数学分析课程“三位一体”教学模式的探讨

何艳平，李邦荣

(1湖北理工学院数理学院，湖北黄石435003;2湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石435002)

“数学分析”是信息与计算科学专业重要的专业基础课程之一，学生对数学分析知识的掌握及运用情况，直接影响到多门后续课程的学习。而数学分析课程与中学数学课程在思维特点、学习方式等方面有一个跨越，如何引导学生实现跨越，让学生尽快适应大学学习，是该课程教师应该思考的问题。

数学分析的学习，往往是学生比较犯怵的难题。数学分析课程内容理论性强、抽象程度高，学生难以理解;数学分析知识所蕴含的数学思想和方法、处理问题的技巧和策略，学生不易掌握。而数学分析课程的基本理论、基本数学思想和方法是学习后续专业课程的重要基础，该课程也是培养学生数学素质和创新能力的重要课程［1］。在长期的数学分析和高等数学教学工作中，笔者积极探讨教学方法，尝试用“三位一体”的教学模式进行数学分析的教学。

1 “三位一体”教学概述

“三位一体”是由知识与能力、过程与方法、素质与创新三者构成的有机统一体。

在数学教学中，要将知识与能力、过程与方法、素质与创新三者视为一个整体，各部分之间存在互相联系、互相制约、互相渗透和相互转化的关系。三者之间的这种不可分割的联系如图1 塔形关系图所示。

图1 塔形关系图

图1 表明，知识与能力、过程与方法、素质与创新三者具有层级关系，即由下而上层次越高;数量关系，即下宽上窄表明量的关系，也寓意厚积薄发;渗透关系，图1 中的锯齿表示相邻两者之间密切联系，相互交叉渗透的关系。图1 中的波浪线充分说明了三者之间的相互渗透、密切联系、不可分割的整体关系。图1还揭示了各部分的地位和作用，即知识与能力是基础，过程与方法是核心，素质与创新是最终目标。数学教学要拓宽知识基础，抓好核心教育，实现教育目标。

相关关系分为正相关、负相关和零相关.正相关指两个变量的变化方向相同；负相关指两个变量的变化方向相反；零相关指两个变量之间没有相关.

教师引导探索2:运用待定系数法，求出pn(x)。可设pn(x)= a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n。

糖尿病是一种高发病率和死亡率的疾病[1]。我国糖尿病的发病率为9.7%～11.6%，患病人数居各国之首[2]。如果高糖状态得不到有效控制会引发视网膜病变、肾病、酮症酸中毒等慢性并发症，严重威胁人类的生命安全。因此探寻有效的降糖方法是当今医学界研究的热点。

2 数学分析课程“三位一体”教学模式的内容

数学分析课程“三位一体”教学模式是指在现代数学教学思想和教学理论指导下，构建数学分析课程教学中知识与能力、过程与方法、素质与创新三方面的教学活动程序，指导教师从宏观上把握数学分析课程教学的整体结构和各要素之间的内部关系和功能。

2014年11月10日晚，参加北京APEC会议的各国领导人携配偶在欢迎晚宴前现身，身着特色中式服装合影的他们，吸引了全世界的目光。国家主席习近平说：“看到各位都穿上中国式服装，既充满中国传统元素，又体现了现代气息，让我们更感亲近，中国老百姓看了以后也会感到亲切，就像到邻居家串门。尤其是女装，女士穿上更显秀美！”

2.1 “三位一体”的具体涵义

知识与能力是数学分析“三位一体”教学模式的基础内容，它要求数学教学在传授知识的同时，注重数学能力的培养。数学能力方面应特别重视数学探究、数学交流、合作精神;进而提高运用数学的思想和方法分析解决实际问题的能力。教师应十分清楚知识与能力的相互关系，以知识学习促进能力发展，以能力发展促进知识的深入理解和巩固。

知识与能力的教学，要重视知识的产生、发展、应用、再发展;揭示学习知识的基本方法与方法选择的意义，授学生以“渔”;关注学生学习的自主性、探究性与合作性，指导学生学习方法，尊重学生的独特体验和感悟，使学生增强学习自信心与自觉性。

