“如何进行两位数乘两位数的教学——算法多样化教学研究”校本教研活动方案(一)

　　本期和下一期刊登的校本教研活动方案，将研究如何进行两位数乘两位数的教学，并通过两位数乘法这个案例，讨论如何实施算法多样化的问题。这是一种有明确主题的教研活动，试图以点带面地展开研究，要通过两位数乘两位数这个点，研究计算教学中的一些共性问题。因此，在这样的教研活动中，不但要注重研究如何进行两位数乘两位数这节课的教学，而且还要通过这节课的研究，探讨在其他的计算课中实施算法多样化的理念与途径。
　　一、 活动目标
　　1． 经历阅读、思考、解答并与同事交流，关于两位数乘两位数的教学和如何实施算法多样化的相关资料与问题。
　　2． 能够思考两位数乘两位数这节课的情境创设；能够比较不同版本教材中情境创设的异同。
　　3． 通过了解两位教师的不同教学设计的目标，能够思考不同的数学教学价值观。
　　4． 能够思考算法优化的标准，并能够在自己的教学中引导学生比较各种算法的特点。
　　二、 活动内容、形式与时间
　　1． 数学组每位教师独立解答关于两位数乘两位数以及如何实施算法多样化的相关问题，不集中，由每位教师自己抽时间书面解答问题，时间约2小时。
　　2． 与同事交流独立解答出的问题答案，时间约1小时。
　　3． 教研组确定一位教师上一节两位数乘两位数的教研课，数学组其他老师听课。时间约40分钟。（也可以上一节新课，再上一节练习课）
　　4． 评课与交流。（1）结合听课笔记，独立写出评课提纲，时间约15分钟；（2）数学组教师进行评课交流，时间约45分钟。（一个年级如果有两个或两个以上的数学教师，可以在独立写出评课提纲的基础上，先进行年级组数学教师交流，并确定一人代表年级组到交流会上发言。最后，全体数学教师评课交流。）
　　可以根据学校教研活动的时间和教研组教师的情况，选择下面“活动前准备”中的一些问题进行解答与交流。
　　三、 活动前准备
　　解答下面的问题，并准备交流。（注：以下带有“*”号表示问题有一定的难度。）
　　1． 根据你们学校使用的这套教材，学生在学习两位数乘两位数这节课之前，有哪些经验、知识、能力与之关系密切？
　　2． *你认为两位数乘两位数这节内容，应该在哪一个年级进行教学？查一查不同版本的教材，了解一下它们是安排在哪一个年级进行教学的？为什么这样安排？
　　3． *如果你去上两位数乘两位数这节课，你会通过创设一个现实生活中的问题情境，来引出要计算两位数乘两位数的问题吗？还是直接出示一个两位数乘两位数的算式，师生共同解决？为什么？
　　4． 如果你上两位数乘两位数这节课，并想创设一个现实生活的情境，你会创设一个什么样的情境？你会用一个怎样的算式，作为第一个两位数乘两位数算式让师生共同来解决？你用的第一个算式是进位乘法，还是不进位乘法？为什么？
　　5． *查一查不同版本的教材，看一看这些教材中用到的第一个两位数乘两位数的算式是什么？这些算式中的两位数有什么特点？从算法多样化的角度看，在计算这些算式的结果时，哪些算式容易出现多种算法？哪些算法会少一些？为什么？
　　6． 阅读下面三个版本的教材，看一看它们各用了哪些现实生活的情境？你喜欢哪一个情境？为什么？
　　7． 上面三个版的教材中，每一套教材都创设了两位数乘两位数的现实生活情境，有的要求先提出问题，有的在情境中还有对话。
　　（1） 你在教学时，会要求学生根据上面的情境与对话，表达成一个完整的数学问题吗？如果以人教版教材为例（下同），你是否先要求学生根据买书的情境和人物的对话，说出一个完整的数学问题，如“已知一套书是12本，每本书是24元，买一套这样的书一共要付多少钱？”如果这样做，有什么利弊？
　　（2） 根据教材体系，学生之前没有接触过两位数乘两位数这一内容，你会先要求学生独立尝试列算式吗？为什么？会有学生能够列出算式24×12吗？如果能，原因是什么？如果有些学生不能列出24×12的算式，可能是哪些地方遇到了困难？
　　8． 你觉得，如果让学生独立地去解决24×12=？这个计算问题，学生可能会出现哪些不同的计算方法？下面的这些计算方法学生有可能出现吗？
　　（1） 24×12=24+24+…+24（12个24相加）；
　　（2） 24×12=12+12+…+12（24个12相加）；
　　（3） 24×12=24×10+24×2；（4） 24×12=12×20+12×4；
