补偿法研究抛体运动

许建明

(浙江师范大学数理信息学院 浙江 金华 321004)

1 运用补偿法计算抛体运动轨迹

如图1所示，传统方法求解一般抛体运动轨迹时主要是将阻力直接分解到两个互相垂直的方向，然后利用牛顿第二定律积分.但对于空气阻力与速度不是线性关系时，积分较繁琐.运用补偿法，可以大大简化积分运算.

图1 传统求解图

图2 补偿法求解图示

如图2所示，处于原点O,质量为m的质点初速度为v0与x轴正向的夹角为θ，空气阻力f=-kv0,与速度方向相反.如果在竖直方向同时补上大小相等，方向相反的速度v′不会影响物体的运动，且满足

kv′=mg

(1)

(1)考虑向下的速度-v′会使物体受到一向上的空气阻力kv′，由于kv′=mg,因此，物体向下做匀速直线运动，位移为

(2)

(2)将向上的速度v′与初速度v0矢量合成为v，与x轴正向的夹角为α，空气阻力变为-kv与x轴负向的夹角为α，将v和阻力分解到坐标轴，列出相应的运动学方程

vx0=vcosα=v0cosθ

(3)

vy0=vsinα=v0sinθ+v′

(4)

(5)

(6)

对式(5)积分

可得

(7)

(8)

同理,可得此种情况下y方向的位移

(9)

将两种情况叠加可得物体运动的参数方程为

(10)

y=y1+y2=

(11)

物体在空气中受到的阻力与物体本身的形状、空气密度、特别是和物体的速率有关，大体来说,物体速率低于200 m/s可认为阻力f∝v2[1].文中讨论的阻力为f=-kv，对于更高次的f=-kvβ(β>1)一般采用内禀方程解物体运动微分方程的方法求解[2]，在此不再赘述.

根据此方法的方程为

mg=kv′β

(12)

(13)

(14)

图3是空气阻力与速度的一次方成正比时，不同速度物体运动轨迹的大致形状.由图3可知，在一定的速度范围内，速率越大抛体飞得更高更远，且有空气阻力时其轨迹不是抛物线，过最高点后更陡.

图3 β=1时不同初速度轨迹

2 利用MATLAB求解最佳抛射角

根据式(10)和式(11)并利用MATLAB求解初速度一定时的最佳抛射角.以我国优秀运动员在铅球比赛中的投掷情况作为初值条件，在2006年全国田径大奖赛肇庆站男子铅球比赛中，推出最好成绩 17.02 m时，铅球的出手速度v0=12.40 m/s，出手角度为40.6°,出手高度为h0=2.47 m[3]，且铅球的标准质量为7.257 kg，球体阻力系数k约为0.5[4].

将抛射角θ(0°≤θ≤90°)等分为10份[5]，画出相应的轨迹曲线如图4所示.

图4 不同抛射角轨迹图

由图4可知,随着抛射角的增大抛程也增大，但超过40°后,抛程随抛射角增大而减小，因此，最佳抛射角应该在30°～50°之间.下一步是每隔一定的步长d计算其抛高(铅球最高位置y)和抛程(铅球最远处x).

在图5中，曲线Ⅰ表示每隔d=1°时计算抛程.由图可知从30°～45°之间都是光滑的，但45°～46°却有很大的下降，并且之后下降速率不变.这是由于超过45°后阻力在竖直方向的分量比水平方向的要大，竖直方向起着主导作用.

图5 抛程随角度变化关系图

另外两条折线好像已经重合，分别是每隔0.1°和0.01°计算抛程.发现两条线基本上是以d=1°的曲线为中心振动上升，整体趋势与曲线Ⅰ相同，都是过45°后抖动更为剧烈.

不同抛角对应的抛程和抛高如表1所示.

表1 不同抛射角对应的抛程和抛高

由表1可知当抛射角为41°时抛程最大为16.58 m，这与实际抛角40.6°的抛程17.02 m相差很小.

图6 最佳抛射角运动轨迹

最后,模拟出铅球以最佳抛射角出手时的运动轨迹，如图6所示.

3 总结

本文用补偿法给出了有空气阻力时,抛体运动轨迹的参数方程，这种方法还可以运用到解决带电粒子在电磁场中运动的问题，也为中学解答这类物理问题提供了另外一条思路.最后利用MATLAB直观、精确、快速地解决了最佳抛角问题，为解决类似问题提供了新的途径.

参考文献

1 漆安慎，杜婵英.力学.北京：高等教育出版社，2010.41

2 周衍柏.理论力学.北京：高等教育出版社，2009.24～25

3 王倩,等.对两名不同水平男子铅球选手投掷技术的生物力学分析. 北京体育大学学报，2007, 30(3)：404

4 郝成红.考虑抛体空气阻力的抛体射程.大学物理，2008,27(12)：21～22

5 尤明庆.关于铅球最佳出手角的讨论.力学与实践，2013,35(1)：68