数学转化与化归思想例谈

数学思想方法是数学的精髓，它能把数学知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力，体现数学学科的特点，帮助学生形成数学素质。在解决数学问题时，观察、分析、类比、联想等方法能把难题转化为学生熟悉的问题，从而达到解决问题的目的。这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”，它体现了数与形的相互转化。如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化。转化与化归的基本类型主要包括一般与特殊转化、正向与反向的转化、常量与变量的转化、数与形的转化、数学各分支之间的转化、相等与不等之间的转化、实际问题与数学模型的转化。笔者就其中四种转化与化归问题做了肤浅的归纳与总结，供同仁参考。

一、一般与特殊的转化

在解题时，有时需要把一般问题化为特殊问题，有时需要把特殊问题转化为一般问题，目的在于降低解题的难度，从而使问题迎刃而解。

例1.在多面体ABCDEF中，已知AB、CD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=■，EF与面AC的距离为2，求该多面体的体积。

分析：在AB上取点G，使AG=EF，在DC上取点H，使DH=EF，连接FG、FH，则ADE和GHF是三棱柱，F-GBCH是四棱锥，这个三棱柱的直截面面积=■×3×2=3，侧棱EF=■。所以，它的体积V1=3×■=■，四棱锥的体积V2=■×3×■×2=3。所以，多面体ABCDEF的体积V=V1+V2=■+3=■。

切割与补是的方法能把一般问题转化为特殊问题的思想。此题正是通过切割方法，把我们不熟悉的多面体转化为我们熟知的几何体，从而使问题得以解决。

例2.设f （x）=■，求和f（■）+f（■）+…f（■）。

分析：这道题目如果直接求解，根本无从下手。分析结论的数量特征可知■+■=1，■+■=1，■+■=1……由此，我们可以将问题转化为研究f （x）=■的结论特点。

∵f （a）+f（1-a）=■+■=■+■=■+■=1

∴f（■）+f（■）+…f（■）

=f[（■）+f（■）]+f[（■）+f（■）]+…f[（■）+f（■）]=1001

此题从研究结论的特殊性入手，得出一般性结论f （a）+f （1-a）=1，体现了把特殊问题转化为一般问题的解题思想。

二、正向与反向的转化

对于那些从正面难于解决或运算量大的问题，我们可从侧面或反面，运用正难则反的方法来解决问题。

例3.试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分。

分析：“不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，这就把问题转化为“抛物线y=x2上存在两点关于直线y=m（x-3）对称，求m的取值范围”，再求出m的取值集合的补集就为原问题的解。

抛物线上两点（x1，x12）、（x2，x22）关于直线y=m（x-3）对称，满足：

■=m（■-3）■=-■ ∴x12+x22=m（x1+x2-6）x1+x2=-■

消去x2，得2x12+■x1+■+6m+1=0

∵x1∈R1， ∴△=（■）2-8（■+6m+1）>0

∴（2m+1）（6m2-2m+1）<0，∴m<-■

即当m<-■时，抛物线上存在两点关于直线y=m（x-3）对称，而题中要求所有弦都不能被直线垂直平分，则所求的范围为m≥-■。

在运用补集的思想解题时，我们一定要清楚结论的反面是什么。这道题目中，所有的弦都不能被直线y=m（x-3）垂直平分的反面是“至少存在一条弦能被直线y=m（x-3）垂直平分”，而不是“所有的弦都能被直线y=m（x-3）垂直平分”。

三、常量与变量的转化

在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常量（或参数），将其看作“主元”，把其他的变元看作常量，从而达减少变元简化的运算。

例4.设f （x）=1g■，其中a∈R，n是任意给定的自然数，且n≥2，如果x∈（-∞，1]时，f （x）有意义，求a的取值范围。

本题有三个变元a、n、x，不仅条件复杂，而且解题方向不明确。若选择a为“主元”，把n、x看作“常量”，运用常量与变量转化的策略，问题就容易解决了。由题意可知：

1+2x+…+（n-1）x+nxa>0

∴a>-[（■）x+（■）x+…（（■）x）]

∵n≥2，x∈（-∞，1]，∴（■）x+（■）x+…+（■）x≥■+■+…+■=■

∴a>-■

例5.对于|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围。

此题如果把不等式看作关于x的二次不等式，则求解过程相当繁琐。如果把不等式看做是关于p的一次不等式，就可以简化求解过程，这就是变量与常量的转化。

四、数与形的转化

通过数与形的转化，可以利用数量关系来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接反映函数或方程中变量之间的关系，有时还能利用几何图形的提示来解决问题。

例6.函数f （x）=■-■的最大值是 。

将方程式配方为■-■，把它转化为几何问题，研究它所表示的几何意义。

f （x）=■-■的几何意义是抛物线y=x2上的动点M（x，x2）到点P（3，2）、点Q（0，1）的距离之差。如图2所示，由平面几何知识可知，|MP|-|MQ|≤|PQ|，所以当M点位于直线PQ与抛物线的交点R时，f （x）的最大值为|PQ|=■。

例7.当a为何值时，方程■=2有唯一解？有两解？无解？

分析：将原方程式等价转化：lg2x=2lg（x+a），（x+a≠1）？圳lg■=lg（x+a），（x+a≠1）

？圳2x>0x+a>0■=x=a

且x+a≠1？圳x>0且x+a≠1■=x+a？圳■=x+a（x>0且x≠■）。在同一坐标内，作出y=■（x>0且x≠■）及y=x+a的图像。如图3所示，则方程的解的个数等于直线y=x+a与抛物线弧y=■（x>0且x≠■）交点个数。当a=■时，直线y=x+a与抛物线弧y=■切于点（■，1）。由图3可知：当a≥■时，原方程无解；当a≤0，原方程有唯一解；当0

转化与化归思想能把陌生的问题转化为熟悉的问题，把难解的问题转化为易解的问题，将抽象的问题转化为直观的问题。如果学生能够很好地把这种数学思想运用于数学学习，必定能取得良好的效果。

（作者单位：江西省高安市高安中学）