“鸡兔同笼”算法源流

　　在“鸡兔同笼”问题的教学中，教师通常会将我国古代《孙子算经》的简单介绍附加到教学过程中，意图在于体现数学的历史发展，向学生渗透数学历史中的文化因素。这种想法固然好，但这种“附加”式的介绍对于实现这样的目的很难有实质性的作用。为了变“附加”为“融入”，让数学史中的知识与文化更好地发挥育人功能，教师就需要对数学史的相关内容做较为广泛、深入的了解。
　　“鸡兔同笼”问题在我国古代可以说源远流长，从问题的叙述到问题的算法都经历了不同形式的变化，了解这些内容对于课程内容的编制和教学设计会有所裨益。
　　一、 《孙子算经》中的“雉兔同笼”
　　“鸡兔同笼”问题始见于公元3～4世纪的《孙子算经》，该书作者不详。从清代的《子部集成•科学技术•数理化学•孙子算经•孙子算经（宋刻本）•卷下》中看，“鸡兔同笼”问题的叙述为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”［１］（见图1）
　　其中的“雉”是“野鸡”的意思，“几何”是“多少”的意思。用现在的语言可以把这个问题叙述为：“鸡和兔在同一个笼子中，总头数为35，总足数为94。问鸡和兔各有多少只？”《孙子算经》中对这个问题的解法分为如下的四个步骤：
　　第一步：上置三十五头，下置九十四足
　　我国古代是用算筹进行计算的，所谓“算筹”就是用于计算的小棒，是古人用于计算的一种工具。这里所说的“上置三十五头，下置九十四足”，就是把题目中的头数“35”和足数“94”用小棒分别摆在上面的位置（上位）和下面的位置（下位）。（见图2）
　　古人用算筹表示数时，摆放方式分纵式和横式两种。通常用纵向小棒摆放个位数字，横向小棒摆放十位数字，以后依次纵横交替摆放。比如“35”就摆放成如图３形式。
　　如果横向摆放的数大于5，就用纵向小棒代表5，比如图2中的“”就表示5＋4＝9。
　　第二步：半其足得四十七
　　意思是求出下位总足数94的一半等于47。图2就变成了图4的形式。
　　图4中“”上面的横向小棒表示“5”，下面两条纵向小棒表示“2”，因此“”表示5＋2＝7。
　　第三步：上三除下三，上五除下五
　　这里的“除”是“除去”或“减少”的意思，“上三除下三”就是“从下位四十七中除去与上位相同的三十”，“上五除下五”就是“从下位四十七中除去与上位相同的五”。（见图5）
　　用现在的语言说，就是从47中减去35为12，得到兔子的只数。这一过程在《孙子算经》的“术”中叫做“以少减多再命之”（见图1），意思是以少减多之后，下位“总足数”的含义发生了改变，需要重新命名，也就是把“总足数”重新命名为“兔头数”。（见图5）
　　第四步：下有一除上一，下有二除上二即得
　　与前面类似，这句话的意思是用总只数35减去兔只数12就得到鸡的只数了。上位的“总头数”需要重新命名为“鸡头数”。（见图6）
　　以上算法的合理性并不难理解。总足数94取半成为47，此时相当于所有鸡都成为了金鸡独立的“独足鸡”，所有兔都站立起来成为了“双足兔”。此时每只鸡的头数和足数都是1，每只兔的头数是1，足数是2，所以用47减去总头数35就得到兔的只数是12。最后用总头数35减去12就得到鸡的只数。《孙子算经》中把这一算法概括为：“上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得。”不妨称此方法为“半足法”，右上的表格可以更加清晰地呈现这一过程。
　　二、 《算法统宗》中的“鸡兔同笼”
　　“鸡兔同笼”问题后来又收录于明代程大位（1533年～1606年）所著《算法统宗》第八卷的“少广章”。［２］（见图7）
　　其中对问题的叙述把“雉”改为了“鸡”，因此“鸡兔同笼”的说法沿用至今。《算法统宗》中对问题给出了两种算法，这两种算法与《孙子算经》中的算法是不一样的，相当于现在所说的“假设法”。第一种算法的过程为：
　　第一步：“置总头倍之得七十”，意思是将总头数35加倍，也就是乘2，得到70。
　　第二步：“与总足内减七十余二四”，也就是从总足数94中减去70得到24。
　　第三步：“折半得一十二是兔”，将24折半（也就是24除以2），得到12，这就是兔的只数。
