有序与无序之间的几个分拆恒等式和递归式

许小芳

(湖北理工学院数理学院，湖北黄石435003)

“将正整数拆分成分布量为奇数的无序分拆数等于将正整数拆分成互不相同的分布量的无序分拆数”［1］是由数学家Euler 在研究数论时首先提出的.随后，与无序分拆相关的恒等式的研究引起了很多数学家的关注，并产生了许多有趣的结果［2－3］.

然而，在正整数的分拆问题的研究中，大多只考虑无序分拆或只研究有序分拆，对两者相关的恒等式的研究并不多.Agarwal 在2003年给出了这类问题的第1 个恒等式［4］，并且利用分拆的方法给出了它的组合证明.郭育红［5］在2007年使用Agarwal 的组合方法得到了几个新的关于正整数的无序分拆与有序分拆之间的恒等式.毕晓芳［6］等在2008年又给出了2 个关于无序与有序之间的新的分拆恒等式，并给出了它们的组合证明.黄凤英和柳柏濂［7］在2009年讨论了将正整数分拆成分布量不小于k 和分布量不大于k 的有序分拆，分别给出了这2 类有序分拆与无序分拆相关的一些恒等式和递归式，同时得到了正整数分拆成分布量不大于k 的有序分拆数与广义的高阶菲波拉契数之间的关系式.邢林燕和尤利华［8］在2010年又给出了几个和正整数的无序与有序相关的分拆恒等式.最近庞荣波和许小芳也分别在文献［9］和［10］中研究了这类恒等式.本文在此基础上提出了几个新的与正整数的无序分拆和有序分拆相关的恒等式和递推式，并给出了它们的组合证明.

1 预备知识

定义1［5］如果正整数n 的一个无序分拆π 的所有分部量为互不相同的奇数，则称π是一个“奇”无序分拆.

定义2［5］如果正整数n 的一个无序分拆π 的所有分部量为互不相同的偶数，则称π 是一个“偶”无序分拆.

定义3［6］如果正整数n 的一个无序分拆π 中分部量分别以奇数和偶数交替出现，且最小分部量是偶数，则称π 是一个“奇－偶”无序分拆.

引理1［6］设m 是满足2 ≤m＜n 的正整数，其中n 是奇数.如果正整数n 可以分拆成2 部分之和，其中第1 部分是分部量为偶数的有序分拆，第2 部分是1 个奇数，用c(e，o，n)表示这种分拆数;如果正整数n 可以分成2部分之和，其中第1 部分是恰含m－1 个偶数的有序分拆，第2 部分是1 个奇数，用cm(e，o，n)表示这种分拆数;将恰含2 个以上分部量并且最大分部量为n 的“奇”无序分拆数记为On;将恰含m 个分部量并且最大分部量为n 的“奇”无序分拆数记为Omn，则:

引理2［6］设n，m 是正整数，且m 满足2≤m＜n.如果正整数n 可以分拆成2 部分之和，其中第1 部分是分部量为奇数的有序分拆，第2 部分是1 个偶数，用c(o，e，n)表示这种分拆数;如果正整数n 可以分成2 部分之和，其中第1 部分是恰含m－1 个奇数的有序分拆，第2 部分是1 个偶数，用cm(o，e，n)表示这种分拆数;将最大分部量为n 的“奇－偶”无序分拆数记为OEn;将恰含m 个分部量且最大分部量为n 的“奇－偶”无序分拆数记为，则:

2 与“奇－偶－奇”有序分拆相关的恒等式和递归式

定义4如果正整数n 的一个有序分拆π包含3 个部分，其中第1 部分是一个奇数，第2 部分是分部量为偶数的有序分拆，第3 部分是一个奇数，则称π 是n 的一个“奇－偶－奇”有序分拆.用c(o，e，o，n)表示n 的“奇－偶－奇”有序分拆数.

定义5如果正整数n 的一个有序分拆π包含3 个部分，其中第1 部分是一个奇数，第2 部分是包含m－2 个分部量的“偶”有序分拆，第3 部分是一个奇数，则称π 是n 的一个包含m 个分部量的“奇－偶－奇”有序分拆.用cm(o，e，o，n)表示n 的包含m 个分部量的“奇－偶－奇”有序分拆数.

定理1设m 是满足3≤m＜n 的正整数，其中n 是偶数，则有:

证明:首先证明式(1)成立.

