大行星、月球和小天体环绕型探测器的轨道问题

刘林 汤靖师

（1 南京大学天文与空间科学学院，南京 210093）

（2 南京大学空间环境与航天动力学研究所，南京 210093）

（3 北京航天飞行控制中心航天飞行动力学技术重点实验室，北京 100094）

1 引言

在深空探测中，环绕型探测器显然是一种主要的选择。对于这种探测器（特别是低轨探测器）的轨道而言，中心天体的非球形引力作用是决定其轨道特征的主要力源。因此，在确定探测方案时，必须深入地了解探测目标天体引力场的细节及其相应的探测器轨道特征，不能简单地套用人造地球卫星的结果，特别是对小天体的探测。

太阳系中各大行星和月球的形状及内部密度分布存在差异，它们的引力位有各自的特征，这就决定了相应的环绕型探测器的轨道及其变化规律会有明显的差别。而对于那些小天体（主要是大量的小行星），不但相应的引力位的具体形式难以构建，而且有些小天体的质量太小，探测器的绕飞形式难以形成，必须用伴飞的形式来代替，以达到近距离探测的目的。

金星、火星和月球各自的形状和物理结构有较明显差别，例如，月球的质量分布相对而言极不均匀，金星自转极慢，等等。由于这些特点，对环绕型探测器的轨道而言，它们可以作为大天体的不同典型。本文将具体阐述金星、火星和月球各自的环绕型探测器运行轨道的可能形式及轨道变化特征，并以必要的计算结果证实理论分析的可靠性，为相关的航天任务轨道设计提供有益的信息。作为比对的“样本”，文中也对地球及人造地球卫星的状况作了必要的阐述。另外，以“爱神”（Eros）为例，阐述了小行星探测器绕飞轨道的特征和伴飞形式的有关条件。

2 地球、金星、火星和月球的有关参数

图1中模型适用于本节介绍的地球、金星、火星和月球，它们北极不同的赤经α0、赤纬δ0和0°经线距离（W），决定了各自的定向模型。在文中，地球、金星、火星和月球的参数用相应的下标E、M、V、Moon区分。其中：T为从历元J2000．0起算的时刻t所对应的儒略世纪；Rz为绕z轴的旋转矩阵；d为 自J2000．0起算的儒略日；nr为自转角速度；l和m分别表示重力场的阶和次；Cl，m和Sl，m表示重力场归一化的球谐系数。

图1 天体的定向模型Fig．1 Orientation model for celestial bodies

2．1 地球的基本状况

地球的大小、质量和密度与金星相近，均有稠密的大气层，但自转较快，这一特征与火星相近。其基本参数如下：质量是太阳质量的1／332 946．0，公转周期为365．256 363 06d，自转周期为23h56min4．090 53s。地球在日心黄道坐标系中的主要轨道根数（历元J2000．0）包括：半长轴为1．000 001 02AU，偏心率为0．016 708 62，倾角为0．0°。

地球平天极在ICRF赤道坐标系（简称J2000．0平赤道坐标系，这里所说的赤道即地球赤道）中的赤经（α0）E、赤纬（δ0）E即为地球平天极的空间指向（见图1），其值为［1］

式中：TE＝［JD（t）-JD（2000．0）］／36 525，其中，JD（t）和JD（2000．0）分别表示t时刻和J2000．0标准历元的儒略日；（α0）E、（δ0）E的单位为（°）。

由此，可建立地心天球坐标系，其基本坐标面采用J2000．0地球平赤道面，而相应参考系的第一方向是春分点γE。若定义地球的自转矩阵为RE（t），则有

格林尼治恒星时（SG）E可由地球自转角WE给出，即

由于自转较快，地球动力学扁率系数（J2）E＝1．082×10-3。地球引力场模型通常采用WGS-84模型，即：质量常数为398 600．441 8km3／s2，赤道半径为6 378．137 0km，部分球谐项系数列于表1。

