关于仙人掌图拓扑指数的一个注记①

赵 坤， 代少军， 黄晋阳

(1.佳木斯大学理学院，黑龙江 佳木斯154007;2.天津工业大学理学院，天津300387;3.北京化工大学理学院，北京100029)

1 介 绍

设G = (V(G)，E(G))是一个简单连通图，顶点集为V(G)，边集为E(G)，对任意的顶点u，v ∈V(G)，dG(u)(或者简记为d(u))和dG(u，v)表示u 的度数和u，v 的距离(即最短路径的边数目). 如果d(u)= 1，则u 称为G 的一个悬挂点.称uv ∈E(G)为一条边，是指u，v 以为结束顶点的边.设G1∪G2表示一个包含G1和G2两个分支的非连通图，kG 表示k(≥0)个图G 的组合，图G1和G2的交G1∨G2表示满足顶点集为V(G1∨G2)= V(G1∪G2)及边集为E(G1∨G2)= E(G1)∪E(G2)∪{uv:u ∈V(G1)，v ∈V(G2)}的图.通常，Kn，Pn及Cn分别表示n 个顶点的完全图，路径图及圈图.特别地，K1表示一个孤立点. 一个图称为仙人掌图，或树形图，是指它的任何圈最多有一个公共顶点［1，2］. 如果仙人掌图的所有圈仅有一个公共顶点，则称G 为丛图［1］.本文要研究的就是这类特殊的图.设G(n，c)表示有n 个顶点和c 个长度为3 的圈的丛图，如图1.这里n ≥2c+1 且c ≥0.有定义，我们得到G(n，c)= K1∨(cK2∪(n-2c-1)K1).

Schultz［3］在1989 年介绍了用一个结构图论的整数描绘了烷烃的特征，命名为Schultz 指数，定义为

通过修改公式(1)，Gutman［4］定义了修正Schultz指数，即

Schultz 指数和Schultz 修正指数是利用数学性质研究某些化学结构的拓扑指数之一，它们与许多的有机化合物的物理化学性质有密切的关系，特别是QSPR 和QSAR 性质.此类研究在参考文献［5 ～8］中有显见.

本文就主要考虑G(n，c)图的Schultz 指数和Schultz 修正指数，并对指数进行排序.

图1 G(n，c)图

2 G(n，c)图的Schultz 指数

定理1 对任意的整数对(n，c)

这里n ≥2c +1 且c ≥1.

证明: 设v 表示图G(n，c)的中心顶点. 为了便于计算，我们将G(n，c)图的顶点分成三类.第一类为cK2中的顶点，第二类为顶点v，第三类为(n-2c -1)K1中的顶点.利用公式(1)，得到

(i)u，v 为第一类顶点，则贡献Schultz 指数为:

(ii)u，v 为分别第一类和第二类顶点，则贡献Schultz 指数为:

(iii)u，v 为第三类顶点，则贡献Schultz 指数为:

(iv)u，v 为分别第二类和第三类顶点，则贡献Schultz 指数为:

(v)u，v 为分别第一类和第三类顶点，则贡献Schultz 指数为:

综合上面的计算，我们得到定理1 的结论.

引理1 对于固定的n，S(G(n，c))关于变量c是单调递增的.

证明: 由定理1，有

得证S(G(n，c))是单调递增的.

显然，由引理1，得到定理2，对Schlutz 指数S(G(n，c))进行了排序.

定理2 对固定的n，S(G(n，c))的排序为S(G(n，1))＜S(G(n，2))＜… ＜S(G(n，c0))这里c0满足0 ≤n -2c0-1 ≤1.G(n，1)具有最小的Schlutz 指数.

3 G(n，c)图的Schultz 修正指数

定理3 对任意的整数对(n，c)

这里n ≥2c +1 且c ≥1.

证明: 设v 表示图G(n，c)的中心顶点. 为了便于计算，我们将G(n，c)图的顶点分成三类.第一类为cK2中的顶点，第二类为顶点v，第三类为(n-2c -1)K1中的顶点.利用公式(1)，得到

(i)u，v 为第一类顶点，则贡献Schultz 修正指数为:

(ii)u，v 为分别第一类和第二类顶点，则贡献Schultz 修正指数为:

(iii)u，v 为第三类顶点，则贡献Schultz 修正指数为:

(iv)u，v 为分别第二类和第三类顶点，则贡献Schultz 修正指数为:

(v)u，v 为分别第一类和第三类顶点，则贡献Schultz 修正指数为:

综合上面的计算，我们得到定理2 的结论.

引理2 对于固定的n，S*(G(n，c))关于变量c 是单调递增的.

证明: 由定理3，有

得证S(G(n，c))是单调递增的.

显然，由引理2，我们得到定理4，对Schlutz修正指数S*(G(n，c))进行了排序.

定理4 对固定的n，S*(G(n，c))的排序为S*(G(n，1))＜S*(G(n，2))＜… ＜S*(G(n，c0))这里c0满足0 ≤n -2c0-1 ≤1. G(n，1)具有最小的Schlutz 修正指数.

4 结 论

通过上面的定理2 和4，能够知道在所有G(n，c)图中，当图的顶点数目n 固定时，图G(n，1)是同时具有最小Schlutz 指数和最小Schlutz 修正指数的图.

［1］ Borovicanin B，Petrovic M. On the Index of Cactuses with n Vertices［J］. Publications Deinstitut Mathematique (Beograd)，2006，79(93):13 -18.

［2］ Radosavljevic Z，Rasajski M. A Class of Reflexive Cactuses with Four Cycles［J］. Publikacije ElektrotehnickogFakulteta-serija:Matematika，2003，14:64 -85.

［3］ Schultz H P. Topological Organic Chemistry. 1. Graph Theory and Topological Indices of Alkanes［J］. Journal of Chemical Information and Computer Science，1989，29(3):227 -228.

［4］ Gutman I. Selected Properties of the Schultz Molecular Topological Index［J］. Journal of Chemical Information and Computer Science，1994，34(5):1087 -1089.

［5］ Xiao Z M，Chen S，Li J F. The Modified Schultz Index of Nanotubes Covered by［J］. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience，2009，6:662 -666.

［6］ Xiao Z M，Chen S. The Modified Schultz Index of Armchair Polyhex Nanotubes［J］. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience，2009，6:1109 -1114.

［7］ Chen S. Modified Schultz Index of Zig-Zag Polyhex Nanotubes［J］. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience，2009，6:1494 -1498.

［8］ Chen S，Xia F L. The Modified Schultz Index of Nanotubes［J］.Journal of Computational and Theoretical Nanoscience，2009，6:1499 -1503.