设π 是一个恰含m 个分部量且最大分部量为偶数n，其余分部量为奇数的无序分拆.令π = x1+x2+…+xm，其中x1＜x2＜…＜xm=n(xi为奇数，i =1，2，…，m－1).于是n=x1+(x2－x1)+(x3－x2)+…+(xm－xm－1)就是一个将正整数n 分拆成3 部分的分拆数:第1 部分是一个奇数，第2 部分是恰含m－2 个偶数的有序分拆，第3 部分是一个奇数.

另一方面，设n =n1+n2+…+nm是正整数n 的一个恰有m 个部分的有序分拆，其中n1和nm为奇数，ni(i = 2，3，…，m－1)为偶数.令x1= n1，x2= n1+n2，x3= n1+n2+n3，…，xm=n1+n2+…+nm= n，显然x1，x2，…，xm－1为奇数，xm为偶数n，则π = x1+x2+…+xm是一个恰含m 个分部量且最大分部量为偶数n，其余分部量是奇数的无序分拆.

从而，正整数n 的一个恰有3 部分的有序分拆(其中第1 部分是一个奇数，第2 部分是包含m－2 个分布量的“偶”有序分拆，第3 部分是一个奇数)与一个包含m 个分部量且最大分部量为偶数n，其余分部量是奇数的无序分拆一一对应，故式(1)成立.

很明显，式(2)可以由式(1)得到.

例如:取n =8，m =3.将8 分拆成3 部分之和的有序分拆(其中第1 部分是一个奇数，第2 部分是一个偶数，第3 部分是一个奇数)有6 个:1+6+1，1+4+3，1+2+5，3+4+1，3+2+3，5+2+1，即c3(o，e，o，8)=6.与之对应的恰含3 个分部量且最大分部量为偶数8，其余分部量是奇数的无序分拆有6 个:1+7+8，1+5+8，1+3+8，3+7+8，3+5+8，5+7+8，即.

将8 分拆成3 部分之和的有序分拆(其中第1 部分是一个奇数，第2 部分是分部量为偶数的有序分拆，第3 部分是一个奇数)有11个:1+6+1，1+4+3，1+2+5，3+4+1，3+2+3，5+2+1，1+2+4+1，1+4+2+1，1+2+2+3，3+2+2+1，1+2+2+2+1，即c(o，e，8)=11.与之对应的恰含3 个分部量且最大分部量为偶数8，其余分部量是奇数的无序分拆有11 个:1+7+8，1+5+8，1+3+8，3+7+8，3+5+8，5+7+8，1+3+7+8，1+5+7+8，1+3+5+8，3+5+7+8，1+3+5+7+8，即.

定理2设n 是偶数，m 是满足3 ≤m＜n的正整数，则.

证明:设π 是一个恰含m 个分部量且最大分部量为偶数n，其余分部量是奇数的无序分拆.令π =x1+x2+…+xm，其中x1＜x2＜…＜xm= n(xi为奇数，i = 1，2，…，m－1)，则π＇=x1+x2+…+(xm－1)是一个恰含m 个分部量且最大分部量为n－1 的“奇”无序分拆.并且这是种一一对应，则.再由定理1 可得.

由引理1 和定理2 可得出下面的结论.

定理3设n 是偶数，m 是满足3 ≤m＜n的正整数，则cm(o，e，o，n)=cm(e，o，n－1).

定理4设n 是偶数，m 是满足3 ≤m＜n的正整数，cm(o，n)表示将正整数n 分拆成恰含m 个分部量且分部量为奇数的有序分拆数，则:

1)当m =3 时，c3(o，e，o，n)= c3(o，e，o，n－2)+c2(o，n－2);

2)当3＜m＜n 时，cm(o，e，o，n)=cm(o，e，o，n－2)+cm－1(o，e，o，n－2).

证明:1)当m =3 时，设π = n1+n2+n3是正整数n 的一个恰有3 个部分的有序分拆，其中n1和n3为奇数，n2为偶数.根据n1与1的关系把π 分解为以下2 类:

①若n1＞1，则π＇= (n1－2)+n2+n3是正整数n－2 的一个恰有3 个部分的有序分拆，其中n1－2 和n3为奇数，n2为偶数.这类分拆数为c3(o，e，o，n－2).

②若n1=1，则π＇= (n1－1)+(n2－1)+n3=(n2－1)+n3是正整数n－2 的一个恰有2 个部分的有序分拆，其中n2－1 和n3为奇数.这类分拆数为c2(o，n－2).

