对2012年全国高考理综21题的讨论

2013-01-12薛文堂

物理通报 2013年2期

关键词：球壳球心球体

薛文堂

(山西省实验中学山西太原 030031)

2012年全国高考理综全国卷有两道题背景相同，一道是新课标卷21题，试题如下.

【题目1】假设地球是一半径为R,质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

另一道是全国大纲卷25题，试题如下.

【题目2】一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k.设地球的半径为R.假定地球的密度均匀.已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d.

两道题都涉及到地表以下矿井内的重力加速度与地面上重力加速度的比较同一个背景，都提示已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.这个问题在以前的高考题中没有涉及过.以前涉及到重力加速度问题的都是在地面之上某高度处与地面上的重力加速度比较.而在中学物理竞赛书上，这个问题是个基本问题.该问题和均匀带电球壳球内场强处处为零，证明方法一样.对于处于球心的的物体，球壳对其引力为零比较容易证明，但如果物体不在球心，证明就比较复杂.现证明方法如下.

如图1所示，在球壳内任取一点P，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS1和ΔS2，两个面元到P点的距离分别为r1和r2.设球面的质量面密度为σ，则这两个面元对放在P点质量为m的质点的引力分别为

图1

α1=α1=α

所以

因此F1=F2，而它们的方向是相反的，所以，两个面元ΔS1和ΔS2对放在P点的质点引力大小相等，合力为零.

同理，如图2所示，其他各个相对的面元ΔS3和ΔS4，ΔS5和ΔS6……对放在P点的质点引力大小相等，合力为零.因而，整个球面对放在P点的质点引力的合力为零.由于P点是球壳内任意一点，所以，整个球面对放在球面内任意一点的质点引力合力均为零.

图2

题目1解:如图3，地球半径为R,矿井深为d.地球可看成许多球面构成，则在矿井底部，一个质量为m的质点，仅受到以半径为(R-d)球体对它的引力，这个球面之外的部分对此质点的引力为零.设地球表面重力加速度为g，地球的密度为ρ，则

图3

矿井底部的重力加速度为g′,则

所以

题目2解:知道同一单摆在地面上和在矿井底部的周期之比为k,根据单摆的周期公式

可得矿井底部和地球表面重力加速度之比

而如前所述

解得

d=(1-k2)R

与该题背景类似的问题还有以下例题.

【例1】假若地球是一个密度均匀的球体，设想沿地球直径开凿一条贯穿地球的隧道，将一小球从隧道的一端由静止释放,那么，此小球的运动是怎么样的？

图4

解析：可以证明这个小球做简谐运动，证明如下：如图4所示，小球从洞口释放后受到指向地心的引力充当回复力.设地球半径为R,密度为ρ，由于均匀的球壳对球内的质点引力为零，地球可以看成是许多球壳组成，某时刻小球位于距球心为x处时，在以地心为圆心,半径为x的球面之外部分对小球引力为零.只有以地心为圆心,半径为x的球面之内的部分对小球有引力.所以,回复力为

即小球做简谐运动，平衡位置就是地心.

【例2】如图5所示，设球体的半径为R，电荷体密度(单位体积内的带电荷量)为ρ，求距球心为r处的场强.