　　（5） 24×12=24×3×4；（6） 24×12=24×2×6；
　　（7） 24×12=12×4×6；（8） 24×12=12×3×8；
　　（9） 24×12=24×20-24×8；（10） 24×12=12×30-12×6；
　　（11） 24×12＝24÷8×12×8；（12） 24×12＝12÷6×24×6
　　（13） 用竖式计算的方法。
　　9． *你觉得，上面的这些方法都能够结合教材创设的情境说出它们的实际意义吗？比如对于24×12＝24×10+24×2这样的算法，可以解释为：10本书是24×10（元），2本书是24×2（元），所以24×10＋24×2表示了12本书一共需要的钱数。你觉得，上面六套教材的情境中，哪一个情境更能够解释上面这些算法的实际意义？
　　10. 如果有学生只是用上面的加法计算，也就是用24个12相加或12个24相加计算出了正确的结果288，对这样的学生你怎么进行评价？你会表扬他们吗？为什么？你认为如果学生有其他的方法，他们还会用加法进行计算吗？为什么？有位教师认为应该表扬，并且用了下面的评价引导语：“你很了不起，很有耐心与毅力，做了一般的同学与老师都没有做的事。你也很清楚什么叫乘法，用的方法是万能的，计算的结果也是正确的。但你的计算方法的步数比较多，请你与其他同学交流，看一看他们运用了什么方法，有没有你认为更好的方法。”你觉得这样的反馈评价语言合适吗？为什么？
　　11． 在解决24×12这个题目时，有多种不同的计算方法，你会要求学生至少要用两种方法计算出结果，还是只要求学生计算出正确的结果就可以了？为什么？
　　12． 提倡计算方法多样化，是要求每一个学生对计算题都有两种或两种以上的计算方法？也就是算法多样是不是教学的一个基本要求，每一个学生都要做到，还是只要求能力强的学生有多种不同的方法？对一般的学生来说，先要求用一种方法计算出结果，并进一步思考有没有其他的算法？算法多样化是对一个学生集体来说的，还是对每一个学生个体而言的？
　　13． 在上文中列举了解决24×12的13种方法，在这些方法中，有的是具有一般性的方法，运用这种思路可以解决所有的两位数乘两位数的问题，如上面的第（3）种方法：24×12＝24×（10＋2）＝24×10＋24×2，它是把一个两位数分拆成一个整十数与一个一位数的和，然后运用乘法分配律，把一个两位数乘两位数的计算问题化归成两位数乘整十数与两位数乘一位数的和。这种思路是带有一般性的。而像第（5）种24×12＝24×3×4的方法，只是适合这个两位数能够分解为两个一位数相乘这类计算问题。运用这种思路就不能解决像29×13这样的问题。因此，这种方法带有特殊性。你认为应该重视引导学生学习带有一般性的方法，还是应该重视引导学生学习带有特殊性的方法？为什么？
　　14． 在教学中，如何让学生意识到有些方法具有一般性，有些方法带有特殊性？你觉得引导学生对多种算法进行分类有什么教学价值？如何引导学生选择不同的标准对多种计算方法进行分类？
　　
　　15． 浙教版教材的编排中，先创设了多个不同的情境，让学生提出数学问题，然后从计算篮球场的面积入手，展开两位数乘两位数的教学过程。请你先读一读下面的教材，再回答问题。
　　（1） 在学生运用多种方法计算28×15后，为什么要让学生去比较23×19与28×15的大小？
　　（2） 让学生计算23×19与计算28×15在算法多样上有什么不同？学生经历这样的过程有什么好处？
　　（3） 你觉得在教学中，有必要把23×19的竖式计算的三步过程都展示出来吗？为什么？
　　（4） 以前的教材常常会出示两位数乘两位数笔算的计算法则，现行教材一般都不出示这个法则，你觉得有必要出示计算法则吗？出示笔算的计算法则有什么利和弊？为什么？
　　16． 下面是两个不同的教学主要流程，请你先阅读，再回答问题。
　　课堂教学流程一：
　　1． 复习旧知：两位数乘一位数和两位数乘整十数。
　　出四个题目：24×6、24×10、16×20、16×4。让四个学生到黑板上进行板演，其他学生在草稿纸上独立做。完成后，反馈校对，并让学生说一说，如何进行两位数乘一位数和两位数乘整十数的计算。
　　2． 引入新知：从两位数乘一位数引出两位数乘两位数。
　　在学生用竖式计算24×6的基础上，在乘数的十位上写上一个数1，从而使得两位数乘以一位数的题目（1），变成两位数乘以两位数的题目（2）。
