质心平移定理

王光宇

(上海市松江教师进修学院附属立达中学 上海 201600)

1 问题提出

如图1所示，设想某人提起哑铃处于自然状态Ⅰ，如图1(a).而后将哑铃缓慢抬起处于状态Ⅱ，如图1(b).由状态Ⅰ到状态Ⅱ，人-哑铃系统的质心发生了改变，不难想象，系统质心位移应与哑铃质量和位移有关.那么，假如只是刚体的一部分发生了平移(简称“动体”)，而另一部分保持在原来的位置(简称“静体”)，则刚体质心发生了位移，试问刚体质心位移与哪些因素有关？本文借用能量、力矩、动量等方法对其进行理论分析，供读者在教学中参考.

图1 人提起哑铃

2 基本理论

2.1 能量法

图2

动体平移前后刚体的重力势能

Ep=Mgh

(1)

(2)

由式(1)、(2)得出刚体重力势能的变化量

Mg(h′-h)=MgΔh

(3)

由于刚体重力势能的变化主要由于动体的位置变化引起，所以，刚体重力势能的变化量应由动体的变化确定

ΔEp=mglcosθ

(4)

由式(3)、(4)得

MgΔh=mglcosθ

即

刚体质心沿OOM方向变化量

(5)

同理，刚体质心沿垂直OOM方向变化量

(6)

2.2 力矩法

图3

动体平移前、后刚体重力力矩

MG=MglOA

(7)

(8)

由式(7)、(8)得重力力矩变化量

(9)

由于刚体重力力矩的变化由动体位移引起，所以刚体重力力矩的变化量等于动体力矩的变化量

ΔMG=mglcosθ

(10)

由式(9)、(10)得

MgΔh∥=mglcosθ

即刚体质心位移沿OOM方向的变化量

同理，刚体质心沿垂直OOM方向变化量

2.3 动量法

图4

(M-m)u=m(v-u)

(11)

由式(11)得

经时间t, 动体质心的相对位移为l，固连于刚体上的O点位移

(12)

将lOO′在OOM方向和垂直OOM方向分解，则刚体质心位移沿OOM方向变化量

刚体质心位移沿垂直OOM方向变化量

3 质心平移定理

3.1 质心平移定理

质心平移定理：平面刚体的一部分发生平移时，对于刚体和其移动部分，两者质心位移方向相同，且位移比等于其质量的反比.

图5

(13)

(14)

由式(14)得

定理得证.

讨论：

(1)当m=M时，可得

即

lOO′=l

所以，当m=M时，相当于刚体发生整体平移，质心位移等于刚体的位移，如同一人站立某处，向前跨一步，仍保持原来的姿势，质心也随人体向前平移相同的距离.

(2)当m≪M时，可得

即

lOO′=0

所以，当m≪M时，平移后，刚体的质心位置几乎没有变化，如同一人站立，一根头发被风吹起，头发的位移对人体质心位移影响可以被忽略，质心位置不变.

(3) 动体沿OMO平动，即θ=0 或θ=π，可得

3.2 作图法求刚体质心

由质心平移定理，平移后刚体的质心可通过作图求得，步骤如下：

(3)在直线OP上求作质心点O′，满足

4 应用举例

【例1】如图6所示，质量均匀分布,长度为L的直杆，绕距离右端l处弯折θ角，求弯折后杆件的质心.

图6

由质心平移定理得，刚体质心位移与动体质心位移方向一致，位移大小为

质心由O→O′点，O沿OMO方向平移

O沿垂直OMO平移

讨论：

图7

图8

(3) 弯折部分绕弯折点旋转一周，质心运动轨迹.

以O点为坐标原点，以OOM为x轴，垂直OOM方向为y轴，建立平面直角坐标系，则质心参数方程

消去参数θ角，可得质心O的轨迹方程

5 结语

质心平移定理给质心位置的确定提供了又一思路，尤其是因部分平移引起的质心位置变动问题.该方法带来了诸多便捷，通过作图即可确定变动后的质心位置，教学或是竞赛辅导中常见的大多都是规则几何体变化而来的问题，由于刚体原质心已知，变动后的质心便可方便地确定.

参考文献

1 程稼福．中学奥林匹克竞赛物理教程力学篇．合肥：中国科技大学出版社,2002

2 舒幼生．关于质心的定义．大学物理，1987，25(2):27

3 沈晨．更高更妙的物理．杭州：浙江大学出版社,2010

4 漆安慎,杜婵英．普通物理学教程 · 力学(第二版)．北京：高等教育出版社,2005