一种数控折弯加工多参量非线性补偿新方法

曾文舟，吴黎明，张贺云，陈刘

(广东工业大学信息工程学院，广东广州510006)

数控折弯机在包装、印刷等行业拥有不可替代的地位[1]，而我国所依赖的进口设备价格昂贵和维修困难，为此研发一个简单实用的折弯机数控系统很有必要。

在数控折弯机系统的核心研发过程[2]中，其中一个困难问题是弹性形变引起的角度补偿。由于角度补偿关系是非线性的，并且受工件的硬件条件影响较大，因此很难用理想计算式表示[3]。传统的折弯机系统(包括韩国、日本和意大利进口的机器)是通过力学建模进行大量数据的模拟和补偿，这种方法虽在理论上全面地考虑了各方面的影响因素，并通过复杂的计算得到大量的参数，工人只需结合实际情况对这些参数进行补偿以便达到理想效果;然而此方法因没有考虑到工人的理论知识水平、刀片材质的均匀度和一致性以及加工零件的老化等实际问题，存在着难于理解、灵活性弱、维护性差等实际问题。此外，这些机器针对加工速度和刀片材质的补偿亦相当粗略，只是离散几个速度值和几种材质的刀片进行类似参数的调整，没有真正建立起角度补偿与速度以及刀片材质之间的关系。因此，它在实际应用中效果并不理想，特别是系统的维护性比较差。

作者在复变量移动最小二乘法[4]的基础上，针对它在基函数个数较大时系数解矩阵病态甚至奇异以及在处理非均匀点集时精度差的缺陷，提出一种改进型的复变量移动最小二乘法，根据采样点集的稀疏程度自适应地调整紧支域半径，有效减少了采样数据点的不均匀带来的误差影响，并能保证系数解矩阵有正确的解，在计算量相当的情况下，提高了拟合精度。在折弯机系统角度补偿应用中，具有简单、精度高、可维护性强、操作方便等优点。

1 复变量移动最小二乘法

在待拟合点z的紧支域内，拟合函数可表示为

为实现移动最小二乘法，定义局部加权平方误差如下

其中:zi为待拟合点z 紧支域内的节点，w(z－zi)为点zi对点z 拟合值的权值函数。

根据最小二乘法规则，为了使拟合误差最小，须满足

解得

其中

这样便可以求得逼近函数的待定系数，从而求得拟合函数。

2 重要参数分析

2.1 基函数

基函数一般选取为完备单项式，即线性基、二次基等，所选函数阶次越高，其拟合就越精确，但是算法复杂度也越大，因此作者折中选取二次基。值得一提的是，向量MLS 相对传统MLS 来说能够在很大程度上减少基函数的个数。例如对于文中选取的二次基来说，传统MLS的pT(x1，x2，x2)=(1，x1，x2，x21，x1而向量MLS的pT(z)=[1，z，z2]，m=3。这样，在一定程度上大大减少了紧支域的相关节点数，从而大大减少了计算量。在向量移动最小二乘法当中，当m 比较大时，方程(5)有时是病态的，甚至是奇异的。这样方程(5)就难以求解或难以获得正确的解。若选取正交权函数作为基函数，则所得到的方程不会出现病态或奇异的情况，因此其必然有解[4]。

2.2 紧支域半径

根据MLS 局部逼近的特性，MLS的权函数w(x－xi)应该具有紧支性，这个子域称为权函数的紧支域(或影响域)，一般用圆形来表示其区域，其半径记为R。权函数须有一定的光滑性，因为拟合函数的光滑性取决于权函数的光滑性[6]。为了有效、方便地控制计算的局部和全局特性，文中选择Gauss函数为权函数，如式(7)所示

式中:t为一因子，控制着拟合精度，文中取t=2;r一般取|x－xi|/R，R为待拟合点x的紧支域半径。式(7)在[－1，1]区间里有值，而在区间外其值为0，为了减少计算量，[－1，1]区间外的数据不代入式(7)中计算。

