“角的认识教学研究”校本教研活动方案(二)

　　一、 活动目标
　　1． 经历阅读、思考、解答并与同事交流有关角的认识的相关资料与问题。
　　2． 进一步明确角的初步认识与角的再认识在教学目标上的不同。
　　3． 能够合理选择教学资源，进一步引导学生进行角的大小的比较，并帮助学生理解角、直角、锐角和钝角的概念。
　　二、 活动内容、形式与时间
　　1． 教研组每位教师独立解答本方案中的相关问题，不集中，由教师自己抽时间书面解答问题，时间约2小时。
　　2． 与同事交流问题答案，时间约1小时。
　　3． 教研组确定两个人分别上角的初步认识和角的再认识的教研课，其他老师听课，时间约90分钟。
　　4． 评课与交流。①结合听课笔记，独立写出评课提纲，时间约15分钟；②教师进行评课交流，时间约45分钟。（教师可以在独立写出评课提纲的基础上，先在年级组进行交流，并确定一人发言，代表年级组到全体数学教师交流会上发言。）
　　三、 活动前准备
　　每位教师各自解答下面的问题，并准备在年级组或全数学组交流。（注：以下带有“*”号的问题，表示有一定的难度。）
　　1． 在小学阶段，角的认识分为初步认识与再认识两部分内容。查一查《课标（2011年版）》和你们学校使用的教材，想一想以下哪些方面的要求体现了“初步认识”（在相应的括号内写1），哪些方面的要求体现了“再认识”（在相应的括号内写2）？
　　（1） 结合生活实际认识角，能知道角的“样子”，不出现用文字表达的角的概念。（　）
　　（2） 能够通过摆一摆、折一折、做一做等活动，感受一个角是有大小的，两个角可以比较大小。（　）
　　（3） 能够结合操作活动，体会角的大小与两条边张开的程度有关，能够用重叠等方法比较角的大小。（　）
　　（4） 明确角的概念，理解角是由两条射线组成的图形。角的“边”没有长短之分。（　）
　　（5） 知道角有一个顶点和两条边，并能结合具体的图形，知道角各部分名称。（　）
　　（6） 结合具体情境认识直角a435bbe2d3e2974ce1c1c5d7047fd0cc，能用三角板上的直角去判断一个角是不是直角。（　）
　　（7） 知道锐角和钝角的名称，并能够运用直角，采用重叠的方法判断一个角是锐角还是钝角。（　）
　　（8） 能够根据大小为角分类，认识直角、锐角、钝角、平角和周角，并能够借助量角器量出角的大小。（　）
　　2．*在教学角的初步认识时，常常需要出示一些现实生活中的实物或实物的图片，然后从这些物体中抽象出角（如上表图形）。如果是你，会选用哪些物品？用多少件物品？你在选择物品时，会考虑抽象出的角分别是锐角、直角与钝角的情况吗？会考虑角的静态定义与动态定义这两个因素吗？
　　有位教师（吴月兰，2009）查阅了国内10套小学数学教材，发现这10套教材都呈现了三幅实物图，并从中抽象出角。从各套教材所采用的实物图来看，主要有如上面表格中所示的几种。
　　你觉得教材所采用的这些实物图，对学生理解角的概念合适吗？
　　吴月兰老师对上面这些实物图的作用进行了分析，请你读一读下面的文字，你觉得她的主要观点是什么？这样分析有道理吗？
　　“表格中呈现的水槽，城市里并不多见，对很多孩子来说，还是比较抽象，并不是一个好的选择对象；而房子、五角星，这些对学生来说非常熟悉的物品，却和水槽有着共同的弊端：图中呈现的角太多，学生很难关注其中的一个，不利于学生去发现角的本质特征；红领巾虽然是孩子们非常熟悉的物品，但在他们心目中，红领巾是软的，可以随意弯曲，对理解“角的边是直的”可能会有负迁移。而三角尺是学生常用的学习用品，也是认识直角时的主要学习工具，具有典型性。利用三角尺来抽象出直角更接近学生的学习实际，并对后续直角的研究有一定的帮助。因此，有更多的教材倾向于选择三角尺作为学生认识角的实物支撑。