过程与方法是数学分析课程“三位一体”教学模式的核心内容。传统教学重结果轻过程、重知识轻方法，形成结果的生动过程和方法被单纯机械地追求结果的教学方式所取代。学生的学习只是认真听讲和记忆，缺乏对数学知识的产生、发展到应用过程的深入理解，忽视体现在这些过程中的数学思想和方法，学生做数学题也只是要求和答案一致，缺少经历解题中探索和发现结论的过程，扼杀了学生的创新意识和发现精神。

过程与方法要求在数学分析课程的教学过程中，学生能进行自主学习、主动探究、愿意与同伴交流合作、积极学习。更高的要求则是评价学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识以及独立思考的习惯、数学思考的发展水平等。数学分析课程的教学可以通过学生自主探究的过程、特有的解题方法、提出挑战性的问题、与同伴交流合作的经历、数学建模的过程和方法等来评价学生的学习过程和取得的进步。

过程与方法中的过程不是单纯的教学过程，学习者的学习过程和思考问题的认知构建过程都是重要内容;方法也应该包含教的方法和学的方法，教师不仅要传授学生问题的解决方法，更要讲解知识的本源和归宿。让学生从知识的被动接受者变为主动探求者，充分发挥学生的主体作用，引导学生思考、探索、发现，鼓励学生大胆提出问题，探索解决问题的途径，激发学生的学习兴趣，增强学生学习的主动性。

体验数学过程是指数学教学既要关注数学学习的结果，更要关注学生在学习过程中的变化和发展［2］。让学生在体验数学的过程中正确认识数学，感受数学的魅力。

素质与创新是指数学素质和创新素质，包含创新意识、创新思维、创新能力三方面。这里所说的创新，对学生而言是一种再创造，其实质是数学过程的再现，不能理解为真正意义上的创造发明。学生提出的新见解、解题中的新方法、新的知识运用等都可以称为再创造。教师应该有正确的认识，千万不能因此而扼杀了学生的再创造意识，即创新意识。教师的职责就是引导和促进学生进行再创造的学习。

2.2 数学分析课程“三位一体”教学模式的基本程序

1)探究准备。回顾在微分学中已知的近似公式:f (x)≈p (x)= f ＇(x0)+f ＇(x0)(x－x0)，这里p(x)是关于x 的一次多项式，f(x)在定义域上可微。

实验组患者在此基础上联合吡贝地尔{LES LABORATOIRES SERVIER INDUSTRIE(法国)(施维雅(天津)制药有限公司分装);国药准字J20140064;50mg*30s}治疗,具体方法为:口服。每日150毫克到250毫克,即每日3-5片,分3-5次服用。

由于数学分析课程的性质和特点，数学分析作为数学专业最重要的基础课程特别适合运用“三位一体”教学模式。

作为活动程序，数学分析“三位一体”教学模式的基本程序为:主动获取知识—形成数学能力—体验数学过程—掌握数学思想和方法—提高素质和创新水平。

主动获取知识是指学习是主动的、积极的，认知过程不是被动接受教师的传授，而是主动建构的过程。

形成数学能力是指在获取知识的过程中，需要教师有意识地揭示隐藏在数学知识的形成、发展和应用过程中的数学本质，有计划地组织数学活动，加强练习，形成能力。

素质与创新是数学分析课程“三位一体”教学模式的教育教学目标。

掌握数学思想方法是指数学教学应追求数学的本质、数学的精神，而数学本质和精神就是数学的思想和方法。一堂数学课，能够让学生体会到其中的数学思想和方法，就属于高品位的数学教学。

提高素质和创新水平是数学教学的最终目标，是数学教学的落脚点，也是教学设计、教学实施的着力点。数学分析的教学活动也应该由此展开，教师对此一定要有高度的认识。

2.3 数学分析课程“三位一体”教学模式的特点

数学分析课程“三位一体”教学模式具有整体性和动态性2 个特点。

整体性，是指三者在数学分析课程的教学设计、教学活动中要协调一致、整体发展，忽视任何一个方面都是错误的。教学评价也要重视突显整体性。

观察图9～图12中衰减值分别为20dB和30dB时测量数据可知，文献[1]的方法只能够实现互调频率为fc=|ft-fj|的准确测量；文献[2]的方法虽然可获取频率为fc=ft+fj的测量值，但难以判断测量数据的准确性；由于没有采用线缆长度的调节方法，文献[3]能否获取准确的测量值，完全取决于所选用的电缆长度.

