一类四阶非线性微分方程边值问题解的存在性探究

成连连，郭红梅

(1.山西体育职业学院，山西 太原 030006;2.山西生物应用职业技术学院)

一类四阶非线性微分方程边值问题，在其用于描述两端简单支撑的弹性梁、弯曲弹性梁的形变及平衡状态的非共振等力学问题的研究中，具有相当独特的作用和极为重要的地位.由此背景，其解的存在性也得到广泛的关注和研究.

下面考察四阶边值问题

(1)

解的存在性.其中f∈C([0，1]×R2，R) ，定义f:[0，1]×R2→R是连续的，且存在两个正实数λ1，λ2，0≤λ1+λ2≤2 ，使得对∀t∈[0，1]，u1≥u2，v1≥v2有

f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)≥
-λ1(u1-u2)-λ2(v1-v2)

(2)

本文是在f同时含有u′ 和u″ 项的情况下，利用上下解方法探究四阶边值问题解的存在性[1].

1 预备知识

定义1 如果x(t)∈C4[0，1]满足

则称x(t)为(1)式的下解.如果y(t)∈C4[0，1]满足

则称y(t)为(1)式的上解[2].

引理1 若(E，K)是序Banach空间， [a，b]⊂E，T：[a，b]→E是单调增的紧映射，并且a≤Ta，Tb≤b，那么T在[a，b]内有不动点.

2 主要研究结果及证明

K={x∈C[0，1]|x(t)≥0，0≤t≤1} ，

定义“≤”：∀x，y∈E，y≤x⟺x-y∈K，(E，K)在E中的半序关系是有序的Banach空间.

定理1 若(1)有下解x和上解y，使得∀t∈[0，1]，x″(t)≤y″(t) ，则存在u∈C4[0，1]是(1)的解，并且u满足对

∀t∈[0，1]，x″(t)≤u″(t)≤y″(t)成立.

证明 令w(t)=u″(t)，那么(1)等价于

(3)

令D={w∈E|w″∈E，w(0)=w(1)=0}，显然D⊂E.

令L:D→E.N:E→E如下：

由L和N的定义可知，问题(1)等价于

Lw=Nw

(4)

如下证明(4)是可解的.

步骤1 证明L：D→E是可逆的[2].

设η∈E，由Lw=η，则

步骤2 证明l-1:E→E是连续的[3].

设η∈E.{ηn}⊂E，ηn→η.令L-1η=w，L-1ηn=wn，则

步骤3 证明L-1:E→E是紧的.

所以L-1(X)是等度连续的，根据Arzelz-Ascoli定理可知，L-1:E→E是紧的.

步骤4 证明L-1N:E→E是增的[3].

假设η1，η2∈E，η1≤η2，由(2)式我们可以得出，Nη1≤Nη2.令w1=L-1Nη1，w2=L-1Nη2，那么Lw1≤Nη1≤Nη2≤Lw2，由引理2可得：w1≤w2，即L-1N:E→E是增的.

步骤5 证明若α=xn，β=yn，那么α≤L-1Nα，L-1Nβ≤β.

由x是下解和L，N的定义，我们可知

(5)

令α1=L-1Nα，即Lα1=Nα，则有

(6)

令P(t)=α(t)-α1(t) ，由(5)、(6)两式可得到

由引理2可以得到，P(t)≤0，α≤α1， 即α≤L-1Nα，同理可得L-1Nβ≤β.

由引理1知，L-1N在[α，β]内存在不动点w且有α≤w≤β.由(3)和(4)式可知定理的结论成立.

证明 在①中令x(t)≡0 ；y(t)=c(6t2-t4)在②中令x(t)=-c(6t2-t4)，y(t)≡0.

容易验证，x，y分别是(1)式的下解和上解.故由定理可知，在①情况下(1)式存在正解，在② 情况下(1)式存在负解.

依据以上结论，我们可以断定下面问题

(7)

参考文献：

[1]熊骏.二阶微分方程边值问题解的存在唯一性讨论[J].长江大学学报，2006(9).

[2]北京师范大学.常微分方程[M].北京:高等教育出版社，2001.

[3]王信峰，吴静.一个增算子不动点定理及其在Banach空间非线性方程的应用[J].应用泛函分析学报，2005(1).

[4]栾世霞，孙钦福，颜伟.Banach空间非单调算子方程新的不动点定理[J].曲阜师范大学学报，2008(1).

[5]王彩华.一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性[J].赤峰学院学报，2010(3).