探究曲线运动的图像描述

徐平

(海安县南莫中学 江苏 南通 226681)

1 问题的提出

用速度-时间图像和位移-时间图像来描述直线运动师生们已是耳熟能详、得心应手了．本文所要探究的是能否用它们来描述曲线运动．

2 探究典型曲线运动图像的描述

2.1 平抛运动

2.1.1 教材中描述

物体做直线运动，速度-时间图线表示物体的速度随时间的变化关系，横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标表示从计时开始任一时刻物体的速度．对曲线运动的研究，教材做了精心的准备．先通过红蜡烛实验演示：试管不动时浮于水中蜡烛匀速上升；试管匀速向右运动时，蜡烛一方面随试管匀速向右，另一方面沿试管匀速上升．进而引入分运动、合运动及运动的合成与分解．把研究的空间从直线运动一下子扩展到一个平面内的曲线运动．再从生活中的实例引入平抛运动，接着用小锤打击弹簧片，让两小球同时平抛和自由落体，比较它们的下落时间，把学生的思维又引向水平和竖直两方向上，总结出平抛运动速度和位移的规律．

2.1.2 学生认知上的误区

不少学生认为教材中没有给出平抛运动的图像，说明它不需要掌握；也有少数学生认为平抛运动是曲线运动，无法描述．

从教材的铺垫和暗示不难感悟出：教材中没有直接给出如何用速度-时间图像和位移-时间图像来描述平抛，不等于不作要求，只是具体的图像描述实属能力要求的范畴．用图像描述平抛运动也应从水平和竖直两个方向分别展开．从高考的考题中也不难体会到这一点．

2.1.3 高考题对平抛运动图像及其变化的考查

【例1】(2008年高考江苏卷第5题)如图1所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度v0运动．设滑块运动到A点的时刻为t=0，距A点的水平距离为x，水平速度为vx．由于v0不同，从A点到B点的几种可能的运动图像如图2选项所示，其中表示摩擦力做功最大的是

图1

图2

解析：此题考查了平抛物体在斜面上摩擦力做功最大值问题，实质还是考查平抛运动的研究方法——运动的合成与分解，要求考生从水平方向上利用位移-时间图像、速度-时间图像分析滑块可能的运动情景．A与C图中的水平位移和水平速度随时间的变化关系，从两个不同的角度描述滑块做平抛运动，摩擦力为零，摩擦力做的功亦为零；B图描述的滑块先做平抛运动后在斜面上做匀速运动；与D图中滑块一直在斜面上做匀加速直线运动相比，两种情形都受摩擦力作用，摩擦力做功最大的显然是D中所描述的情景(选项D正确)．这里图像直观形象地描述了平抛运动的两个分运动，用图像描述曲线运动重要性不言而喻．

【例2】(2009年高考江苏卷第4题)在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力，图3中描绘下落速度的水平分量大小vx和竖直分量大小vy与时间t的图像，可能正确的是

图3

解析：本题涉及到跳伞运动员下落过程中水平和竖直方向的v-t图像，跳伞运动员受到的空气阻力并非为恒力，与速度有关，且速度越大受到的阻力越大．竖直方向运动员受重力和空气阻力，速度逐渐增大，阻力增大，合力减小，加速度减小；水平方向只受阻力，速度减小，阻力减小，加速度减小．vx-t和vy-t图像中的斜率分别表示水平和竖直方向的加速度，不难确定B是正确的．

题中跳伞运动员下落过程做复杂的曲线运动，虽不是平抛运动，但命题专家给出了的水平分速度vx大小、竖直分速度vy大小与时间t的关系图像，要求考生会从分运动的角度分析曲线运动．

教学感悟：高考对平抛运动及其类似图像的考查，更加凸显了用分运动的图像来描述平抛运动的必要性和可行性，可以看成是解决平抛运动问题的又一基本方法．

2. 2 一般圆周运动

物体做匀速圆周运动时，速度方向不断变化但大小不变，若仅分析其速率随时间的变化关系，可以用一条平行于横轴的速率-时间图像来描述．

我们关注的是如何用图像来描述一般圆周运动呢？从下面的案例中不难得到启发．

2.2.1 用v-t图像描述一般圆周运动的探究

【例3】在竖直平面内有一圆形绝缘轨道，半径为R= 0.4 m，匀强磁场垂直于轨道平面向里，一质量为m= 1×10-3kg，带电荷量为q= +3×10-2C的小球，可在内壁滑动，如图4所示．开始时，在最低点处给小球一个初速度v0，使小球在竖直平面内逆时针做圆周运动，图5(a)是小球在竖直平面内做圆周运动的v随时间t变化的情况，图5(b)是小球所受轨道的弹力F随时间变化的情况，结合图像所给数据(取g= 10 m/s2)，求：

(1)磁感应强度B；

(2)小球的初速度v0.

图4

图5

解析：对例3中图像的理解上有两大障碍：一是中学阶段很少见到用v-t图描述圆周运动，学生感到十分生疏；二是难于把v-t图中的点与小球实际位置对号入座．

为此我们引导学生进行如下探究.

师：比较v-t图最大速度与次大速度，你认为小球的在竖直平面内做的运动是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动？

生：非匀速圆周运动(学生们异口同声，从两个最大不同能够体会到).