　　从角的动态定义‘由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形叫做角’来看，角的原型还应刻画两条边的张开度，剪刀、扇子、钟面这些物体既能呈现静态的角，又能比较好地刻画角的动态变化过程，体现角的本质特征，因此，也是实物图的首选。”
　　3． 如果你在教学角的认识时，先出示实物图，再从实物图中抽象出角，那么你会先抽象出哪一类角？为什么？以下是北师大教材中，由实物图抽象出角的顺序。
　　你觉得这个顺序合适吗？为什么？
　　吴月兰老师对10套教材中的三类角（锐角、直角、钝角）的呈现顺序进行了统计，如下表所示：
　　你认为不同的呈现顺序都有一定的理由吗？如果有，理由可能是什么？
　　4． 良好的课前导入对提高学生的学习兴趣，吸引学生的注意力，起着重要的作用。请阅读下文，并回答问题。
　　“角的初步认识”是一节概念的起始课，是学生在学校学习中，第一次正式接触角的概念，这节课的导入归纳起来大致可以分为从数学内部导入和从学生生活经验导入两类。
　　所谓从数学内部导入，就是关注数学知识间的内在联系，由学生已经有的与角有联系的数学知识开始，逐步过渡到角的学习。例如：
　　导入方式一：
　　出示图形：圆形、三角形、正方形、平行四边形、椭圆形、梯形、五边形。
　　提问：认识这些图形吗？你能给这些图形分分类吗？引导学生将图形分成“有角”和“没有角”的两类。这些图形上都有角，到底什么是角呢？这节课我们一起来——认识角。
　　导入方式二：
　　谈话：同学们，在前面的数学学习中，咱们认识了很多图形朋友！你还记得谁呢?（生：三角形、正方形……还有立方体、圆柱体……）今天，咱们来认识一个新的图形朋友（出示角的图片），你们认识它吗？这节课我们来——认识角。
　　所谓从学生生活经验导入，即通过寻找学生原有生活经验中与角相关的内容引入，逐步从学生的生活经验过渡到数学学习。例如：
　　导入方式三：
　　教师出示教材中的主题图（或生活中有角的图片），提问：你能在图上找出角吗？教师根据学生的回答，利用各种方法隐去实物图，留下角。这节课我们就来——认识角。
　　导入方式四：
　　师（板书：角）：认识这个字吗？你想到了什么？生：三角形，元、角、分中的角，牛角，羊角……（学生可能想到来自生活中所熟悉的各种各样和角相关的原型）师：今天这节数学课，我们就来研究数学中的角。你认为数学中的角应该是什么样的角呢？——板书：认识角
　　导入方式五：
　　师（出示图片）：这是一场足球比赛，球进了！你们猜猜看，这个球可能是几号球员踢进去的？为什么呢？（学生的回答中可能会涉及角度的问题）刚刚有同学提到角度问题，那么角度是怎么回事呢？什么是角呢？这节课我们就来学习数学中的——角。
　　问题（1）：上面两类引入方式各有什么优劣？
　　问题（2）：你喜欢或不喜欢上面的哪一种导入？为什么？
　　5． 以下是揭示角概念的两个教学片段，你觉得哪个是教学角的初步认识？哪个是教学角的再认识？这两个教学过程的主要差异是什么？
　　教学片段一：
　　（1） 指角。师（出示三角板）：三角板上有角吗？你能指出它的三个角在哪里吗？（生指角后，师教学如何指角）
　　（2） 找角。教师出示实物图片让学生找角，然后教师将实物图片中的角抽象出来画在黑板上。
　　（3） 创造角。师（拿出一张圆形或椭圆形纸片）：在这个图形上有角吗？你能想办法在这张没有角的纸片上，创造出一个角吗？试试看！（生每人有一张圆形纸片）
　　（4） 感知角的特征、介绍角各部分名称。师：刚才我们看到很多角，现在大家又创造出了许多角，看一看这些角，摸一摸你创造出的角，想一想这些角有什么共同的地方？
　　（5） 教师与学生在交流反馈中概括出角的特征：它们都有一个尖尖的地方（叫做角的顶点）、都有两条直直的线（叫做角的边）。一个角有一个顶点，两条直直的边。要判断一个图形是不是角，就要看它是否满足以下两个条件：①要有一个顶点；②要有两条直直的边。
