接地导体球附近点电荷运动的讨论

桑芝芳 郑洁梅 黄杨

(苏州大学物理科学与技术学院 江苏 苏州 215006)

接地导体球附近有点电荷存在，则导体球会发生静电感应作用，导体球和点电荷间存在库仑引力，我们可以用镜像法求出球外空间电势、电场的分布以及它们之间的相互作用力．若将点电荷从静止释放，点电荷将向接地导体球做变加速运动，越接近导体球，速度越大，甚至会出现超光速现象，此时应考虑相对论效应．

本文将考虑相对论效应，对接地导体球附近点电荷的运动情况进行讨论，并和用经典力学处理该问题进行了比较．

1 理论分析

问题：设真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心a(a>R0)处有一质量为m的点电荷Q，若从静止释放，该点电荷运动情况如何呢？

分析：根据镜像法，导体球表面的感应电荷对场的贡献可以用假想的像电荷来代替，假设点电荷运动至距球心任意位置x处时，像电荷的位置和大小为

上式中b为像电荷到球心的距离，Q′为像电荷的电荷量，如图1所示．球外空间的电场相当于点电荷Q和镜像电荷Q′所激发的电场，此时点电荷Q所受作用力即为像电荷Q′对它的作用力，表达式为

(1)

图1

如果将点电荷Q从距离球心a处由静止释放，它将向导体球运动，此时像电荷的电荷量增大，与点电荷的距离减小，因而点电荷Q所受的作用力将迅速增大．

根据牛顿第二定律

F=ma

由式(1)可得

(2)

将式(2)分离变量，由初始条件t=0时，x=a,v=0，积分可得

可解得

(3)

式中负号“—”表示点电荷Q的运动方向与x轴方向相反，其中

由式(3)

分离变量，并应用初始条件得

从而可得点电荷Q从距离球心a处运动到任意位置x处的时间为

(4)

令x=R0，由式(4)即可得点电荷Q到达球面的时间．

但值得注意的是，当x→R0时，由式(3)可知v→-∞，速度发散，无物理意义．此时应考虑相对论效应，应用相对论力学求解．

根据相对论力学公式

得

(5)

根据初始条件t=0时，x=a,v=0，并积分得

v=

(6)

当x→R0时，v→-c，即点电荷运动到球表面的极限速度为c，从而有效避免了速度的发散现象．

由式(6)进一步计算可得点电荷运动至球表面的时间为

(7)

2 数值讨论

图2给出了应用相对论力学和经典力学方法处理情况下，速度和位置的变化关系.

图2 用两种方法处理时，速度-位置的关系

图3分别给出了应用相对论力学和经典力学方法处理情形下位置和时间的关系，其中

图3 用两种方法处理时，位置-时间的关系

但值得注意的是，虽然用经典力学来求解点电荷到达导体球面的时间是有效的，并不意味着点电荷的运动就是完全的经典力学运动，我们应意识到其中的相对论效应．

参考文献

1 郭硕鸿. 电动力学. 北京：高等教育出版社，1995

2 Kevin L. Haglin. Point charge dynamics near a grounded conducting plane.Am.J.Phys,2010,78(11):1190～1194