　　第四步：“以四足乘之得四十八足”，用每只兔的足数4乘12，得到兔的总足数48。
　　第五步：“总足减之余四十六足为鸡足”，用总足数94减去兔的总足数48得到46，就是鸡的总足数。
　　第六步：“折半得二十三”，将鸡的总足数46折半（46除以2），就得到鸡的只数为23。
　　另外一个算法是先求鸡的只数，与前面先求兔只数的程序基本相同，这一算法可以用下面表格的形式呈现出来。
　　《算法统宗》中关于“鸡兔同笼”问题的两个算法，在书中概括为两句话：“倍头减足折半是兔”和“四头减足折半是鸡”（见图7）。第一句话的意思是把求兔只数的过程分为了倍头、减足和折半三个步骤，“倍头”就是把总头数35加倍变成70；“减足”是用总头数94减去70得到24；“减半”就是取24的一半得到兔子的只数为12。这个过程写成如今的算式就是：
　　（９４－３５×2）÷２＝１２（只）
　　第二句话的意思是把求鸡只数的过程分为了四头、减足和折半三个步骤，“四头”就是用4乘总头数35得到140；“减足”是用140减去总足数94得到46；与求兔只数的过程类似，“折半”就是取46的一半得到鸡的只数23。写成算式就是：
　　（３５×４－９４）÷２＝２３（只）
　　这样的过程显然与《孙子算经》中的“半足法”不同，半足法首先将总足数减半。这里的第一步是用每只鸡或兔的足数（2或4）去乘总头数，因此不妨把这个方法叫做“倍头法”。不难发现，“倍头法”背后的道理其实就是现在所说的“假设法”。
　　《算法统宗》中的鸡兔同笼问题出现于该书第八卷中，实际上在之前的第五卷中就已经出现了与“鸡兔同笼”问题数量关系类似的“米麦问题”：“今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱，只云米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘。问米麦各若干。”［３］（见图8）
　　用现在的语言叙述就是：“有大米和小麦共500石，总价格为405.7两。大米每石价格为0.86两，小麦每石价格为0.725两。问大米和小麦各有多少石？”
　　《算法统宗》中给出的算法为：“置米麦五百石，以米价八钱六分乘之得四百三十两，减去共价余二十四两三钱为实，以米价内减麦价余一钱三分五厘为法，除之得麦一百八十石，却以米麦五百石内减麦数余三百二十石为米数，各以原价乘之合问。”（见图9）
　　其中的“实”与“法”分别表示现在所说的“被除数”和“除数”。这一算法用现在的语言可以解释为，首先用大米和小麦的总数500与米的单价0.86相乘得到430两，然后减去实际总价格405.7，得到24.3两作为被除数，大米单价与小麦单价相减的差0.135两作为除数，除得的结果就是小麦有180石，用总数500减去180就得到大米数量为320石。写成算式就是：
　　（0.86×500-405.7）÷（0.86-
　　0.725）＝180（石）
　　500－180＝320（石）
　　不难看出，这一算法与前面解决“鸡兔同笼”问题的“倍头法”是一样的。《算法统宗》中将这一算法命名为“贵贱差分法”。在“米麦问题”中，大米是贵物，小麦是相对于贵物的贱物，所谓“贵贱差分法”就是一种能够将二者区分开的方法。《算法统宗》对这一方法的解释为：“差分贵贱法尤精，高价先乘共物，情却用都钱减今数，余留为实，甚分明别将二价也相减，用此余钱为法，行除了先为低物价，自余高价物方成。”意思是说：“差分贵贱法很精确，先用贵物单价与总数量相乘，而后减去实际总价格，这个差作为被除数，贵、贱物单价的差作为除数，除得的结果就是贱物的数量，而后不难求出贵物数量。”
　　三、 《镜花缘》中的“灯球问题”
　　在清代李汝珍所著《镜花缘》［４］的第九十三回“百花仙即景露禅机　众才女尽欢结酒令”中，也出现了两个与“鸡兔同笼”问题数量关系类似的问题。这两个问题均出现于众才女在小鳌山赏灯时的情景中。
　　问题1：楼下灯有两种：一种一大球，下缀二小球；另一种一个大球，下缀四个小球。大灯球共三百六十个，小灯球共一千二百个。问两种灯各有多少？
　　问题2：楼上灯有两种，一种上做三大球，下缀六小球，计大小球九个为一灯；（另）一种上做三大球，下缀十八小球，计大小球二十一个为一灯。大灯球共三百九十六个，小灯球共一千四百四十个。问两种灯各多少？
