范德瓦耳斯气体直线过程的若干讨论

张金荣 刘应开

(云南师范大学物理与电子信息学院 云南 昆明 650500)

1 引言

大家熟知，理想气体经历的热力学准静态过程(如等压过程、等温过程、等容过程、绝热过程)的吸放热特性是确定的.有人已经从dT,dQ讨论了理想气体直线过程中温度的变化及吸放热的情况[1]，并利用dS确定了熵的极大值点[2].文献[3]中作者从理想气体直线过程中态函数温度和熵与状态参量体积的关系式出发，采用了数学求极大值方法确定了理想气体直线过程中温度最高点M和吸放热的转换点N的状态参量.后来有人又从斜率变化的角度研究了理想气体直线过程的斜率与吸放热特性的关系[4].但是具体每个过程吸热多少，外界对其做功的关系仍不清楚.由于理想气体的特殊性，文献[5]讨论了与实际气体较为接近的范德瓦耳斯气体的内能、熵[5,6]以及准静态过程中吸放热转变点的求解方法[7]等进行研究、讨论.然而，对于范德瓦耳斯气体在直线过程中相关特性的研究却未见报道.为此，本文从理论上推出1 mol的范德瓦耳斯气体在直线过程中的温度转换点以及吸放热转换点，随后计算了各种气体在该直线过程中对应的温度以及热量转换点，找到了影响温度以及热量转换点的因素，并且利用Matlab绘出了(T,k,V)和(Q,k,V)三维空间图，直观反映出温度及吸放热特性随着斜率、体积的变化关系.

2 M点的状态参量和过程温度的变化情况

为了方便，文中讨论了1 mol的范德瓦耳斯气体在直线过程中相关过程进行讨论.直线过程AB(A为初始态，B为终态)斜率为k，截距为b，其过程方程为

p=k1V+b1

(1)

上式中k1<0,b1>0，其p-V关系如图1所示.

图1 直线过程AB的p-V图

范德瓦耳斯气体的状态方程为

(2)

把式(1)代入式(2)，可得

(3)

式(3)即为温度随着体积的变化关系式

(4)

式(4)两边同时乘以V3得

2k1V4+(b1-k1b)V3-aV+2ba=0

这是一个关于V的代数方程，如果已经知道直线的斜率、截距和气体的种类，利用Matlab的求根函数roots即可求出该气体沿着这条直线变化时温度的转变点.

2.1 实例讨论

假设n=1 mol的气体沿着如图2所示的直线过程变化，其中A为起始状态，B为终止态.

图2 直线过程AB的p-V图

该直线过程的数学方程为

p=-0.5*108V+2*105

(5)

表1气体的范德瓦耳斯系数以及定体摩尔热容[8，9]

气体a/×10-3(m6·Pa·mol-2)b/×10-6(m3·mol-1)CV,m/(J·mol-1·K-1)He3.41223.712.398 1Ne21.0717.0912.68Ar134.532.1912.465Kr231.839.7812.215 7Xe419.451.0512.548 1H219.121.820.44O213.631.8321.190 5N213.939.1320.8

下面我们根据表1分别求出各个气体沿着该直线变化时温度的转变点M的体积(见表2).

表2 温度转换点M的体积(气体沿直线变化时)

2.2 温度随着斜率与体积的变化

T=R-1[kV2+(p0-kV0-kb)V+

(6)

从式(6)可以看出,对于同种气体而言,温度仅仅由k和V确定，如果取原点作为直线的起点，则可以利用Matlab作出关于温度、斜率和体积(T,K,V)的三维空间图如图3所示.

图3中横轴表示k,纵轴表示V,竖轴表示T.这里V的单位是L，k的单位为atm/L,T的单位为K.

根据图3所示的三维空间图，可在整体上把握温度随着斜率和体积的变化趋势.

(1)沿着k轴的正方向，随着斜率的增大，温度随着体积的变化先是呈明显的倒U形，然后经历了从倒U形向正U形的过渡，最后呈现明显的U形.

(2)随着气体的范德瓦耳斯系数a,b的增大，三维空间图上出现了明显的断痕，也就是说直线的斜率固定时，对于a,b较大的气体不可能同时存在多个温度的转换点，与表2中所得到的结论相同.并且对于表2中的 a,b系数，a对温度转换点起决定作用.

图3 温度随斜率、体积变化趋势三维空间图

气体从M到B的过程中，仍然对外界做功，但是气体的温度却是在降低，显然，在M到B的过程中既有放热区，也有吸热的区，其中必然存在一个从吸热转为放热的过渡点N.

3 N点的状态参量

1mol的范德瓦耳斯气体仍然沿直线过程变化，直线的方程为p=k1V+b1，其中k1<0,b1>0.在任意的准静态过程中，范德瓦耳斯气体的内能都满足热力学第一定律即

dQ=dU+pdV[9]

(7)

3.1 研究范德瓦耳斯气体的内能表达式

(8)

dEk=μCV,mdT

(9)

(10)

代入dQ=dU+pdV[9]中可以得

(11)

由1mol范德瓦耳斯气体的状态方程和p=k1V+b1，其中k1<0,b1>0，可得

dQ =[(2R-1CV,mk1+k1)V+(R-1CV,mb1-

(12)

在吸放热转变点满足dQ=0，当dV>0时，

(2R-1CV，mk1+k1)V+(R-1CV,mb1-

则该区域为放热区.