　　3． 展开新知：教师与学生一起重点研究第（2）个算式，研究第二个乘数16十位上的1应该怎样乘，逐步得出两位数乘两位数中乘的顺序，积的定位。
　　得出笔算两位数乘两位数的三条法则：先用一个乘数个位上的数去乘另一个乘数，得数的末位和个位对齐；再用这个乘数十位上的数去乘另一个乘数，得数的末位和十位对齐；最后把两次乘得的数加起来。
　　4． 巩固新知：让学生根据笔算法则，解决两位数乘两位数的题目，做练习，以便能够较好地应用法则进行计算，能够巩固技能。出题目时，从不进位到进位，从一次进位到两次进位。如让学生计算12×34、34×13、76×58等等这样的题目。
　　5． 回顾小结：让学生回顾这节课学习的内容，说一说有什么收获。
　　6． 课外作业：布置学生做课本上或课堂练习中的题目。
　　课堂教学流程二：
　　1． 创设情境，明确待解问题。
　　上课开始，教师出示问题：某种饮料一箱是24瓶，买这样的饮料16箱，一共有多少瓶？请每一个同学都估计与猜测，大约是多少瓶。并把自己估计的数写在纸上，然后想一想，有什么办法来说明，你估计与猜测的结果是正确的或者比较接近正确答案，学生得出需要计算：24×16=？
　　2． 独立思考，尝试解决问题。
　　要求每个学生都安静地独立思考，尝试解决24×16＝？这个问题。如果已经找到一种方法计算出了结果，想一想，有没有其他的方法，尽量用不同的方法解决这个问题。
　　3． 梳理思路，准备小组交流。
　　先整理一下自己已有的研究成果，想一想也可以写一写：如果你在小组里发言，你准备讲哪几点，说哪几句话？（准备的过程是学生对自己的算法进行反思与梳理的过程，也是进一步提升的过程）
　　4． 小组交流，相互取长补短。
　　一般以四人小组为单位交流每个学生的计算结果与方法。在小组内交流时，要一个一个轮流发言。一个同学在发言时，其他的同学要注意倾听，并作适当的记录，主要记录自己没有想到的方法。每位学生尽量不要重复其他同学已经说过的方法。
　　5． 整理成果，准备全班汇报。
　　小组交流结束后，组内的同学要讨论与整理，把自己组中的计算方法加以归类，并指定一个同学向全班进行汇报。
　　6． 全班汇报，汇总归纳策略。
　　让部分小组的代表报告研究成果，其他小组可以补充。原来自己小组中没有想到的计算方法，可以记录下来。学生一般有以下几种解题策略：
　　（1） 24+24+…+24=384（16个24相加）；
　　（2） 16+16+…+16=384（24个16相加）；
　　（3） 24+24+…+24=192（8个24相加），192×2=384；
　　（4） 16+16+…+16=192（12个16相加）， 192×2=384；
　　（5） 24×2×8=384；（6） 24×4×4=384；
　　（7） 16×4×6=384；（8） 16×3×8=384；
　　（9） 16÷2=8，24×8=192，192×2=384；
　　（10） 24×10+24×6 =384；（11） 16×20+16×4=384；
　　（12）
　　（13） 24×20-24×4=384；（14） 16×30-16×6=384；
　　（15） 16×10+16×10+16×4=384；
　　师生共同总结、归纳这些解题方法的共同特点：把一个“新”的问题转化成为一个“老”问题来解决。即把一个两位数乘两位数的题目转化为加法或两位数乘整十数、两位数乘一位数来解决。
　　7． 回顾过程，总结学习方法。
　　师生共同回顾，这节课我们研究的是两位数乘两位数的问题，研究的过程是：猜测结果—独立解答—小组交流—全班汇报—归纳总结。通过这节课的学习我们知道了：如果饮料一箱是24瓶，这样的饮料16箱，一共有384瓶。解决两位数乘两位数的问题可以有许多种不同的方法。我们同学之间相互交流，常常会学到一些新的解决问题的方法。
　　请你解决以下问题：
　　（1） 你觉得，在第一个教学流程中，学生会有多种不同的计算方法吗？为什么？如果没有，教师在引导中起了什么作用？
　　（2） 你觉得，在第二个教学流程中，学生自己能够想出很多计算方法吗？如果能，主要原因是什么？学生能够产生多种计算方法，教师起了哪些作用？
　　（3） 比较上面的两个教学流程，你觉得主要有什么不同？用第一个教学流程进行教学的教师，他们可能想追求什么教学价值？用第二个流程的教师呢？