表1 WGS-84部分球谐系数Table 1 Selection of harmonic coefficients from WGS-84

若用带谐项系数（Jl）E（l≥2）代替（Cl，0）E，则有

当l＝2时，（J2）E＝1．1×10-3；当l≥3时，（Jl）E≤O（10-6）。

2．2 金星的基本状况

金星是离地球最近的一颗行星，它的大小、质量和密度与地球相近，也有稠密大气层，但自转很慢。其基本参数如下：质量是太阳质量的1／408 523．5，公转周期为224．7d（地球日），自转周期为243．0d。金星的“黄赤”交角为177．36°，是逆自转行星，其平天极在ICRF赤道坐标系中的赤经（α0）V为272．76°，赤纬（δ0）V为67．16°，代表金星平天极的空间指向。由此，可建立所需的金心天球坐标系，其基本坐标面采用J2000．0金星平赤道面，而相应参考系的第一方向，即金星定向模型中的J2000．0地球平赤道（ICRF平赤道）与J2000．0金星平赤道的交点Q（见图1）。在此选择下，金星自转角WV即从点Q向东计量至点B（金星本初子午线方向），可以将WV看作金星上的格林尼治恒星时，也可用类似于地球恒星时的定义（见式（3）），但要注意，金星是逆自转行星。若定义金星的自转矩阵为RV（t），则有

金星在日心黄道坐标系中的主要轨道根数（历元J2000．0）如下：半长轴为0．723 329 82AU，偏心率为0．006 771 88，倾角为3．394 662°。由于自转慢，金星动力学扁率系数（J2）V＝0．45×10-5，比月球的值还小1 个量级，比地球的值小2 个量级。关于金星引力场模型，为了阐明相关问题，这里引用美国航天部门给出的70×70阶模型MGNP180U。其中：质量常数为324 858．592 079km3／s2，金星赤道半径为6 051．000 0km，部分球谐项系数列于表2。

表2 MGNP180U 部分球谐系数Table 2 Selection of harmonic coefficients from MGNP180U

若用带谐项系数（Jl）V（l≥2）代替（Cl，0）V，则有

当l＝2时，（J2）V＝4．5×10-6；当l≥3时，（Jl）V＝O（10-6～10-7）。

由于金星自转很慢，不仅动力学扁率系数（J2）V较小，而且其值与“高”阶谐系数（包括田谐系数）并无明显差别。因此，就非球形引力而言，对低轨探测器轨道的摄动影响将有别于地球的状况。金星自转轴也在摆动，据目前的理论研究结果（见文献［2］），即使存在与地球同量级的岁差、章动量，但由于金星的非球形部分很小，对于探测器的轨道问题，可不予考虑。

2．3 火星的基本状况

火星是与地球类似的一颗行星，其基本参数如下：质量为太阳质量的1／309 871 0，公转周期为687．0d（地球日），自转周期为24h37．377 7 min。在日心黄道坐标系中的主要轨道根数（历元J2000．0）包括：半长轴为1．523 679 34AU，偏心率为0．093 400 62，倾角为1．849 726°。与地球自转类似，火星的自转轴也在空间摆动，其结果对环火星探测器的轨道而言，同样存在岁差、章动效应，但火星的岁差、章动量较地球的相应值小，其赤经岁差和赤纬岁差分别为3．8（″）／a和2．2（″）／a，章动序列最大项的幅度只有1．1″。

火星平天极在ICRF赤道坐标系中的赤经（α0）M、赤纬（δ0）M（单位：（°））为

火星自转角WM同样由图1 中的（弧）定义，即从点Q向东计量至B（火星本初子午线方向），可看作火星上的格林尼治恒星时，也可用类似于地球恒星时的定义（见式（3））。定义火星的自转矩阵为RM（t），可表示为

火星引力场与地球有些类似，如其动力学扁率系数（J2）M与（J2）E的大小；也有明显差别，如赤道椭率、南北不对称的程度等。有多个火星引力场模型，这里引用美国Goddard模型GGM-1041C。其中：质量常数为42 828．370 245 291 269km3／s2，赤道半径为3 397．0km，部分球谐项系数列于表3。

