“导数不等式恒成立”问题的转化途径

摘要：数形结合的数学思想是解决“导数不等式恒成立”问题的关键。本文从求最值、确定参数取值范围、借助图形特征等方面来探究解决导数不等式恒成立问题的转化途径，供广大同仁参考。

关键词：导数不等式恒成立 数形结合 转化途径

“含参数不等式的恒成立”问题是高考的热点，这类题型的综合性较强，而且确定参数取值范围的不等量关系经常以导数作为载体，主要考查学生运用等价转化和数形结合思想的能力。

例1. 已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1与x=2时都取极值。①求a，b的值；②若对于x∈[-3，2]都有f（x）>■-■恒成立，求c的取值范围。

分析：将x∈[-3，2]都有f（x）>■-■恒成立的问题转化为f（x）min>■-■。

解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+c？圯f′（x）=3x2+2ax+b

根据题意得出：f′（x）=0 的两个根，

∴a=■，b=-6

（2）f（x）=x3+■x2-6x+c？圯f′（x）=3x2+3x-6=0

比较f（-3），f（1），f（2）。当x∈[-3，2]时，f（x）min=-■+c。

∴-■+c>■-■即■ >0 ∴■■。

点评：抓住可导函数的极值与闭区间端点处函数值的比较是解决这类型问题的关键。

例2.已知f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）函数。①若函数f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围；②当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围。

解：①f′（x）=2x+2+■=■

若f（x）在（0，1）上单调增，则2x2+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立？圯a≥-2x2-2x恒成立

令u=-2x2-2x，x∈（0，1），

则u=-2（x+■）2+■，umax=0∴a≥0

若f（x）在（0，1）上单调减，则2x2+2x+a≤0在x∈（0，1）上恒成立？圯a≤[-2x2-2x]min=-4

所以a的取值范围是：（-∞，-4]∪[0，+∞）。

②（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t2+4t+2alnt-3恒成立

a[ln（2t-1）-2lnt≥-2t2+4t-2]？圯a[ln（2t-1）-lnt2]≥2[（2t-1）-t2]

当t=1时，不等式显然成立；

当t>1时，t2-（2t-1）=t2-2t+1=（t-1）2>0？圯t2>2t+1？圯1nt2>1n（2t-1）？圯a≤■在t>1时恒成立。令u=■，即求u的最小值。

设A（t2，lnt2），B（2t-1，1n（2t-1）），kAB=■，且A、B两点在y=1nx的图像上，又∵t2>1，2t-1>1，故0

∴u=2·■>2，故a≤2，即a的取值范围为（-∞，2]。

数学思想方法是解决数学问题的灵魂，在解决“导数不等式的恒成立”问题的过程中，我们都要进行一系列的等价转化，并运用数形结合的思想，才能更有效、更快捷地解决这类问题。

（作者单位：江西省南昌市铁路一中）