一道应用题的四种解法

江苏省高考数学应用题的考察模式主要是建立函数关系式，进而求函数的最值，这已成为高考的热点。下面，笔者以一道应用题为例，谈几种常见的应用题解题方法。

例题：某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥挤问题，市政府决定修建一条环城公路，分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A，B两点，使环城公路在A，B两点间为直线段，要求A，B路段与市中心O的距离为10km，且使A，B两点间的距离|A，B|最小，请你确定A，B两点的最佳位置。

一、利用角作变量，导数求最值

设∠BAO=α，则∠BAO=60°-α，所以，AB=AC+BC=■+■。

令tanα=t，α∈（0°，60°），t∈（0，■），则AB=f（t）=30■。求导令f′（t）=0，得t=■或

-■（舍）。

当t∈（0，■）时，f′（t）<0；当t∈（■，■）时，f′（t）>0，

所以，当t=■，即α=30°时，AB有极小值，也是最小值。此时，A，B两点离市中心的距离均为20km。

二、利用角作变量，三角恒等变换求最值

由方法1可知：AB=AC+BC=■+■

=10（■+■）=10■=■

因为α∈（0°，60°），所以α=30°当时，AB有最小值。

三、与解析几何结合，基本不等式求最值

以市中心O为坐标原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系。

设A（a，0），a<0；B（b，■b），b>0

则AB的方程为：■bx-（b-a）y-■ab=0，

点O到AB的距离为10，所以得出：■=4b2+a2-2ab，

而AB2=（a-b）2+3b2=a2-2ab+4b2=■a2b2

要求AB，即求a2b2的最小值。利用基本不等式4b2+a2≥-4ab，■+2ab≥-4ab，得ab≤-200，（当且仅当“a=-2b”取“=”），

AB≥20■。此时，A，B两点离市中心的距离均为20km。

四、与解三角形结合，基本不等式求最值

利用余弦定理与三角形面积公式可得：

cos∠AOB=■■OA·OB·sin∠AOB=■AB·10 ？圯

AB2=0A2+OB2+OA·OBOA·OB=■AB

要求AB最小值，即求OA·OB的最小值。

利用基本不等式OA2+OB2+OA·OB≥3OA·OB

（当且仅当“OA=OB”取“=”）？圯AB2≥20■AB

∴AB≥20■。此时，A，B两点离市中心的距离均为20km。

在解答应用题时，学生应首先读懂题意，然后引进适当的变量，注意知识的综合运用，才能更好地作出解答。

（作者单位：江苏省泰州市民兴实验中学）