表3 GGM-1041C部分球谐项系数Table 3 Selection of harmonic coefficients from GGM-1041C

若用带谐项系数（Jl）M（l≥2）代替则有

当l＝2 时，（J2）M＝2×10-3；当l≥3 时，（Jl）M＝O（10-5～10-6）。

一个通过对轨道偏心率的影响而制约低轨火星探测器轨道寿命的参数见式（10），它会导致低轨环火星探测器的轨道偏心率出现0．02～0．03的长周期变幅，影响轨道寿命。

2．4 月球的基本状况

月球是一颗较大的自然卫星，没有大气，自转很慢。其基本参数如下：质量为地球质量的0．012 300 02，公转周期为27．321 661 55d（地 球 日），自 转 周 期 为27．321 661 55d。月球在地心黄道坐标系中的主要轨道根数（历元J2000．0）包括：半长轴为0．002 571 881 4AU（384 747．981km），偏 心 率 为0．054 879 905，倾 角 为5．129 835 071°。对于月球，由于其轨道摄动变化较大，最大的周期项振幅可达2×10-2。

月球平天极在ICRF 赤道坐标系中的赤经（α0）Moon、赤纬（δ0）Moon为［1］

式中：Ei（i＝1，2，…，13）为中间参数，表达式详见文献［1］。

若定义月球的自转矩阵为RMoon（t），则有

式中：WMoon为月球的自转角，其计算公式参见文献［1］。

在实际应用中，并不采用上述IAU2000天体定向规范，可选择更精确的坐标系［3］，如DE405历表对应的参考系。

由于月球自转较慢，其非球形引力位也较接近球形引力位，动力学扁率系数（J2）Moon不仅较小，而且其大小与“高”阶谐系数（包括田谐系数）并无明显差别。因此，就非球形引力位而言，对低轨探测器轨道的摄动影响也有别于地球低轨卫星。为了分析问题，这里引用美国LP75G 模型。其中：质量常数为4 902．800 269km3／s2，赤道半径为1 738．0km，部分球谐项系数列于表4。

表4 LP75G 部分球谐项系数Table 4 Selection of harmonic coefficients from LP75G

若用（Jl）Moon（l≥2）代替（Cl，0）Moon，则有带谐项系数的相应值分别为

带谐项系数的相应值分别为：（J2）Moon＝4．5×10-6，（J3）Moon＝-2．2×10-6，（J4）Moon＝-2．1×10-6，（J5）Moon＝2．0×10-7，（J6）Moon＝-3．2×10-7，…。

通过对轨道偏心率的影响而制约低轨月球卫星轨道寿命的参数见式（14），它会导致低轨环月探测器的轨道偏心率出现变幅可达0．05～0．10的长周期变化，相比火星状况，会更明显地影响低轨探测器的轨道寿命。

3 大行星和月球各自环绕型探测器的轨道特征

3．1 环绕型探测器轨道的可能形式

各大行星和月球的环绕型探测器，在轨运行的基本特征与人造地球卫星类似，但具体细节也有很多明显差别。一般，就轨道变化的主要特征而言，可分为低轨和高轨，前者主要取决于中心天体的非球形引力和大气的影响，而后者则受第三体的引力影响明显。但就探测任务的要求而言，下列几种类型的轨道是人们所关注的。①回归轨道，即航天器轨道周期与中心天体的自转周期成简单整数比；②中心天体同步轨道，即航天器轨道周期与中心天体的自转周期相等；③太阳同步轨道，即航天器轨道平面的进动与中心天体的公转方向相同，周期相等，也就是在中心天体上看，航天器轨道平面跟着太阳以相同速度向东“跑”；④冻结轨道，即航天器轨道的长轴（也就是拱线）方向不变。

在上述四类轨道中，第一类很简单，如地球卫星，针对日照条件，要求卫星每天绕转12圈重复过同一地点上空，该卫星的轨道周期即为2h；另外三类轨道，对于地球、金星、火星和月球而言，各有不同的状态和特征，下面分别阐明。

