草图解题初探

　　草图是一种画图形式，在数学教学中更是一种重要的解题策略。草图策略，即根据数学信息和问题画出相应的图形来帮助审题、理解题意和分析数量关系，从而使复杂的问题变得简单，抽象的问题变得直观，最终轻松地解决实际问题。本文旨在通过对学生画图解题的现状的分析，并结合笔者的教学经验，谈谈草图策略在小学高年级数学教学中的应用。
　　一、探究的背景
　　近几年，笔者一直担任小学高年级数学的教学。在课堂练习、课后作业和考试测验中发现，得分率较低的题型主要有：稍微复杂且抽象的应用题、较难的空间几何知识题以及综合题。学生对这些类型的题目往往是一知半解，尤其是遇到那些数学信息较隐蔽、数量关系较抽象的题目时更是束手无策。
　　例如，在一次六年级上册第四单元的测试之后，笔者通过对本班的试卷分析发现：第五大题“解决问题”中的第5小题得分率只有30%。题目是这样的：在一个直径为10米的花园的外边沿铺一条宽1米的小路，求这条小路的面积。本题的特点是：文字少，条件少，看起来简单。但是，题中的数量10米和1米之间的关系却较为抽象，不能直接看出它们之间的关系。因此，学生在解题时，容易出现以下错误：
　　3.14×（102-12）＝310.86（平方米）；10÷2＝5（米），3.14×（52-12）＝75.36（平方米）。
　　其实，只要我们根据该题的数学信息画出相应的草图，就可以使题中的数量关系变得清晰、明了，从而轻松解题。从图1中便可看出：
　　求小路的面积就是求圆环的面积。内圆半径：10÷2＝5（米）；外圆半径：5+1＝6（米）；小路的面积：3.14×(62-52)=34.54(平方米)
　　由此可见，画图解题既是数形结合思想的体现，又是重要的解题策略。在小学数学教学中，画图策略主要表现在把抽象的数量关系转化为适当的图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化复杂为简单、化抽象为直观和化隐为显的目的，最终更轻松地解出题目。
　　值得深思的是：既然画图可以帮助学生顺利解题，为什么大多数学生在解题时却不愿画图呢？于是，笔者对学生画图解题的现状进行了调查分析。
　　二、学生画图解题的现状分析
　　笔者对班上的学生进行了一次问卷调查。调查内容如下：
　　①在平时解题中，如果遇到一些稍复杂的问题（既不是空间图形题，又没有作图要求），有没有尝试过画图来帮助解题？
　　A.经常 B.偶尔 C.没有
　　②你喜欢通过画图来解决问题吗？为什么？
　　A.喜欢 B.不喜欢
　　喜欢的原因:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　不喜欢的原因：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　调查结果可归纳为两点。其一，平时解题时，如果遇到稍复杂的问题（既不是空间图形题，又没有作图要求），只有约11%的学生会尝试画图去解题。其二，学生喜欢画图解决问题是因为画图可以使复杂的问题变得简单，可以更清楚地分析数量之间的关系；学生不喜欢画图解决问题是因为觉得画图很麻烦，很浪费时间。
　　调查显示，学生画图解题的意识较淡薄，究其原因是受到平时画图规范的影响，认为画图不但要用尺子一板一眼地画，还要画得准确，结果学生把图画得很漂亮，可是画图的意识却被压抑了。
　　其实，在教学中我们不难发现，在解决许多较为复杂的数学问题时是不需要画规范图的，只要能根据题意画出简单明了的草图，帮助分析题中的数量关系就可以了。而且，同一道题的数量关系可以用不同的草图来表达。草图既可以突显画图的灵活性，发挥学生的思维创造力，又可以节省时间，有效地提高解题效率。
　　因此，笔者认为，在小学阶段，尤其在小学高年级数学的教学中应让学生深刻体会到草图解题的应用价值，培养学生画草图解题的习惯，让草图成为学生的解题策略。
　　三、草图策略的应用
　　小学数学教材中有许多数学问题都可以通过画草图来解决，这就需要教师充分挖掘能体现画草图的教学内容，在教学中根据具体情况适当地应用草图策略，让学生体验草图策略的价值。现以人教版五、六年级的相关知识内容为例，谈谈草图策略的应用。
　　1. 画草图解决稍复杂的数学问题——化复杂为简单
　　在解决一些稍复杂的数学问题时，由于题中数量关系比较复杂，学生较难理解数量之间的关系。这时，教师可以引导学生画草图，通过数与形相结合的形式，将数量之间的关系清晰地梳理出来。
　　例如，教学例题“白色皮有20块，比黑色皮的2倍少4块。共有多少块黑色皮？”笔者要求学生熟读题目，明确题目中的条件和问题，引导学生根据题意，用自己喜欢的方式画草图来理清数量之间的关系。
　　结果学生所画的草图主要有：示意图和线段图。
　　生1：
　　生2：
　　生3：
　　对于学生画出的各种草图，教师都应给予肯定，鼓励学生的求异思维，并让学生通过自己所画的图说说自己的解题思路。通过对比不同的草图，让学生认识到，画草图来解题是一种很重要的解题策略。
　　然后，引导学生根据线段图列出数量关系式。最后，列出方程：
　　①黑色皮的块数×2－白色皮的块数＝4 → 2x-20=4
　　②黑色皮的块数×2-4＝白色皮的块数 → 2x-4=20
　　③黑色皮的块数×2＝白色皮的数+4 → 2x=20+4
