基于Guyan法的有限元模型缩聚技术研究

2013-02-18

装备制造技术 2013年1期

（沈阳航空航天大学民用航空学院，辽宁沈阳 1 10136）

模型缩聚在结构动力学特性分析中有着广泛的应用，其目的是为了获得一个满足工程精度要求的低阶有效计算模型。关于有限元计算中自由度减缩已有很多专著论述，已经在商业软件中得以应用[1]。Guyan法是有限元分析中广泛使用的一种自由度减缩方法，属于静态自由度减缩方法，是其它很多自由度减缩方法的基础[2]，在具体应用计算中缩聚点位置及自由度数对计算结果的影响重大，值得深入研究。

1 Guyan减缩法

Guyan法将有限元模型的自由度分为主自由度和副自由度，忽略副自由度上质量的影响，将系统的副自由度减缩掉。结构的动力学方程为：

式中，

xa为主自由度位移；

xb是副自由度位移。

则由上式第二方程得

若不靠虑副自由度上的惯性影响，则

此方程被看成是一种静态特性的约束，因此也称Guyan法为静态减缩法。这种处理对结构系统的低阶模态的影响不大，因低级模态的惯性力较小，但对高阶模态则经常造成很大误差[3]。

减缩后的模型即为：

2 算例分析

考虑一长方形薄板结构，长300 mm，宽180 mm，厚度为6 mm。材料弹性模量E=3.0E6 Mpa，泊松比μ=0.33，密度ρ=3.0E-9t/mm3。在其中一个短边施加固支边界条件，约束全部6个自由度。将该板用CQUAD4单元划分为15个单元，24个节点，单元和节点编号如图1所示。

图1 矩形板有限元模型单元及节点编号

将全部单元板厚为6 mm的设定为试验模型，记作模型T。为描述试验模型与数值模型的建模差别，把其中8号单元的板厚修改为8 mm作为有限元数值模型，记作模型A。将模型T的分析结果作为试验结果，而模型A的分析结果作为有限元计算结果，通过研究这两个模型的差别，研究结构有限元模型修改的相关技术和方法。

2.1 固有特性分析

首先对两模型固有特性进行分析，为模型缩聚（即相当于物理试验的测点位置布置和测点自由度选择）作指导。结果如表1所示。

表1 固有特性分析结果

这里只重点讨论前4阶振型。

2.2 相关性分析

把两种模型所得的固有频率作为x轴和y轴，可以简单直观的获得模型相关性。把固有振型列向量的每个元素都画在x-y平面上，x轴表示数值分析值，y表示试验值。如果两个模型的固有振型都是按质量规一化分布，则理论上这些点应位于斜率为的直线上。如果这些点所靠近的那条直线其斜率不是，则两个模型中，有一个模型的固有频率没有按质量规一化，或存在其他某种形式的数据换算误差。如果这些点围绕该直线广泛的散布着，那么两个模型中的一个数据有错。如果散布的范围非常大，则可能是由于被比较的两个振型向量并不是对应于同一模态的原因。

经过作图比较，频率相关图以及前几阶的振型相关图均围绕着斜率为1的直线散布，因此两模型具有良好的相关性。

2.3 测点布置与模型缩聚

通过对计算模型进行有限元分析可知，结构的第1、3阶振型分别为一阶、二阶弯曲，而第2、4阶振型分别为一阶及二阶扭转。下面将讨论几种不同的测点选择（缩聚）方案对模型计算结果的影响。

A 方案：在 2、6、20、24号节点，各 6个自由度；

B 方案：在 2、3、4、5、6、20、21、22、23、24 号节点，各6个自由度；

C 方案：在 3、9、15、21、5、11、17、23 号节点，各6个自由度。

对上述各模型进行有限元分析并比较。

表2 不同缩聚方案前四阶频率比较

2.4 结论

由表2可知，A缩聚方法只能描述1阶振型，这是因为选择的两对节点分别在板的长边上是线性关系，不能描述更高阶的振型，故A方案缩聚后得到的一阶弯曲、一阶扭转的误差较小，而计算得到的二阶弯曲、二阶扭转的误差都很大；B方案选择两条长边的所有点作为缩聚点，在每个边上有5个点，可以至少描述3次弯曲振型，因此，计算得到的误差都比较小，特别是二阶弯曲，沿长边方向增加了3个点，总数目为8个，使得频率计算的误差从24%降低到2%左右，作用比较明显；而C方案相应的通过沿板宽方向增加测点的数目，而沿板长方向没有变化，但是从位置上比较接近板中间地带，所以计算得到的频率误差范围不大，但是沿宽度方向增加点数对减小结果精度误差的耗费较大。