3．2 中心天体同步轨道的基本状况

从理论上看，中心天体的同步航天器轨道也很简单，只要轨道周期与中心天体的自转周期相等即可，如果在中心天体的赤道上空运行，就成为运行在静止轨道的航天器。但有两个问题必须了解：一是相应的轨道半长轴不能太大，否则离中心天体太远，航天器就有可能在第三体的引力作用下脱离中心天体而逃逸；二是这种“同步”的稳定程度，对其影响最大的是中心天体的赤道椭率，该非球形项的大小将决定稳定范围。

3．2．1 地球同步轨道卫星轨道的主要特征［4-5］

地球同步轨道卫星的轨道周期为1 436．068 176min，相应的轨道半长轴为42 164．170km。对于定点在地球赤道上空的静止轨道卫星而言，在地球赤道椭率（J2，2）E（大小由非球形引力位中的C2，2、S2，2确定）的作用下，赤道上空有2个稳定区域，即赤道短轴两端（75°E 和105°W）的各一个邻近区域。在2个稳定点附近上空的东西漂移，就是这一力学机制（轨道共振机制，类似于单摆现象）；而南北漂移（实为轨道倾角的变化）则是由第三体（日、月）的引力作用导致，倾角变化呈现长周期状态，变化幅度可达15°，而周期长达50多年。

关于轨道（或位置）东西和南北漂移现象，为了便于了解其漂移的实际状态，下面给出一个算例。初始时刻为2010年9月10日0时整（UTC），轨道周期、半长轴和定点经度（相对地球短轴方向）的初始偏差分别为6 min38s、10km 和35．0°。初始轨道倾角的偏差很小（0．005°，约为O（10-4）），即基本上定位在赤道上空，同时考虑地球非球形引力及日、月引力和太阳光压的摄动影响，即使轨道外推40 000d（接近110a），卫星仍能保持在赤道短轴（75°E）上空的一个邻近区域内运行。具体结果如下：定点经度偏差为-43．13°～＋41．32°，纬度偏差Δφ为-15．28°～＋15．39°。其中，东西经度漂移（即定点精度偏差的变化）的周期约900d，在该周期内与其有关的轨道半长轴的变化幅度约为±25km，见图2、3。

图2 地球同步轨道卫星经度随时间的变化状况Fig．2 Variation of longitude with time for geosynchronous orbit satellite

图3 地球同步轨道卫星轨道半长轴随时间的变化状况Fig．3 Variation of semi-major axis with time for geosynchronous orbit satellite

3．2．2 火星同步轨道探测器的主要特征［6-7］

根据火星自转周期确定的火星同步轨道探测器，其运行周期为477．377 72 m，相应的轨道半长轴为20 427．684 25km，是火星运行轨道半长轴的6．013 448倍。如果探测器的轨道倾角为0°，就是相对火星的静止轨道。由于火星非球形引力位的二阶次项（（J2）M，（J2，2）M）与地球类似，且（J2，2）M值相对（J2）M更大一些，（J2，2）M／（J2）M的量级几乎达到10-1。因此，相应的轨道共振效应更为强烈，即探测器定位在火星赤道短轴（火星164．7°E）上空附近更稳定。

下面给出算例，计算历元及相应的初始轨道根数。设初始时刻为2010年3月30日4时整（UTC），半长袖为20 327．684 233km，偏心率为0．000 1，倾角为0．005°，轨道半长轴与同步轨道相差100km，相应的运行周期与同步周期相差约11min，结果见图4、5。图中：经度的变化dx＝λ-λMS，λ为卫星定点经度，λMS为火星赤道短轴的经度，大小为164．7°（74．7°＋90°）。

图4、5考虑了（J2）M＋（J2，2）M的摄动影响，对赤道短轴方向定位的初始偏离量为10．0°。在这么大的运行周期和定位偏离的情况下，探测器仍能保持在火星赤道短轴上空的邻近区域内运行。而对于地球同步轨道卫星，轨道半长轴与同步轨道仅差40km，即使初始严格定位在赤道短轴上空，即其定点精度初始偏差0．0°，也不能保持在赤道短轴上空的摆动状态。这证实了由于火星非球形引力位的赤道椭率（J2，2）M相对扁率系数（J2）M较大，相应轨道变化的共振效应更为强烈，探测器定位在火星赤道短轴（火星164．7°E）上空附近，比地球同步轨道状态更为稳定。