　　④黑色皮的块数＝(白色皮的块数+4)÷2 → x=(20+4)÷2
　　如果学生仅从字面理解题意，那么班上只有很少的学生能准确地列出数量关系式，而且这些学生只会列一种或两种方程；如果教师引导学生画草图分析题意，那么班上大部分学生能准确地列出数量关系式，并列出不同的方程来解题。
　　另外，草图除了可以帮助分析稍复杂的方程问题，还可用于稍复杂的分数或百分数问题的分析上，均可有效地帮助学生解题（见表1）。
　　2. 画草图解决抽象的数学问题—— 化抽象为直观
　　“数学广角”的设置是教材改革的一大亮点，也是教学内容中的一个难点。许多学生都觉得“数学广角”里的知识很抽象，难以理解，尤其是到了小学中高年级以后，中差等生学起“数学广角”里的知识更是格外吃力。其实，在解决这些抽象的数学问题时，教师可以引导学生通过画草图分析题意，化抽象为直观，最终解决问题。
　　例如，教学例题“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”许多学生对题中的数量关系不理解，觉得无从下手。这时，笔者引导学生画草图来解题：
　　①假设全部是鸡：（教师在黑板上画图）
　　那么就有8×2=16只脚，这样就多出26－16=10只脚。
　　师：那多出的脚是谁的，怎么办？
　　生：多出的脚是兔子的，每只兔子少了2只脚，把脚还给兔子。
　　②把多出的脚还给兔子：（指名学生上台画图）
　　可以还给10÷2=5只兔子。
　　所以笼子里有5只兔子，3只鸡。
　　通过画草图，把形象思维与抽象思维相结合，于是，题中数量之间的抽象关系就在生动形象的草图中变得一目了然。在课堂练习中，笔者发现绝大部分学生都能用假设法准确地解决“鸡兔同笼”类的问题（见表二）。
　　3. 画草图解决较难的空间几何问题——化隐为显
　　在解决一些较难的空间几何问题时，由于题中所给的条件较为隐蔽，学生则要一边根据题意在头脑中建立表象，一边从表象中提取有效的信息解题，这样往往会顾此失彼，导致解题失败。这时，教师可以引导学生根据题意画草图，把题中隐蔽的条件充分地显露出来，更有效地解决问题。
　　例如，教学六年级下册教材第30页的习题：有块正方体的木料，它的棱长是4dm。把这块木料加工成一个最大的圆柱。这个圆柱体的体积是多少？
　　笔者先不让学生看图，而让他们思考怎样解题。结果，有一半的学生不能较好地理解题意，无法找出求圆柱体积的条件。看到这种现象，笔者在黑板上画出草图：，让学生说说从草图中发现了什么。结果，学生恍然大悟，纷纷举手回答：正方体的棱长其实就是圆柱的底面直径和高。
　　通过画草图，学生找出了题中隐藏的条件，感受到了画草图策略的价值（见表3）。
　　四、草图策略教学的建议
　　要想让学生较好地应用草图解题，教师在教学中应指引学生做到以下三点：
　　1. 掌握基本图形的正规画法，熟练地手绘草图
　　画草图时，虽然随意性较强，但有时也需要一定的画图功底，所以，在教学中应指导学生掌握一些基本图形的正规画法，在此基础上逐渐向草图转移，并适当地进行拓展。
　　例如：在教学五年级下册第三单元长方体的知识时，笔者先示范画长方体的正规图；当学生掌握画法后，让学生尝试不用尺子较快地画出长方体的草图；接着在笔者的指导下，让学生画出长方体的两种截面草图（见图2）：
　　有了以上的铺垫，在解决类似问题时就可迎刃而解了。
　　且看这道例题：一根长3米的方体木料，切成3段，表面积增加80平方厘米，这根木料原来的体积是多少？
　　相应草图：，由图可突破难点80平方厘米=4个底面的面积。
　　2. 草图力求简洁明了，目的在于解决问题
　　画草图并不要求精确地把握图的准确性，只要能表达出题中数量之间的关系，有助于解题即可。但是，据笔者观察，有些学生在画图时有一种“画得不漂亮就决不罢休”的心理，于是就把时间和精力都花在了画图上，而不是解题上，造成本末倒置的后果。因此，教师应要求学生在画草图的时候做到简洁明了，速度快，让学生明白画草图是一种解题策略，最终目的在于解决问题。
　　例如，解答前面所列举的那道题：在一个直径为10米的花园的外边沿铺一条宽1米的小路，求这条小路的面积。
　　虽然该草图里的圆并不是正规图，缺乏美观，但是该图简洁明了，从图中可以轻松地获取解题所需的信息。
　　3. 分享草图策略的成果，让学生体验成功
　　每一种习惯的培养都不可能是一蹴而就的，尤其是画草图解决问题的习惯，它必须经过学生循序渐进、反复训练才能形成。然而，习惯的形成必须要有兴趣的支撑，而兴趣又来源于成功的体验，因此，要让学生充分地感受到画草图策略带来的成功感。
　　具体做法有三个：一是在练习中，学生之间互相分享所画的草图，交流解题思路；二是教师应多鼓励学生采用画草图的方法来解题，肯定学生所画的不同草图；三是在学生完成练习时，教师细心巡堂，善于在练习中发现学生画草图解题的闪光点，及时在课堂上展示学生所画的草图，并让学生根据草图说说自己的解题思路，共享画草图策略的成果。
　　小学高年级的学生正处于从解决简单数学问题向解决复合型数学问题的发展过程中，涂涂画画有助于学生对问题的分析和理解。实践表明，画草图是提高学生解决问题能力的一种有效策略，因此，教师要把画草图策略贯穿到教学中去，并持之以恒。
　　（作者单位：广东省东莞市万江小享小学）
　　（责任编辑：徐苹 梁