新课程背景下“用二分法求方程近似解”的教学思考

　　摘 要： “用二分法求方程的近似解”是高中《数学》必修1中新增加的内容。它充分体现了函数与方程之间的联系，同时也体现了算法思想。本文对“二分法”作了深入探讨，提出了“二分法”教学设计思路，丰富了高中数学新课程资源。
　　关键词： 二分法 近似解 精确度
　　《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》新增加了“二分法求方程的近似解”。通过用二分法求方程近似解，深化了学生对函数和方程思想的认识，增强了学生用函数观点处理问题的意识，也使学生逐步了解算法思想。因此，在学习“方程的根与函数的零点”的基础上学习“用二分法求解方程的近似解”是非常必要的。在“用二分法求方程近似解”的教学过程中，需要思考以下几个方面：（1）为什么要学习二分法？（2）二分法的由来？（3）二分法的引入、近似解、精确度、二分法定义及步骤如何处理？
　　一、学习二分法的缘由
　　随着知识系统的不断更新和发展，求方程的近似实数解在实际应用中越来越重要。根据实际问题列出的方程多种多样，许多方程就没有公共解法。其实，实际问题对解的需求并不是严格的精确，而是满足一定的精确度就行，所以人们更关心的是求方程近似解的方法，计算机的广泛使用使得近似计算更加重要。二分法是简单有效的近似计算方法。
　　用二分法求方程近似解的过程中蕴含着“算法思想”。算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。新教材有目的、有意识地将算法思想渗透在高中数学的有关内容中，不断加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用。二分法正是这一思想的体现。
　　二、二分法的由来
　　二分法是在证明函数的零点存在定理中产生的，所以我们有必要向学生简单介绍一下这个定理的证明思路。虽然证明是学生不能掌握的，但是证明思路学生是能够理解的，就是一个“逐步逼近”的思想。这个证明教师是应该掌握的，所以教师应合理安排教学过程，给出这个定理的证明过程供学生参考。因为这个证明的思路是用二分法构造闭区间套，将函数的零点给“套”出来，所以这种求函数零点亦即求方程的实根的方法叫做“二分法”。我们设想让二分法无限地进行下去，就能得到函数零点或方程实根的精确值。但实际是不可能无限进行下去的，所以我们只能在误差要求的范围内完成。
　　三、教学过程中的几个问题处理
　　1.二分法的引入
　　高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。所以，从实例引入能充分调动学生的学习兴趣，引起学生的求知欲。运用实例是为引入二分法的原理做准备，也说明二分法原理源于生活，并作用于生活。可激发学生原有知识，促进新旧知识相互作用，有意识地培养学生的应用意识。进而，体现新课程下的基本理念思想。
　　2.近似解的处理
　　在学习这节课的内容时，首先应该明确什么是方程的近似解，在此基础上才能促使学生更容易地理解和掌握用二分法解方程近似解。下面就一个具体的问题“求方程x-2x-1=0的一个近似解（精确到0.1）”，对什么是方程的近似解做讨论。上述方程的近似解有两种不同的理解：
　　（1）如果x是方程x-2x-1=0的一个解，那么当|x-x|<0.1时，x就是方程的近似解；
　　（2）方程x-2x-1=0的近似解就是x精确到小数点后1位的近似值。
　　教材在介绍二分法的时候按第一种方式理解方程近似解，在做例题的时候则是按第二种方式理解方程的近似解。从理论上讲，按第一种方式理解，方程的近似解有无穷多个；而按第二种方式理解，方程的近似解是唯一的。从实际求解的角度，按第一种方式理解，只要当包含x-2x-1=0解x的区间[a，b]的长度b-a<0.1时，[a，b]中的每个数x都满足|x-x|<0.1，因此，都可以看做方程x-2x-1=0的近似解。按第二种方式理解，就有一些困难，因为我们不知道方程解x的确切位置，也就不能根据x来确定它精确到小数点后1位的近似值。
　　3.精确度的处理
　　教科书直接给出了近似解的概念，通过求方程2x+3x-3=0的一个实数解，精度为0.01为例，并没有对精确度作对比认识，所以学生在学习过程中，总会有意想不到的问题出现。在教学过程中，精确度的说明是一个无法避免的问题，而且需要和初中学习的“精确到”有所区别。这也就是教材安排和教学设计的不同之处。
　　精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为准确值，x是精确度为ξ的x的一个近似值。精确度简称精度。用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间（a，b）满足|a-b|<ε，两端点或区间内的任意一数均可作为方程的近似解。
　　精确到：按四舍五入的原则得到准确值x的前几位近似值x，x的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位。如：π=3.1415926…，若取3位有效数字，则x=3.14，精确到0.01（即百分位）；若取5位有效数字，则x=3.1416，精确到0.0001（即万分位）。特别地，若已知x精确到@的近似值是x，则可知x的范围是[x-ξ，x+ξ]。用二分法求方程精确到@的近似解，根的存在区间两端点精确到ξ的近似值必须相同，若不相同，仍需继续二分下去，直到符合要求为止。
　　4.二分法定义及步骤的处理
　　用二分法求方程近似解的思想脉络就是将方程问题转化为函数问题，然后利用函数性质解决问题。在二分法的定义及其解法的教学中，应该以具体问题为载体，让学生逐渐意识到和初步会用函数的观点解决一些问题。通过在实例，引导学生获得解决问题的思路，在此过程中，总结出二分法的定义和求解步骤。
　　二分法（bisection）是指对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
　　四、教学建议
　　利用多媒体辅助教学手段，创设问题情境，实例引入二分法，通过例题，师生互动，引导学生自主探究二分法的原理与步骤。
　　教学过程中应注意：①由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系。在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质研究方程的解，体现函数与方程的解。②让学生在求解方程近似解的实例中感知二分法思想，认识二分法的价值所在。③用流程图表述利用二分法求方程实数解的过程。④利用科学计算器求解。掌握二分法只是掌握了求解的算法，具体计算往往需要用计算工具，但是尽管使用了科学计算器，求一个方程的解也是很费时的，学生容易急躁和出错，因此要引导学生踏实学习，认真做