　　（4） 如果让你给这两个教学过程写上课堂教学目标（分过程性目标与结果性目标进行阐述），那么，你分别会写出哪些目标？请你写一写。
　　（5） 如果一位教师基本上采用流程一的模式进行教学，而另一个教师基本上采用流程二的模式进行教学，那么，这两个教师教学的学生可能会有什么差异？为什么？
　　（6） 上面两个不同的教学流程都是新课教学，当新课教学结束时，就笔算两位数乘两位数的运算技能来说，运用哪一个教学流程学生的技能会更熟练？一般的教材都在新课后，还安排一节两位数乘法的练习课，当再上一节练习课后，学生的运算技能是否还会有差异？为什么？
　　（7） 教学流程二中所创设的现实生活情境（买饮料），是否比前面六套教材所创设的情境更容易实现算法多样化？更容易解释每一种计算方法的实际意义？为什么？
　　17． 下面是一个两位数乘两位数的问题，你觉得学生可能会怎么解决这个问题？让学生去解决这样的问题，有什么价值？
　　问题：小明在解决“三（1）班共有36人，如果每人要买27本作业本，那么一共要买多少本作业本？”这个问题时，列出了以下的竖式，他的计算是正确的吗？
　　（1） 如果每人买7本作业本，一共要买多少本？
　　（2） 如果每人买20作业本，一共要买多少本？
　　你觉得，一个班级中有百分之几的学生会重新列竖式计算，来解决上面的这两个问题？有百分之几的学生会利用上面的竖式解决这两个问题？不能利用上面的竖式解决问题的学生，主要的原因是什么？
　　18． 学生如果用竖式计算45×67＝？，那么要多少步计算才能正确计算出最终结果？如5×7＝35（第一步），4×7＝28（第二步），28＋3＝31（第三步）等等。学生可能会在哪一步出现错误？为什么？怎样才能避免学生发生这种错误？
　　
　　19． 你觉得，让学生多做两位数乘两位数的题目，是不是就能够让学生正确和熟练地计算？如果让学生机械做题，会不会因枯燥乏味而注意力不集中，正确率下降？
　　20． 在文学中有一些句子，从左往右读和从右往左读是完全一样的，如上海自来水来自海上；歌唱家在家唱歌等，这样的句子称为回文句。在两位数乘两位数的练习中，也可以利用回文的思路，让学生探索与练习。如对于算式21×24，从左往右读是二十一乘二十四。从右往左读是四十二乘十二，即42×12，两个算式显然不是两个完全一样的算式，但21×24与42×12的积会相等吗？可以让学生用竖式算一算，学生很快就会发现：21×24＝504，42×12＝504，所以21×24＝42×12。我们不妨称这样的算式为回文算式。又如，对于算式63×48，从右往左读是84×36。这两个算式的计算结果是不是也会相等呢？让学生用竖式算一算，也会发现63×48＝3024，84×36＝3024，所以又可以得到一个回文算式63×48＝84×36。让学生探索：①请先写一个两位数乘两位数的算式，再从右往左读得到另一个算式，算一算，这两个算式的计算结果相等吗？如果有人说：“任何一个两位数乘两位数的算式，把这个算式从右往左读得到另一个两位数乘法的算式，这两个算式的计算结果一定都是相等的。”你同意这样的说法吗？为什么？②下面的这些等式成立吗？算一算。42×48＝84×24；36×42＝24×63；14×82＝28×41；76×34＝43×67；26×93＝39×62。③什么样的两个两位数相乘，可以使得从左往右读与从右往左读得到的两个算式的计算结果相等？你能找到这样的算式吗？动手找一找。
　　你觉得，让学生去解决上面的问题，除了能够进一步熟练两位数乘两位数的技能外，还有哪些教学价值？
　　21． 你能够证明下面的这个命题吗？试一试。
　　命题：如果a、b、c、d是四个数字，ab上面画一条短线，表示由a、b这两个数字组成的两位数，那么等式ab×cd＝dc×ba成立的充要条件是ac=bd。
　　22． 三位数乘两位数的算式中，也有像两位数乘两位数这样的回文算式吗？如等式132×42＝24×231成立吗？如果也有这样的规律，请你写出一个类似第2１题这样的命题，并对命题进行证明。
　　本刊将在2012年第3期继续刊发“如何进行两位数乘两位数的教学——算法多样化教学研究”校本教研活动方案（二），敬请关注！
　　 （以上活动方案中问题的相应参考答案略）
　　（浙江省杭州市上城区教育学院 310006）