文献[4]提出的以带权的正交函数族作为基函数便可总是求得正确的解矩阵这一结论存在着一个重要的前提条件，即须满足存在合适数量的紧支域节点以使得相应的权函数不为0，进而令A(z)为对角矩阵，避免病态或奇异解情况。因此，问题的核心变成了紧支域节点的选取或半径的确定。拟合点xi紧支域中的节点数直接影响拟合的结果，如果节点数过少，可能会影响计算精度或产生病态甚至奇异矩阵，从而得不到解或者得到错误的解;反之，如果节点数过多，紧支域半径会增大，使该点的区域特性表现得不明显，从而影响精度，并且计算效率相对低下。

为了保证所有点的定义域中都能包含合适数量的节点数，需要视情况改变紧支域半径R的取值，即在节点较稀疏的区域，选择较大的紧支域半径，而在节点较密集的区域，选择较小的紧支域半径[5]。

3 紧支域半径自适应调整算法

针对传统MLS 对非均匀点集拟合的缺陷，提出了一种紧支域半径自适应调整算法，在计算待拟合点V时，紧支域半径R可根据V 周围的采样点分布密集程度进行自适应调整，使V 在采样点分布密集区时，R 相对较小，而在采样点分布稀疏区时，R 相对较大，整体规则为保证式(5)中A(x)可逆，即包含在V 紧支域内至少有k个线性无关的采样点[7]，在此基础上，提出了一个基于二分查找法的自适应半径调整算法。以二维自变量为例，算法基本思想和流程如下:

(1)按照采样点集的自变量坐标确定其在二维坐标系xy 中的坐标，并以待拟合点为圆心、单位半径(可定为一个很小的定值)为初始半径，画一个圆形。

(2)比较此圆形里面包含的采样点数目n 跟k的大小关系，若n ＜k，转到步骤(3);否则转到步骤(4)。

(3)调整现时的半径令其为原来的两倍，并重新修正原来的圆形，然后转到步骤(2)进行比较。

(4)设原来的半径为Rlast，现在的半径为Rcurr(其中Rcurr＞Rlast)，分别以两者为首项和尾项运用二分查找算法可在Ο(log(n/2))时间里找到待拟合点的m=k个邻近点。

(5)对待拟合点的m个邻近点所组成的A(x)求秩，若其rank(A(x))＜k，则转到步骤 (6);若rank(A(x))=k，算法结束，并可确定待拟合点的k个邻近点的坐标。

(6)m=m+k－rank(A(x))，即修正待拟合点的邻近点数目以令其实现rank(A(x))=k，并转到步骤(5)。

程序结束后，待拟合点的k个邻近点便可确定，即其紧支域半径R 也可确定，根据R 对权函数的影响，式(2)及之后各式中的w(z－zi)由w((z－zi)/R)替换。即式(2)变成了

4 结果分析

对传统MLS 和动态调整半径MLS (Dynamic Radius MLS，DRMLS)在非均匀点集情况下进行曲线和曲面拟合对比性试验。

4.1 直线角的曲线拟合

直线角只折一次，所产生的力矩在弹性形变响应时间范围内对刀片有一定的定型效果，在工程角度上，由速度引起的影响可以忽略不计，因此其函数关系式退化为一维，即y=f(x)，其中x为理论角度值，y为刀片成型x角度需要执行的步进量。由于工件本身的限制，仅需选取x=[0，90°]范围内的采样点集。另外，因圆弧是按多段重复性的小角度折线来处理，须对小角度区域进行细分使其成为密集区，从而保证圆弧精度。

据上选择x=[1°，2°，3°，4°，5°，6°，7°，8°，9°，10°，15°，20°，30°，45°，60°，75°，90°]等非均匀点，经过测试得到真实值y=[500，640，700，758，780，840，900，960，1 000，1 030，1 250，1 430，1 700，1 935，2 200，2 480，2 900]，取二次基函数p(x)=[1，x，x2]分别进行MLS 和DRMLS曲线拟合对比试验。

再选取除拟合点集之外的几个随机点，如x=[11°，13°，17°，21°，27°，55°，80°，88°]，进行测试得到真实值y=[1 050，1 145，1 340，1 440，1 600，2 050，2 570，2 860]，并分别通过MLS 和DRMLS 拟合得到误差对比关系如表1所示。

表1 MLS 和DRMLS曲线拟合误差对比表 (°)