　　教学片段二：
　　（1） 画射线。让学生在纸上点一个点，并要求从这一点出发画射线，想一想可以画多少条射线。
　　（2） 分离出角的图。从射线图中（如下图），看一看、指一指有哪些角。如果要把一个个角单独画出来，可以怎样画？
　　（3） 观察、归纳角的含义（静态）。让学生观察这些角的共同点，并引导得出：每一个角都是由一点引出的两条射线所组成的图形。
　　（4） 演示、观察、归纳角的含义（动态）。通过刚才的学习知道了两条射线可以组成一个角。想一想，如果只有一条射线，怎样做也能得到一个角呢？引导学生逐步归纳出动态角的含义。生1：转一下就可以得到了。生2：要绕着端点转一下才可以得到，否则可能会有两个角。生3：转前是这条射线的第一个位置，转后是第二个位置，这两个位置上的两条射线可以组成一个角。生4：也就是这条射线开始的位置与终止的位置所组成的图形才是角。最后师生共同完整表达角的动态定义。
　　6． 在角的初步认识教学时，你觉得让学生做一个角会有利于他们理解角的概念吗？以下是不同版本教材中呈现的“做角”方法，你会选择哪一种方法在课堂上使用？为什么？
　　（1） 用两根硬纸条做一个活动角。
　　（2） 用一张纸折一个角。
　　（3） 用两根小棒搭一个角。
　　（4） 在钉子板上拉出一个角。
　　（5） 转动钟面上的时、分针得到一个角。
　　（6） 拉开纸扇得到一个角。
　　（7） 打开剪刀得到一个角。
　　有人认为，最简便的做角方法是“用硬纸条做一个活动角”。并提出如下理由：①纸条是非常方便准备的教学用具，也最“实用”；②它有一个固定的端点，两条边可以绕着这个端点旋转，便于学生进一步关注角的本质——一个顶点，两条边；③纸条做的活动角可以随意旋转，可以转出锐角、直角、钝角、平角、周角甚至更大的角，为学生后继的学习积累感性的经验；④在纸条张合的过程中容易让学生体会到角的大小变化，也便于用重叠的方法比较角的大小。你觉得上述说法有道理吗？想一想，用硬纸条做角有什么不足？
　　7． 你认为角的大小比较是一个教学难点吗？如果是，你有什么办法可以克服这个难点？对于下面的教学过程，你更喜欢哪一个？为什么？
　　教学过程一：
　　（1） 教师演示活动角，让学生观察其中的规律，如图1所示。
　　（2） 每个学生用活动角进行演示，进一步感受角越来越大或越来越小的过程。
　　（3） 教师课件出示一个角，然后将角的边不断延长，让学生观察什么在变，什么不变。再将角的边不断缩短，让学生观察什么在变，什么不变。从而得出结论：角的大小与它画出的边的长短无关。
　　教学过程二：
　　（1） 课前教师准备了一副大的三角板，并让每位学生也准备一副三角板。课上教师要求学生拿出与自己一样的三角板（内角分别为30°、60°、90°），并让学生注意直角的大小是指哪里？每一个学生用手指一指（用手指角的两边张开的地方，教师自己也在大三角板上指一指）。师：老师手里的这块三角板与你们手里的这块相比，谁的大？你是怎么知道的？生：老师的这块大，是看出来的，也可以把两块三角板重叠在一起比较。师：刚才老师与你们都指了自己这块三角板上的这个角，是你们三角板上的这个角大，还是老师的大？你是怎么知道的？（引导学生用重叠的方法比较，教师拿自己的大三角板与学生的小三角板上的直角进行比较：顶点重合，一条边重合，另一条边也重合）让学生发现两个角一样大。学生中有大小不一的三角板时，让学生用他们的三角板再比较这两个角的大小。教师分别把自己的三角板中的直角与学生的三角板中的直角画到黑板上，让学生观察，说说这两个角有大小指的是哪里；想一想，如果把它们重叠起来，会相等吗？角两边的张开程度是一样的吗？从而得出：角的大小与画出的边的长短无关，与角的两边张开的程度有关。
　　同样，教师分别把自己的三角板上的３０°角、６０°角与学生三角板上的30°角、60°角先进行实物比较，再画到黑板上进行比较。进一步巩固上面得到的结论。