动态性，模式的运用特别强调动态性，即不同的知识内容，应作不一样的“三位一体”处理;相近的内容提倡不同的、创造性的“三位一体”组合;用发展的眼光去组织教学内容，体现“三位一体”的合理性、有效性。

整个环太湖地区1961—1970年间各站降水幅度不同,区域增减不一(表5)。春季,普遍出现减少趋势,除宜兴站略有增加趋势;夏季,各站降水量普遍存在增加趋势,增幅最大出现在宜兴地区,为19.71 mm/10 a,而增幅最小的是嘉兴站,为0.58 mm/10 a;秋季,整体都出现减少趋势,最明显的是嘉兴地区,为-13.05 mm/(10 a),最不显著的是太湖东部的苏州和吴江地区;冬季,环太湖地区的降水又出现明显的增加趋势,增加幅度最大的是宜兴站,为18.28 mm/(10 a),最小的是常州站,为11.65 mm/(10 a)。此外可以发现,整个区域的降水变化有一定的季节周期性。

以上全面概括了知识与能力、过程与方法、素质与创新“三位一体”教学模式的内涵与外延:知识与能力是模式的基础，教学过程要重视知识的产生、发展、应用、再发展;过程与方法是模式的抓手，要重视学生的学习主动性、探究性与合作性，让学生从知识的被动接受者变为主动探求者;素质与创新是模式的最高境界，是教育和人才培养的最高目标，让学生在知识积累的过程中，通过主动学习，消化吸收知识，对数学问题有独到见解和处理方法。

当今世界正在经历新一轮大发展大变革大调整。面对世界经济格局的深刻变化，各国应该坚持开放融通，拓展互利合作空间；应该坚持创新引领，加快新旧动能转换；坚持包容普惠，推动共同发展。

3 数学分析课程“三位一体”教学模式的运用

3.1 研究意义

教师引导探索1:主要是揭示数学逼近的思想。那么f(x)在什么条件下可用n 次多项式pn(x)逼近，pn(x)应满足什么条件呢?虽然可猜想到，若f(x)在定义域上n 阶可导，则可用pn(x)逼近，且pn(x)满足:

3.2 运用例谈

数学分析教学，重视运用“三位一体”教学模式的基本程序进行教学设计，努力实现课堂教学在学生理解知识、形成数学能力、培养数学研究兴趣、掌握数学思想方法、提高数学创新意识和创造能力等方面的和谐发展。

(1)分别于插管后5 min(T1)、建立气腹后5 min(T2)、体位建立后5 min(T3)、建立气腹后30 min(T4)、解除气腹后5 min(T5)时以旁流通气监测法检测2组呼吸力学指标，包括气道压(Paw)、气道峰压(PIP)，并计算肺泡动态顺应性(Cdyn);(2)于术前24 h及术后24 h时，采集2组患者清晨空腹静脉血5 mL，3 500 r/min离心10 min分离血清，采用ELISA法测定血清白细胞介素-6、10(IL-6、IL-10)及C反应蛋白(CRP)水平，免疫透射比浊法检测2组患者血清C3、C4补体水平;比较2组患者HR、SpO2及平均动脉压(MAP)。

数学分析教学将传授知识与培养学生学习能力、思维能力、应用数学知识解决实际问题的能力相结合;改变传统教学以教师为主的模式，充分发挥学生的主体作用，让学生积极参与到教学活动中;注重培养学生的素质，使学生具有良好的创新精神。

2)引导思考。可见微分学中用一次多项式可近似逼近f(x)，误差为o(x－x0)。

3)发现问题。原先用一次多项式可逼近f(x)，精度为o(x－x0)，精度不够，如何提高精度?是否能将f(x)用n 次多项式逼近呢?逼近的误差是否更精确?误差是多少?