　　书中才女兰芬对问题1给出的解答为：“将小灯球一千二百折半为六百，以大球三百六十减之，余二百四十，是四小球灯二百四十盏；于三百六十内除二百四十，余一百二十，是二小球灯一百二十盏。”这一解法与《孙子算经》中“雉兔同笼”的“半足法”相同，先将1200个小灯球减半为600个，然后用600减去大灯球个数360得到240，这就是四小球的灯数。再用大灯球个数360减去240得到120，就是二小球的灯数。写成算式就是：
　　1200÷2＝600
　　600－360＝240
　　360－240＝120
　　兰芬对问题2的解法为：“先将一千四百四十折半为七百二十，以大球三百九十六减之，余三百二十四，用六归，……得五十四，是缀十八小球灯五十四盏；以三乘五四，得一百六十二，减大球三百九十六，余二百三十四，以三归之，得七十八，是缀六小球灯数目。”
　　简单地说，就是先将小灯球数1440减半（1440÷2＝720），之后用720减去大灯球数量396得到324（720－396＝324），用6除324得到54（324÷6＝54）；用3乘54得162（54×3＝162），用大灯球数396减去162得234（396－162＝234），最后用3除234等于78（234÷3＝78），就是缀六个小球的灯的个数。这一算法显然是采用了《孙子算经》中的“半足法”，而不是《算法统宗》中的“倍头法”。
　　在日本的数学教科书中有一个叫做“鹤龟算”的问题，［5］这一问题的原型其实就是中国古代的“鸡兔同笼”问题。1815年在日本出版的《算法点窜指南录》中记载的“鹤龟算”问题为：“某处有鹤龟百头，只云足数和为二百七十二，问鹤龟各几何？”其解法为：
　　“置龟之足数（4），减鹤足数（2），以余为法（4－2＝2），置某处鹤龟之数（100），乘以龟足数（１００×４＝４００），得四百，又减总足数（400－272＝128），得余数一百二十八，用法除之（128÷2＝64），得六十四，此为鹤之数。”［６］这一解决方法与《算法统宗》中的“倍头法”是一致的。
　　我国古代数学文献中的内容，通常是以问题及其算法的方式呈现的，很少有关于算法的道理的论述。问题的算法通常叫做“术”，类似于西方数学教育中所说的“程序性知识（Procedural Knowledge）”，指的是解决问题的工具和操作程序。前面介绍的算筹就是算法的工具，操作步骤就是程序。对于“鸡兔同笼”问题的解决，无论是《孙子算经》中的“半足法”，还是《算法统宗》中的“倍头法”，都具有“只叙术，不讲理”的特点。
　　由此带来的问题是，学习者可以按照操作程序解决问题，但不明白为什么可以这样操作的道理，也就是缺少了“概念性理解（Conceptual Understanding）”。因此，教师将数学史融入数学教学，就需要对数学史内容背后的道理进行研究，挖掘“术”背后的思维因素，也就是要回答“怎样想出方法”这样的问题。这些问题将在后续文章中继续讨论。
　　注释及参考文献：
　　［１］　引自：汉唐典藏. 子部集成•科学技术•数理化学•孙子算经•孙子算经（宋刻本）•卷下.
　　［２］　引自：汉唐典藏. 子部集成•类书集成•古今图书集成•历象汇编•历法典•第一百二十卷•算法统宗八•少广章第四下.
　　［３］　引自：汉唐典藏.子部集成•类书集成•古今图书集成•历象汇编•历法典•第一百十七卷•算法统宗五.
　　［４］　注释：《镜花缘》是清代才学小说的代表作，其中融入了诸如地理、历史、生物、数学、医药、水利、商业、神话、文学、音韵、艺术、游戏、星相等。作者李汝珍（约1763～1828）终生未举，小说中所写内容很多是他自身的研究成果。《镜花缘》前五十回写武则天时期落第秀才唐敖、商人林之洋、船工多九公游历海外几十个国家的故事，通过夸张、想象寄寓了作者对于政治、社会、文化的批判和理想。后五十回写武则天取中的一百名才女相聚游戏、呈技斗艺的故事。
　　［５］　参见：李淑文.日本新编中学数学教材的特点评析 ［Ｊ］. 数学教育学报， 2003.11.
　　［６］　参见：［日本］平山谛. 代钦译. 东西数学物语［Ｍ］. 上海教育出版社， 2005. 3（1）：49.
　　（首都师范大学初等教育学院　10004