对于

可以方程两边同时乘以V3，得

(2CV，mk1+k1R)V4+(Rb1+CV,mb1-CV,mk1b)V3+(Ra-CV,ma)V+2CV,mab=0

(13)

对于上面的方程,如果已经知道直线的斜率、截距和气体的种类，利用Matlab的求根函数roots，即可求出该气体沿着这条直线变化时热量转变点.

3.2 求解气体在该直线过程中的吸放热转换点

假设n=1mol的气体也沿着如图2所示的直线过程变化，其中A为起始状态，B为终止态.分别求出各个气体沿着直线变化时热量的转变点N的体积(见表3).

表3热量转换点N的体积(气体沿直线变化时)

气体V1/×10-3m3V2/×10-3m3V3/×10-3m3V/×10-3m3He2.510 12Ne2.512 00Ar2.460 90Kr2.438 97Xe2.448 59H20.0880.152 492.321 798 9O20.108 90.562 3212.321 798 9N20.139 4380.537 72.218

3.4 热量随着斜率与体积的变化

若取气体的直线变化方程为p-p0= k(V-V0) ,其中(p0,V0)是起点，k是直线的斜率.结合1mol范德瓦耳斯气体的状态方程和热力学第一定律Q=U+W[8],可以得到热量关于斜率和体积的表达式

(14)

由式(14)可以看出对于同种气体,热量仅仅由k和V确定，如果取原点作为直线的起点，则可以利用Matlab绘出关于热量、斜率和体积(T,k,V)的三维空间图如图4所示.

图4中横轴表示k，纵轴表示V，竖轴表示Q,这里V的单位是L，k的单位为atm/L,Q的单位为1.013*102J.

根据图4的热量、体积、斜率的关系，可以整体上把握气体的热量随着斜率和体积的变化趋势.

(1) 对于单原子气体He和Ne的三维空间图，热量随着斜率和体积的变化趋势几乎完全相同，对应的热量值也相同，而双原子气体O2和N2的三维空间图也几乎完全相同，这与表3中所得到的结论相同.

(2)随着斜率的增大，吸热量Q随着体积的变化趋势先是呈明显的倒U形，然后经历了从倒U形到正U形的过渡，最后，呈现明显的U形.这与理想气体的热量和斜率体积的变化关系类似.对于理想气体，斜率数值较大而为负值时，此区域是放热区，对应于三维空间图上的倒U形；斜率为正值时为吸热区，此时对应于三维空间图上的正U形，从倒U形向正U形的过渡则对应于先吸热后放热的区域[4].结合范德瓦耳斯气体的三维空间图，不难得到理想气体的规律对于范德瓦耳斯气体也成立.

(3)斜率和气体体积变化量相同时，双原子气体的热量变化值明显大于单原子，这与表3中所得到的结论一致，这是因为Q由CV,m决定，双原子气体的定体摩尔热容大于单原子.

图4 热量、斜率和体积的三维空间图

4 结论

范氏气体在同一直线的变化过程中气体的温度转换点主要由气体的范氏系数a决定，对于a比较大的气体，其所对应的温度转换点的体积也会越大，温度转换点的数量最多只有一个.根据温度与斜率和体积的三维空间图可知，沿着斜率增加的方向，温度T随着体积的变化趋势呈明显的U字形.随着斜率的增大，温度随着体积的变化先是呈明显的倒U形，然后经历了从倒U形向正U形的过渡，最后呈现明显的正U形.而范氏气体在同一直线的变化过程中气体的热量转换点仅仅由气体的定体摩尔热容CV,m决定，范氏系数a,b却不起作用.这一点也可以在热量、斜率、体积的三维空间图得到验证，双原子气体间的三维空间图几乎完全相同，单原子气体间也是一样.并且可以得到对于定体摩尔热容较大的双原子气体，体积变化相同，其对应的热量变化量大于单原子气体.热量对体积和斜率的依赖关系图还显示出随着斜率的变化，吸收热量Q随着体积V的变化趋势也具有明显的U字形，随着斜率的增大，热量Q随着体积的变化先呈明显的倒U形，然后经历从倒U形向正U形的过渡，最后呈现明显的正U形.倒U形对应于气体的放热区域，正U形对应于气体的吸热区域，而从倒U形向正U形的过渡对应于先吸热后放热的区域，这与理想气体结论一致.

参考文献

1 伍文宜.理想气体直线过程的讨论.大学物理，1996,15(07):47～48

2 伍文宜.理想气体直线过程的再讨论.大学物理，1998,2(17):17

3 贾予东.对理想气体直线过程的再讨论.大学物理，1998，17(09)：44～45

4 杨婷婷，腾保华.浅析理想气体直线过程的吸放热.物理通报，2011(04)：14～15

5 李向民.关于范德瓦耳斯气体的若干讨论.聊城大学学报(自然科学版)，2003,16(03)：25～26

6D.Halliday&R.Resnick.PartI.NewYork:JohnWiley&Sons,Inc,1977.42～50

7 付清荣，赵建东，张国梁.范德瓦耳斯气体在任意准静态过程中吸放热转变点的求解方法分析.伊犁师范学院学报(自然科学报)2011，9(03)：23～24

8 马文蔚.物理学.北京：高等教育出版社，1999.259～262

9 秦允豪.热学.第二版.北京：高等教育出版社，2004.86～87