（4）预计算。在新一代的PoS共识机制中，挖矿公式可简写为H(H(Bprev),A,t)≤balance(A)m。由于新块的挖矿只与时间、余额以及上一块的哈希值有关，因此控制当前块的生成可以帮助攻击者得到新块的挖矿权。在某一节点拥有一定数量代币以及算力足够的情况下，该节点可以通过随机试错方式控制第N块的哈希值使得攻击者有能力对N+1块进行挖矿。

4)提出猜想。用n 次多项式逼近f(x)，精度可否提高为o((x－x0)n)，且通过观察一次多项式应满足的条件，猜想n 次多项式应满足的条件。

以泰勒展开式推导过程［3－4］的教学设计为例。

5)学生独立探索过程(含教师引导过程)。

若f(x)一阶可导，则可用一次多项式p1(x)逼近，且满足:

p1(x0)=f(x0)，p＇1(x0)=f＇(x0)。

一直以来，数学分析课程的教学，十分重视各个知识点的教学，重视各部分内容的教学方式和方法的研究，但忽视数学知识之间的联系和相互关系，忽视作为教学整体性活动的程序和操作。数学分析课程“三位一体”教学模式的研究旨在指导教师能够从整体上去综合地探讨数学分析课程教学过程中知识与能力、过程与方法、素质与创新各因素之间的相互作用和其多样化的表现形态，以整体、动态的观点去把握数学分析教学过程的本质和规律，指导教师进行数学分析课堂教学设计，加强课堂教学过程的优化，不断提高数学分析课程的教学质量，为后续学习打下坚实基础。

因此可求n 次多项式pn(x)。

1°clYf(A)⊆clY{g(A)}。若x∈A,由A为X的可数既约闭集及clcsX{A}={B∈csX:B⊆A},则{x}-∈clcsX{A}。又f=gη及g连续,f(x)=gη(x)=g({x}-)∈g(clcxX{A})⊆clY{g(A)},由x的任意性,f(A)⊆clY{g(A)},于是clYf(A)⊆clY{g(A)}。

表3为齿根弯曲强度校核时所需参数的取值，式(12)中的各参数取值如表3所示。代入数值后大小齿轮的齿根弯曲强度σF1=409.8 MPa、σF2=384.14 MPa，许用齿根弯曲强度[σF1]=437 MPa、[σF2]=426.8 MPa，[σF1]和[σF2]的最小值大于σF1和σF2的最大值，因此齿根弯曲强度校核合格。

数学教学活动应该充分体现知识与能力、过程与方法、素质与创新三者的有机结合，忽视任何一个方面，都是片面的。正确认识三者之间的这些关系，对培养具有创新精神的高素质人才很有益。

即可得到如下方程组:

解得:

随着我国经济的发展，民众环保意识得到了显著提升，在享受物质生活的同时，也更加关注环境保护问题，我国科技人员对农村生活污水处理系统加大研究力度，其中以人工湿地技术与一级生物处理相结合的方法为目前的主流技术。

这样，猜测的pn(x)就计算出来了。

李晓明(1959-)，男，河北邢台人,苏州大学王健法学院教授,法学博士,博士生导师，刑事法研究中心主任,研究方向：刑法学；

教师引导探索3:体会数学猜想、论证的过程。

下面需要验证pn(x)近似地逼近f(x)，且精度更准确。

6)验证猜想，完成探究。实际上，通过柯西中值定理可计算:

f(x)－pn(x)= o((x－x0)n)。这样可推导出泰勒展式:

通过计算证实猜想。

探究过程设计意图:组织自主探究教学，在几个难点环节设计引导，体现了教师的主导作用，这样的设计能够调动学生主动探究获取知识、体验数学发现和研究的积极性。良好的教学素材、恰当的教学方法，能使学生在这一过程中，掌握数学逼近和数学猜想、论证的思想方法，数学能力得到了进一步的提高，激发了学生的创新意识，提升了学生的创新素质。

［1］金玲玉，房少梅，刘文琰.数学分析教学改革的几点认识和体会［J］.大学数学，2012，4(28):26－30.

［2］中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准［M］.北京:北京师范大学出版社，2011:293－294.

［3］华东师范大学数学系.数学分析(上、下册)［M］.北京:高等教育出版社，2002:134－137.

［4］何艳平.高等数学教学中数学素质的培养［J］.黄石高等专科学校学报，1999，15(3):21－23.