　　（2） 教师出示图2中的两组角，让学生想一想，并判断每组中∠1与∠2两个角的大小，说一说如何验证判断结论的正确性。
　　学生表达后，教师课件演示，用重叠的方法比较每组角的大小，验证学生得出结论的正确性。
　　（3） 让学生用两张圆形纸片分别折出两个大小比较接近的角，同桌相互判断并用重叠的方法验证。
　　8．*在角的再认识教学时，教师让学生解决下面有关角的大小比较的问题，你觉得有什么教学价值？
　　问题（1）：想一想，图3中的两个角拼在一起，估计有多大？请你在纸上画一个与图3中∠1+∠2的和相等的角。
　　问题（2）：请估计图3中∠1+∠2的和与图4中的∠3谁大，怎样验证你估计的正确性？
　　启发学生用重叠的方法比较，可以将图3中的两个角撕下来，拼到图4中，可以有两种不同的重叠方法比较出大小（两种拼法），如图5所示。
　　你觉得让学生解决上述问题有以下的教学价值吗？
　　（1） 有利于培养学生的空间观念。
　　（2） 有利于学生体会角的“可加性”。
　　（3） 为解决三角形内角和问题奠定了基础。
　　9． 你觉得在认识直角、锐角和钝角时，最先应该认识的是哪类角？最后认识的应该是哪一类角？理由是什么？
　　以下是认识直角、锐角和钝角的教学片段，请你写一写每个环节的设计意图。
　　环节1：认识实物中的“直角”。
　　（1） 课上教师拿出一块直角三角板（内角分别为30°、60°、90°）。让学生注意哪个是直角（先不出直角名），问学生这是一个角，它的大小指的是哪里？学生说后，教师在大三角板上指角的大小，并小结像这样的角我们称之为直角。
　　（2） 让每位学生也拿出与之一样的三角板，并找到这块三角板上的直角，用手指一指这个直角的大小。
　　（3） 找一找数学书封面上的四个角，用三角板上的直角分别去比一比，看一看它们的大小是否相等？从而得出：数学书封面上有四个直角。想一想语文书封面上的四个角会是什么角？
　　环节2：认识图形中的直角。
　　（1） 如果把三角板上的直角画到纸上，会是什么样子的？让每个学生动手画。画好后，同桌相互看一看，你们画出的直角有什么异同点？相同点：样子一样；大小一样。不同点：画出的边有长有短。
　　（2） 教师在黑板上画直角，让学生观察。教师先把三角板靠到黑板上，让学生观察直角在哪里，然后画出直角。依次出现图６所示的五个直角。学生观察得出，相同点：样子一样；大小相等；都是直角。不同点：放的地方不同；画出的边的长短不同。学生比较后，教师画上直角的符号，并告诉学生，当一个角是直角时，我们可以在它表示大小的地方画上这样的符号，以表示这是一个直角。
　　环节3：认识锐角与钝角。
　　教师出示图7，让学生观察并进行分类。
　　学生可能有不同的分类方法，教师可以引导学生与直角比较进行分类。可以分成两类：是直角的一类，不是直角的一类；也可以分成三类：比直角小的一类，与直角相等的一类，比直角大的一类。从而教师引出锐角与钝角的概念。
　　环节4：进一步认识锐角与钝角。
　　（1） 先让学生想好要折多大的锐角，再用圆形纸片折。先想好要画一个比折出的锐角大一点的锐角，再在纸上画出一个锐角。同桌相互交流，看一看同伴折出的、画出的角是锐角吗？为什么？引导学生从定义出发思考，并与直角比一比大小。
　　（2） 同桌相互看一看折出的和画出的锐角，它们的大小相等吗？不同大小的锐角可以画出多少个？进而得出：锐角有很多个，它们可以大小不同。
　　（3） 与上面（1）和（2）两个教学过程相类似，让学生进一步认识钝角。
　　（4） 让每一个学生分别用折出的锐角与钝角，轻轻地在手背上刺一刺，说一说有什么感受。进一步体会“锐”与“钝”的含义。
　　（5） 教师用活动角从小到大、从大到小演示从锐角逐步到钝角、从钝角逐步到锐角的过程，让学生观察并说一说发现了什么。
