能发生漫反射，引入比例系数将两者合成是比较合理的:

式中，vr为反射后分子速度;vs为镜面反射后分子速度;vd为漫反射后分子速度;j为比例系数。

1.3 边界条件及计算过程

计算时，主要需要出、入口和壁面边界。根据假设设置出口条件，遇到壁面需要计算分子与壁面的碰撞，进行碰撞的取样。假设两平行平板初始相距距离为y0，中间有温度为t0的空气，中间气体以平均v0的速度沿x轴向前运动。

认为空气流动状态为湍流，采用普朗特混合长度理论计算其各个方向脉动速度和雷诺应力:

如果流体微团从x处移动到x+l'处，根据混合长度理论两处的速度差等于x处流向脉动速度μ'，根据运动连续假说，法向上也会产生脉动速度v'，两个方向的脉动速度具有相同的量级但是符号相反，即

式中，k1为常数;u为流向速度。

将(2)、(3)代入雷诺应力计算公式，并将式中常数归并到尚未确定的混合长度l中去，可得湍流脉动所引起的雷诺应力为:

式中，l2=k1l'2，l为混合长度。

对于固体壁面附近湍流，普朗特假设混合长度与离壁面距离成正比，即

式中，k为卡门常数，可经由实验测定，对光滑壁面k=0.417。

整体计算过程如下:

(1)对研究区域进行网格划分，置入模拟分子，设置各个模拟分子初始位置、初始速度等信息，计算初始脉动速度;

(2)根据分子速度按照匀速运动规律估算模拟分子在一个时间步长内的位移;

(3)进行分子碰撞取样，计算分子碰撞，计算分子与边界的相互作用;

(4)对计算区域内的所有分子进行重新排序;

(5)进行流场宏观量计算。

2 计算结果

2.1 Knudsen数对湍流度和雷诺应力的影响

图2为两平板中心处用Knudsen数为0.1时，无量纲化的雷诺应力随Knudsen数变化，从图2中可以看出，随着Knudsen数的增大，雷诺应力有所增大，说明随着Knudsen数增大湍流脉动有所增强。

图3为两平板中心处用Knudsen数为0.1时，无量纲化湍流度随Knudsen数变化，从图3中可以看出，随着Knudsen数的增大，湍流度有所增大，说明随着Knudsen数增大，湍流脉动有所增强。

图2 雷诺应力随Knudsen数变化图Fig.2 The reynolds stress change followed Knudsen

图3 湍流度随Knudsen数变化图Fig.3 The turbulence intensity change followed Knudsen

2.2 平板间距离对湍流度和雷诺应力的影响

图4为两平板中心处用Knudsen数为0.1，两平板间距离为y0时，无量纲化的雷诺应力随两平板间距离变化，其中y0为初始选择两平板间距离，y为两平板间距离变化后值，从图4中可以看出，随着两平板间距离的减小，雷诺应力有所增大，说明随着两平板间距离的减小湍流脉动有所增强。

图5为两平板中心处用Knudsen数为0.1，两平板间距离为y0时，无量纲化的湍流度随两平板间距离变化，其中y0为初始选择两平板间距离，y为两平板间距离变化后值，从图5中可以看出，随着两平板间距离的减小，湍流度有所增大，说明随着两平板间距离的减小湍流脉动有所增强。

图4 雷诺应力随平板间距离变化图Fig.4 The reynolds stress change followed the distance between the walls

3 结论

(1)用普朗特混合长度理论计算出了湍流流动中脉动速度和雷诺应力。

(2)Knudsen数的变化以及两平板间距离的变化都会影响两平板间流体的湍流流动。

(3)雷诺应力和湍流度反映着流体湍流脉动的强度，增加Knudsen数、减小两平板间距离都可以增强附近流体湍流脉动。

图5 湍流度随平板间距离变化图Fig.5 The turbulence intensity change followed the distance between the walls

欧特尔H.2008.普朗特流体力学基础［M］.北京:科学出版社:227-306.

沈青.2003.稀薄气体动力学［M］.北京:国防工业出版社:121-139.

赵君.2008.壁湍流相干结构雷诺应力的涡粘性本构关系与控制［D］.天津:天津大学硕士论文:100-101.