综上可知，当m = 3 时，c3(o，e，o，n)=c3(o，e，o，n－2)+c2(o，n－2)成立.

2)当3＜m＜n 时，设π = n1+n2+…+nm是正整数n 的一个恰有m 个部分的有序分拆，其中n1和nm为奇数，ni(i = 2，3，…，m－1)为偶数.根据n1与1 的关系把π 分解为以下2 类:

①若n1＞1，则π＇= (n1－2)+n2+…+nm是正整数n－2 的一个恰有m 个部分的有序分拆，其中n1－2 和nm为奇数，ni(i =2，3，…，m－1)为偶数.这类分拆数为cm(o，e，o，n－2).

②若n1=1，则π＇= (n1－1)+(n2－1)+…+nm= (n2－1)+n3+…+nm是正整数n－2的一个恰有m－1 个部分的有序分拆，其中n2－1 和nm为奇数，ni(i =3，…，m－1)为偶数.这类分拆数为cm－1(o，e，o，n－2).

综上可知，当3＜m＜n 时，cm(o，e，o，n)=cm(o，e，o，n－2)+cm－1(o，e，o，n－2)成立.

3 与“偶－奇－偶”有序分拆相关的恒等式和递归式

定义6如果正整数n 的一个有序分拆π包含3 个部分，其中第1 部分是一个偶数，第2 部分是分部量为奇数的有序分拆，第3 部分是一个偶数，则称π 是n 的一个“偶－奇－偶”有序分拆.用c(e，o，e，n)表示n 的“偶－奇－偶”有序分拆数.

定义7如果正整数n 的一个有序分拆π包含3 个部分，其中第1 部分是一个偶数，第2 部分是包含m－2 个分部量的“奇”有序分拆，第3 部分是一个偶数，则称π 是n 的一个包含m 个分部量的“偶－奇－偶”有序分拆.用cm(e，o，e，n)表示n 的包含m 个分部量的“偶－奇－偶”有序分拆数.

定理5设n，m 是正整数，且m 满足3≤m＜n，则有:

证明:首先证明式(3).

设π 是一个包含m 个分部量的“奇－偶”无序分拆且最大分部量为n－1.令π = x1+x2+…+xm，其中x1＜x2＜…＜xm= n－1 且x1为偶数.于是n = x1+(x2－x1)+(x3－x2)+…+(xm－xm－1+1)就是一个将正整数n 分拆成3 部分的有序分拆:第1 部分是一个偶数，第2 部分是恰含m－2 个奇数的有序分拆，第3 部分是一个偶数.

另一方面，设n =n1+n2+…+nm是正整数n 的一个恰有m 个部分的有序分拆，其中n1和nm为偶数，ni(i = 2，3，…，m－1)为奇数.令x1= n1，x2= n1+n2，x3= n1+n2+n3，…，xm=n1+n2+…+nm－1 = n－1，显然x1，x2，…，xm为奇数和偶数交替序列，x1为偶数，则π =x1+x2+…+xm是一个恰含m 个分部量且最大分部量为n－1 的“奇－偶”无序分拆.从而，正整数n 的一个恰有3 部分的有序分拆(其中第1 部分是一个偶数，第2 部分是恰含m－2 个奇数的有序分拆，第3 部分是一个偶数)与一个恰含m 个分部量且最大分部量为n－1 的“奇－偶”无序分拆一一对应，故式(3)成立.

很显然，式(4)可以由式(3)得到.

例如:取n =9，m =3.将9 分拆成3 部分之和的有序分拆(其中第1 部分是一个偶数，第2 部分是一个奇数，第3 部分是一个偶数)有6 个:2+5+2，4+1+4，2+3+4，4+3+2，2+1+6，6+1+2，即c3(e，o，e，9)=6.与之对应的恰含3 个分部量且最大分部量为8的“奇－偶”无序分拆有6 个:2+7+8，4+5+8，2+3+8，4+7+8，2+5+8，6+7+8，即.