　　（6） 师生共同总结：①直角、锐角与钝角是三类不同的角。②所有直角的大小都相等；锐角可以有无数个，所有的锐角都比直角小；钝角可以有无数个，所有的钝角都比直角大。
　　10．* 下面是角的初步认识和角的再认识的两个教学流程，但流程中没有写出比较具体的操作过程。请你把这两个教学流程写具体。（你可以参考本文和上一期（第6期）角的认识活动方案（一）的内容）
　　角的初步认识主要教学流程：
　　（1） 出示实物图并抽象出角。
　　（2） 教学角的特征和各部分名称。
　　（3） 教学如何指一个角。
　　（4） 用圆形纸片创造一个角。
　　（5） 判断一些图形是不是角。
　　（6） 教学画角。
　　（7） 认识直角与画直角。
　　（8） 说一说生活中的角与直角。
　　（9） 做一个活动角。
　　（10） 教学一个角的大小和两个角比较大小。
　　（11） 回顾与总结。
　　角的再认识主要教学流程：
　　（1） 认识直的线和曲的线。教师课件演示：一个点运动，让学生观察并画出这个点运动后形成的线，然后对这些线进行分类。
　　（2） 认识直线与射线。复习线段并把它的一个端点去掉，让线向一个方向延长，让学生想象，出示射线概念，并出示直线的概念。
　　（3） 总结归纳线段、射线与直线的特征。
　　（4） 通过一点画射线，并抽象出角。
　　（5） 教学角的静态定义和角的记法。
　　（6） 教学角的动态定义。
　　（7） 教学两个角的大小比较。
　　（8） 教学两（或三）个角的和与一个角比大小。
　　（9） 回顾与总结。
　　11．* 角的认识教学属于概念教学的范畴，对于概念教学已经有许多的研究成果。美国的数学教育家杜宾斯基提出了数学概念教学的四个阶段理论，简称为APOS理论。请阅读以下材料并回答问题：
　　杜宾斯基提出数学概念分为四个递进的阶段，分别是：活动（Action）—过程（Process）—对象（Object）—概型（Scheme），这也是学生学习数学概念的四个层次。对于角概念的教学来说，“活动阶段”是学生理解角概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受角概念的直观背景和概念间的关系。“过程阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出角的概念所特有的性质。“对象阶段”是通过前面的抽象，认识到角概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，并在以后的学习中以此为对象去进行新的活动。“概型阶段”的行程要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含反应概念的特例、抽象过程、定义以及符号，经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。
　　结合四阶段理论，从角的认识中学生对角概念的理解可以分为如下四个阶段：①活动阶段：从图形、图案或者生活场景中找到“角”，并大致形成一个印象：“像这样的图形就是角。”通过活动和比较，感受到角的大小。②过程阶段：对“角”这样的图形进行描述和反思，找到角的共同特征：这些角上都有尖尖的一个“头”，还有两条直直的线。③对象阶段：在活动与过程阶段的基础上抽象出角的定义，真正理解什么是角，以及为什么两条边之间分合程度的变化是角的大小，并通过学习，能够度量、比较角的大小。④概型阶段：分析角与其他知识之间的联系，以及利用角概念解决问题。
　　问题（1）：你阅读了上面四阶段理论后，觉得这样的教学理论对你的教学实践是否有指导作用？为什么？
　　问题（2）：依据上面的四阶段理论，你觉得“角的初步认识”与“角的再认识”这两节课，学生在角概念理解的层次上有什么区别？
　　（以上活动方案中问题的相应参考答案略）
　　（浙江省杭州市上城区教育学院　31000