一类高阶多维核共振条件下多点边值问题的可解性

刘广军， 任立顺

(周口师范学院数学与统计学院 河南周口466001)

0 引言

研究如下n阶常微分方程多点边值问题(BVP):

多点边值问题是共振的指算子方程Lx=x(n)=0在给定的边值条件下具有非零解，否则称之为非共振的．显然对于n阶共振条件下多点边值问题，Ker(L)的核的维数可能是1，2，…，n－1．

共振条件下多点边值问题解的存在性问题近年来已经被广泛地研究．文献［1］研究了一类二阶常微分方程m点边值问题在dim dom(L)=1共振条件下解的存在性．文献［2］研究了微分方程更为复杂的边值问题在dim Ker(L)=1的情况下解的存在性．文献［3］研究了n阶微分方程多点边值问题在dim Ker(L)=1的情况下解的存在性．对于给定的边值问题，当边界条件中的参数变化时，Ker(L)也会改变维数．例如，对相同的边值问题

迄今为止，n阶微分方程边值问题在dim Ker(L)=m共振条件下解的存在性还没有被研究．阶数的增加和核的维数的增多增加了问题研究的难度和复杂性．作者研究了这一问题解的存在性，主要工具是Mawhin的重合度理论．

1 预备知识

先给出零指标的Fredholm算子的定义．

定义1 令Y，Z是实Banach空间，L:dom(L)⊂Y→Z是线性算子．L是零指标的Fredholm算子是指:

(1)Im(L)是Z的闭子集;(2)dim Ker(L)=codim Im(L)＜+∞．

令Y，Z是实Banach空间，L:Y⊃dom(L)→Z是一个零指标的Fredholm算子，P:Y→Y，Q:Z→Z是连续的投影算子，且 Im(P)=Ker(L)，Ker(Q)=Im(L)，Y=Ker(L)⊕Ker(P)，Z=Im(L)⊕ Im(Q)，那么Ldom(L)∩Ker(P):dom(L)∩Ker(P)→Im(L)是可逆的，用KP来表示它的逆算子(L的广义逆)．如果Ω是Y的一个有界开子集，使得dom(L)∩Ω≠∅，映射N:Y→Z在Ω－被称之为L-紧，是指QN(Ω－)是有界的并且KP(I－Q)N:Ω－→Y是紧集．所使用的主要工具是文献［8］中的定理2．4．

引理1 假设L是零指标的Fredholm算子，N在Ω－是L-紧的，假设以下条件满足:

(1)Lx≠ λNx，∀(x，λ)∈ ［(dom(L)Ker(L))∩ ∂Ω］× (0，1);

(2)Nx∉Im(L)，∀x∈Ker(L)∩∂Ω;

(3)deg(QNKer(L)，Ω ∩ Ker(L)，0)≠ 0．这里Q:Z→Z是上述定义的投影算子，且满足Im(L)=Ker(Q)，那么算子方程Lx=Nx在dom(L)∩Ω－至少有一个解．

引入Sobolev空间:

令 Y=Cn－1［0，1］，范数为 x=max{x∞，x'∞，…， x(n－1)∞}．Z=L1［0，1］，其上的范数为 ·1．定义算子L:dom(L)∩Y→Z，dom(L)={x∈Wn，1(0，1):x满足边界条件(2)}，为(Lx)(t)=x(n)(t)．定义算子N:Y→Z为(Nx)(t)=f(t，x(t)，x'(t)，…，x(n)(t))．对于如上定义的算子，有如下结论:

引理2 假设L的定义如上，那么

引理3 假设算子L如前面定义，如果以下假设(H1)成立:

那么L是一个零指标的Fredholm算子．

这里 λjk其中，B(p，q)

由于引理2和3较易证明，故省略了这部分的证明．

2 主要结果及证明

定理1 假设f:(［0，1］，Rn)→R是Caratheodory函数，且(H1)和下述条件成立:

(H2)存在函数 αi(t)，μi(t)(i=1，2，…，n)，ρ(t)∈ L1［0，1］以及常数 θi∈ ［0，1)，使得对任意的那么存在 j∈ {1，2，…，m}，使得 Qj(f(t，x(t)，x'(t)，…，x(n－1)(t)))≠0．

本模式以较好的经济性为目标，以发展经济性相对较好的煤电为主导方向，应加大煤电清洁化改造力度。2030年广东较已明确煤电机组再新增装机约20 GW，达到96.47 GW；新增核电装机5 GW，新增风电装机12.5 GW，新增太阳能发电装机5.4 GW。若按等煤量控制，此方案电煤比重须达90%左右，实现难度较大。

(H4)存在常数B ＞ 0，对任意的(a1，a2，…，am)∈Rm，如果∃i∈{1，2，…，m}满足 ai＞B，那么，或者

(H3)存在常数 A ＞0，使得对任意的 x(t)∈ dom(L)Ker(L)，如果存在 i0∈ {1，2，…，m}满足

或者

0(k=1，2，…，m)．如果存在 i0∈ {1，2，…，m}使得对任意的

t…，m}使得 QjNx≠ 0，这与以上等式矛盾．因此，对任意的 i∈ {1，2，…，m}存在 τi∈［0，1］使得

如果

P11

所以∀x∈因此Ω1是有

界的．

令 Ω2={x∈Ker(L):Nx∈Im(L)}，Ω3={x∈Ker(L):λ ∧x+(1 － λ)QNx=0，λ ∈［0，1］}，这里∧:Ker(L)→Im(Q)是如下定义的线性同构:

m m m

可以证明Ω2，Ω3是有界集．

令Ω是Y的有界开子集并满足∪3

i=1Ωi⊂Ω．由Ascoli-Arzela定理，可得KP(I－Q)N:Ω→Y是紧集．因此N在是L-紧的．

至此，已经验证了引理1的条件(1)和(2)．现在验证引理1的条件(3)．

令H(x，λ)=λ∧x±(1－λ)QNx．由Ω的定义可得H(x，λ)≠0，x∈∂Ω∩Ker(L)．由拓扑度的同伦不变性可知

因此结合引理1，定理1得证．

［1］ Feng W，Webb J R L．Solvability of three point boundary value problems at resonance［J］．Nonlinear Anal，1997，30(6):3227－3238．

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