4.2 圆弧角的曲面拟合

圆弧是转化为多段重复性的小角度折线处理的，其成型受速度影响比较大，并存在一种随机性，即根据刀片材质的不均匀性也有一定差异。在此忽略同一刀片材质的弹性形变差异，设需要加工的圆弧半径为x1，现时速度为x2，复变量型的自变量z=x1+ix2，设每一小段刀片成型的角度需要执行的步进量为y，则可得y=f(z)。在选取采样点的时候，注意到平常加工中对小半径圆弧的需求量要远远大于大半径(r ＞30 mm)，又因大半径圆弧步长相差无几，其每一段的步进补偿量也近乎相等。因此选取采样点时，须遵循半径越大采样点集越稀疏的原则。系统刀头转动的速度因其加减速过程比较难测量[8]，亦不便定义，为方便起见，选取系统下位机弯刀电机步进脉冲的频率来表示速率。据此选取x1=[0.5 mm，1 mm，1.5 mm，2 mm，2.5 mm，3 mm，4 mm，5 mm，6 mm，7 mm，8 mm，9 mm，10 mm，12 mm，14 mm，16 mm，18 mm，20 mm，25 mm，30 mm，40 mm，50 mm，80 mm，100 mm，200 mm，300 mm，500 mm，800 mm，1 000 mm]，x2=[0.1 kHz，0.5 kHz，1 kHz，2 kHz，5 kHz，10 kHz]，对两者进行交叉结合便可得到30×6=180个点，并从中随机不重复地抽出50个点分别进行MLS 和DRMLS 曲面拟合，其中MLS 采用LANCASTER 等最先实现的曲面拟合算法[9]，选取二次基函数p(z)=[1，z，z2]，z=x1+ix2。得到的结果分别如图1所示。值得注意的是，随机抽取将不影响采样点集的疏密程度。

图1 MLS 和DRMLS 进行圆弧角度补偿曲面拟合对比示意图

MLS 和DRMLS 曲面拟合误差对比如表2。

表2 MLS 和DRMLS 曲面拟合误差对比表

对比真实值(测试可得)、MLS 及DRMLS 拟合结果可知:DRMLS 比MLS 在采样点的相对误差要小得多，尤其是在点密集区域内。

5 结论

复变量移动最小二乘法将二维基函数转化为一维基函数，可大规模简化基函数的个数，减少计算量，若选取正交基函数，可保证总是能得到正确的解矩阵。作者在此基础上，针对MLS 对非均匀点集拟合的缺陷，提出一种紧支域半径随采样点集的稀疏程度自适应调整的DRMLS，保证选取待拟合点附近的k个线性无关的采样点集，使A(x)可逆，避免解矩阵的病态甚至奇异性。该算法基于二分查找法，具有易于编写、计算简单、时间复杂度低等优点。最后作者将其应用到数控折弯机的角度非线性补偿中，通过多组曲线拟合和曲面拟合对比实验分析得:与传统MLS方法相比，DRMLS 在拟合精度尤其是采样点密集区域的精度和平滑性方面得到了较大的改进。

【1】江栋才.自动弯刀机的发展[J].广东印刷，2005(1):77.

【2】陈颖，谢富春，张丛鹏，等.基于PWAC的折弯机送料测长系统设计[J].机床与液压，2012，40(2):4－6.

【3】吴黎明，朱妙贤，邓耀华，等.基于自动位置补偿的缺陷检测图像处理技术[J].上海大学学报:英文版，2004，8(z1):252－255.

【4】程玉民，彭妙娟，李九红.复变量移动最小二乘法及其应用[J].力学学报，2005，37(6):719－722.

【5】刘丹，孙金玮，魏国，等.移动最小二乘法在多功能传感器数据重构中的应用[J].自动化学报，2007，33(8):823－828.

【6】曾清红，卢德唐.基于移动最小二乘法的曲线拟合[J].工程图学学报，2004，25(1):84－89.

【7】PIEGL L A，TILLER W.Algorithm for Finding All k Nearest Neighbors[J].Computer－Aids Design，2002，34(2):167－172.

【8】DENG Yaohua，LIU Guixiong，LIAO Qinfu.Research of FWP Process Deformation Compensation Forecasting on the Basis of TS-FNN[J].Advanced Materials Research，2011，295/296/297 (7):2430－2437.

【9】LANCASTER P，SALKAUSKAS K.Surfaces Generated by Moving Least Squares Methods[J].Mathematics of Computation，1981，37(155):141－158.