神奇的导线

励箭生

(浙江省奉化中学 浙江 宁波 315500)

2011年“北约”(以北京大学为首的11所高校组成自主招生联盟，简称“北约”)自主招生考试物理试题中有这样一道题目.

题目：两根长为l，质量为m，电阻为R的金属棒平行桌边缘放置，用两根无电阻的光滑导线将两棒系在一起，空间中有匀强磁场B，方向与桌边缘垂直，与水平面夹角为φ，如图1所示．开始时刻将两棒由静止释放(桌子侧面有挡板阻止下面棒有水平偏离)．问理论上棒能达到的最大速度vmax?

图1

解析：金属棒达到最大速度vmax时，回路中的感应电动势大小为

E=Blvmsinφ-Blvmcosφ=

Blvm(sinφ-cosφ)

(1)

回路中的电流

由于v到最大时，棒的加速度为零．由牛顿第二定律，有

F安=mg

mg=BIlsinφ-BIlcosφ

(2)

解得

下面我们就基于以上的解答，对题目中棒的受力和运动情况进行下分析．首先将磁场沿水平和竖直方向分解，运动中ab和cd棒分别切割的是磁场的竖直和水平分量，既然回路中总的感应电动势大小如式(1)所述，那么一定有sinφ>cosφ，即匀强磁场与水平夹角45°<φ<90°．此时金属棒中产生的电动势Eab>Ecd，感应电流和此时两棒所受的安培力如图2所示.对ab和cd棒沿导线方向分别列出力平衡方程

化简后可得

mg=F安1-F安2

即上面的式(2)．

图2

那么当磁场与水平方向夹角0°<φ<45°，情况又会怎样呢？由于磁场分量的大小发生了变化，此时金属棒中产生的电动势为Ecd>Eab，回路中感应电动势大小的表达式为

E=Blvmcosφ-Blvmsinφ=

Blvm(cosφ-sinφ)

(3)

则感应电流和两棒所受的安培力方向均要反向，如图3所示，要保持ab棒的受力平衡，导线对ab棒作用力T的方向必须向左．同理可得

mg=F安2-F安1

即

mg=BIlcosφ-BIlsinφ

(4)

图3

但在解题过程中，你是否发现，当磁场方向与水平面夹角φ<45°时，连接两棒的这根导线又是何等的“神奇”呀！根据题设的条件和我们的分析，它应该具有以下特征：

(1)光滑——光滑是题目的要求，没有问题，很多地方我们都有类似的处理．

(2)柔软——整根导线必须足够的柔软，才能保证其在桌面转角处的平滑运动．

(3)能够对棒提供支撑力，或者说导线在受到压力时是不会收缩的．就像图3中导线对棒的作用力那样，但我们日常生活中的绳子是不会出现图3中所示情况的．

当然，既然是导线，它还必须具备最基本的导电功能．试想一下，这是怎样一种“神奇”的材料制成的导线呢？

笔者一时还真想不出我们生活中有这样的材料．命题者给我们创造了一个巨大的想象空间，笔者的学生在分析到图3中ab棒的受力情况时就一脸茫然，不知道如何处理．如果因为对此“神奇”材料的不理解而导致解题的失误，我想，这不会是命题者的本意吧．