将9 分拆成3 部分之和的有序分拆(其中第1 部分是一个偶数，第2 部分是分部量为奇数的有序分拆，第3 部分是一个偶数)有11个:2+5+2，4+1+4，2+3+4，4+3+2，2+1+6，6+1+2，2+1+1+3+2，2+1+3+1+2，2+3+1+1+2，2+1+1+1+4，4+1+1+1+2，即c(e，o，e，9)=11.与之对应的恰含3 个分部量且最大分部量为偶数8 的“奇－偶”无序分拆有11 个:2+7+8，4+5+8，2+3+8，4+7+8，2+5+8，6+7+8，2+3+4+7+8，2+3+6+7+8，2+5+6+7+8，2+3+4+5+8，4+5+6+7+8，即.

由引理2 和定理5 可得出下面的结论.

定理6设n，m 是正整数，且m 满足3≤m＜n的正整数，则:

cm(e，o，e，n)=cm(o，e，n－1).

定理7设n，m 是正整数，且m 满足3≤m＜n，cm(e，n)表示将正整数n 分拆成包含m 个分部量的“偶”有序分拆数，则:

1)当m =3 时，c3(e，o，e，n)= c3(e，o，e，n－2)+c2(e，n－1);

2)当3＜m＜n 时，cm(e，o，e，n)= cm(e，o，e，n－2)+cm－1(e，o，e，n－1).

证明:1)当m = 3 时，设π = n1+n2+n3是正整数n 的一个恰有3 个部分的有序分拆，其中n1和n3为偶数，n2为奇数.根据n1和2的关系把π 分解为以下2 类:

①若n1＞2，则π＇= (n1－2)+n2+n3是正整数n－2 的一个恰有3 个部分的有序分拆，其中n1－2 和n3为偶数，n2为奇数.这类分拆数为c3(e，o，e，n－2);

②若n1=2，则π＇=(n1－2)+(n2+1)+n3=(n2+1)+n3是正整数n－1 的一个恰有2 个部分的有序分拆，其中n2+1 和n3为偶数，这类分拆数为c2(e，n－1).

综上可知，当 m = 3 时，c3(e，o，e，n)=c3(e，o，e，n－2)+c2(e，n－1)成立.

2)当3＜m＜n 时，设π = n1+n2+…+nm是正整数n 的一个恰有m 个部分的有序分拆，其中n1和nm为偶数，ni(i = 2，3，…，m－1)为奇数.根据n1与2 的关系把π 分解为以下2 类:

①若n1＞2，则π＇= (n1－2)+n2+…+nm是正整数n－2 的一个恰有m 个部分的有序分拆，其中n1－2 和nm为偶数，ni(i =2，3，…，m－1)为奇数，这类分拆数为cm(e，o，e，n－2);

②若n1=2，则π＇= (n1－2)+(n2+1)+…+nm= (n2+1)+n3+…+nm是正整数n－1的一个恰有m－1 个部分的有序分拆，其中n2+1 和nm为偶数，ni(i =3，…，m－1)为奇数，这类分拆数为cm－1(e，o，e，n－1).

综上可知，当3＜m＜n 时，cm(e，o，e，n)=cm(e，o，e，n－2)+cm－1(e，o，e，n－1)成立.

［1］MacMahon P A.Memoir on the compositions of numbers［J］.Philos，Trans.Roy.Soc.London A，1894，184:835－901.

［2］Alladi K.A variation on a theme of sylvester－a smoother road to gollniz (big)theorem［J］.Discrete Math，1999，196:1－11.

［3］Andrews G E.Ramanujan＇s"lost"notebook IV:stacks and alternating partitions［J］.Adv.in Math，1984，53:55－74.

［4］Agarwal A K.An analogue of Euler＇s identity and new combinatorial properties of n－colour compositions［J］.J.Computational and Applied Mathematics，2003，160:9－15.

［5］郭育红.与正整数的无序分拆和有序分拆相关的一些恒等式［J］.数学学报(中文版)，2007，50(3):707－710.

［6］毕晓芳，燕子宗，赵天玉.两个新的正整数分拆恒等式［J］.长江大学学报(自然科学版·理工卷)，2008，5(1):28－29.

［7］黄凤英，柳柏濂.与有序分拆相关的一些恒等式［J］.数学学报(中文版)，2009，52(2):403－408.

［8］邢林燕，尤利华.与有序分拆和无序分拆相关的几个恒等式［J］.华南师范大学学报(自然科学版)，2010(1):20－23.

［9］庞荣波.无序与有序分拆的双射关系［J］.烟台大学学报(自然科学与工程版)，2011，24(3):178－181.

［10］许小芳.与正整数的有序分拆相关的一些恒等式［J］.黄石理工学院学报，2012，28(1):47－51.