师：好，同学们的判断真不错．请思考，结合v-t图你认为图5(a)所描述的是速度-时间图像还是速率-时间图像，说出判断的依据？按合作学习的小组讨论，稍后派代表交流．

生甲：图5(a)所描述的是速率-时间图像，因为速度的大小变化；

生乙：图5(a)所描述的是速率-时间图像，因为图像都在横轴的上方，说明速度的方向不变；

师：很好，看来图5(a)是速率-时间图像大家的观点是一致的．为什么小球的最大速度与次大速度不等呢？谁能结合图5中描述t=0时刻小球的速率和所受轨道弹力F的特点，分析此时小球位于何处？

(学生们又讨论开了)

生丙：这可能是存在摩擦力的缘故；t=0时刻小球的速率最大，应位于最低点．

师：你回答的很好．t=0时刻小球所处的位置我们从题干中就能找到答案．那么，我们利用图上哪一点来求磁感应强度B？

生丁：利用小球处于t3时刻.从图5(a)可知速度大小为4 m/s，此时刻对应图5(b)中轨道与球间的弹力为零．

(丁同学上黑板写出了求磁感应强度B过程)

t3时刻小球第二次通过轨道的最高点,如图6所示.

图6

在法向应用牛顿第二定律

代入数据得

B=0.25 T

(师生对丁同学的解答给予了充分的肯定)

师：还有谁能求出小球的初速度v0?

生戊：从图5(b)可知t=0时刻，轨道与球之间弹力最大为F=0.11 N，对应的小球第一次过最低点如图3．同样在法向根据牛顿第二定律得

代入数据得

v0= 8 m/s

进一步引导探究、拓展升华.

探究1:结合图5探究小球在t1时刻所处的位置？

方法：假设法．若t1时刻小球第一次位于最高点C，则受力情况如图6，切向的摩擦力将产生切向加速度，使小球的速率还将进一步减小，显然小球速率次最小位在C点的左侧D处(如图6)，此时重力沿切向的分力等于摩擦力．切向加速度位零，小球的速度第一次达到最小．

探究2:小球速度第二次达到速度最大时的位置？

方法1：假设．假设小球速度次大的位置在圆形轨道最低点，同样可排除．

方法2：推理．由探究1知小球速度次大同样具有沿圆周的切向合力为零特点，位置应在最低点的偏左G处(如图6)．

探究3:t=0到t3时间内摩擦力对小球所做的功是多少？

方法：t=0到t3时间内对小球应用动能定理．

探究4:从v-t图像探究t=0，t=t1，t=t2，t=t3几个时刻切线的斜率的意义？

方法：分加速度．从v-t图像观察到在t=0，t=t1，t=t2，t=t3几个时刻，切线的斜率都平行于t轴，斜率为零．由于这里的v-t图像是速率-时间图像，即小球的速度大小随时间的变化规律，没有反映圆周运动的方向变化，从直线运动v-t图像的斜率表示加速度，不难联想到圆周运动的速率-时间图像的斜率表示切向加速度，它改变圆周运动速率，切向加速度为零时，小球在的速率达到极值．

从例3可以看出，由于摩擦力的存在，小球速度最小时(不为零)，对应小球到的轨道的弹力为零，小球位于圆轨道的最高点；小球处于其他次最大和次最小的位置都不在圆轨道的最低点和最高点，共同特点是沿圆周的切向合力均为零．

教学感悟：以案例为载体，通过师生对话、生生互动，用图像描述圆周运动经过学生的感知、想象、类比、抽象、概括等过程，认知不断升华．在新情景下，图像的基本概念、基本规律、基本方法潜移默化的得到掌握，学生的思维能力得到了提高．

2.2.2v-t图像描述一般圆周运动的特点

综上所述，完全可以用v-t图像描述非匀速圆周运动，纵坐标用来表示速率，图像反映的是圆周运动的物体速率随时间的变化规律，与坐标轴所围成的面积表示物体所经过的路程，v-t图像上某点切线的斜率表示切向加速度．

3 结语

平抛运动和圆周运动是两个典型的曲线运动，用图像能方便地描述它们．描述这两种运动的方法不同，这是由两种运动的受力特点不同决定的．平抛运动有水平方向的初速度，受力与初速度方向垂直，用初速度方向和与之方向垂直的速度或位移-时间图像描述；物体圆周运动时，速度方向和向心力方向的时刻变化，无法用速度-时间图像描述，但用速率-时间图像能够反映物体速度大小的变化．有了这两个模型，其他一般曲线运动的描述就有了方法的借鉴．苏霍姆林斯基有句名言：“学生到学校来，不是为了取得一份知识行囊，而主要是为了变得更加聪明”，有了解决问题的方法，学生就会变得更加睿智．

探究用图像描述曲线运动过程，其实是欣赏图像的直观、快捷，体味思想方法，感悟简洁美的过程．美好的人生从画图开始，描绘一般曲线运动的图像还有待继续探究．

参考文献

1 人民教育出版社，等.普通高中课程标准实验教科书 物理(必修1).北京:人民教育出版社,2007.34～37

2 江苏省教育考试院.2008年普通高等学校招生统一考试试题及参考答案.2008

3 江苏省教育考试院.2009年普通高等学校招生统一考试试题及参考答案.2009