图4 火星同步轨道卫星经度变化dx 随时间t的变化Fig．4 Variation of longitude change（dx）with time（t）for areosynchronous orbit satellite

图5 火星同步轨道卫星经度变化dx 与半长轴的关系Fig．5 Variation of semi-major axis with longitude change（dx）for areosynchronous orbit satellite

3．2．3 运行在金星与月球同步轨道的探测器是否存在

金星的自转速度很慢，其自转周期比公转周期还长（243．0d（地球日）），要形成金星同步轨道，相应的轨道半长轴达153．65×104km，而这一距离已超出金星 的 希 尔（Hill）范 围［4］大 小（其 值 为101．12×104km），因此，运行在这种轨道上的探测器，在太阳引力作用下很快就会远离金星，意味着实际上不可能存在这样的同步轨道。

月球与金星情况类似，其自转速度也较慢，自转周期为27．321 7d（地球日），要形成月球同步轨道，相应的轨道半长轴要达到8．845×104km，而这一距离同样超出了月球的Hill范围大小（其值为6．16×104km）。如果仅考虑月球的非球形引力影响，由于其赤道椭率（J2，2）Moon相对而言较大，同步轨道探测器定位在月球短轴（90．0°E）上空附近也相当稳定。但是，运行在这样轨道上的探测器，在地球引力作用下很快就会远离月球。如果初始轨道偏心率和倾角的大小各为0．000 1和0．005°，运行不到2．8d，轨道就会被地球引力拉“扁”到偏心率接近1的程度，这同样意味着实际上不可能存在运行在月球同步轨道的探测器。

3．3 太阳同步轨道的基本状况

对于太阳同步轨道，要求其轨道平面跟着太阳以相同速度向东“跑”，航天器轨道平面的进动，源于中心天体非球形引力位中扁率系数J2的摄动作用。要求航天器轨道平面东进状态与太阳“绕”中心天体运行（实为中心天体绕日公转运动）同步，无量纲形式的表达条件为［4-5］

式中：设定p＝a（1-e2），n＝a-3／2，其中a和e分别为卫星轨道半长径和轨道偏心率；ns为中心天体绕日运动角速度。

由于导致航天器轨道平面旋转的非球形引力位中的偶次带谐项系数J2l（l≥2）要比J2小1～3个量级，其他能导致航天器轨道平面旋转的摄动因素更小，故只考虑J2项给出的条件式（15），可体现太阳同步轨道的实际运动状态。下面分别给出地球卫星和火星、月球探测器的低轨太阳同步轨道的算例和结果。

（1）每天（地球日）环绕地球运行约14．0圈：轨道高度h的平均值＝890．0km，运行周期为102．857 1 min，半长轴为7 271．9km，偏心率为0．000 1，倾角为98．902 5°。

关于金星的环绕型探测器，不能以太阳同步轨道的形式运行。原因是金星自转太慢，几乎呈现球状，其非球形引力位中的扁率系数（J2）V很小（4．5×10-6），该项摄动影响的结果Ω远远小于太阳的东进速度（也就是中心天体绕日公转角速度）ns［8］，不可能形成太阳同步轨道。

3．4 冻结轨道的基本状况

冻结轨道即拱线静止轨道，也就是航天器轨道的近星点指向不变。就轨道的近星点方向不变而言，冻结轨道有两类：临界倾角轨道和任意倾角（除临界倾角外）的冻结轨道。临界倾角轨道由中心天体非球形引力位中扁率系数J2的长期摄动确定。近星点幅角ωF的长期变率ωF主项的无量纲表达式如下［4-5］。

式中：pF为冻结轨道的椭圆半通径；nF为冻结轨道航天器的运动角速度；iF为冻结轨道的轨道倾角。

当ωF＝0时，近星点指向不变，相应的倾角称为临界倾角ic，其值为63°26′和116°34′。这类冻结轨道涉及轨道共振效应［4］，其稳定程度受轨道偏心率的大小制约，偏心率越大，稳定性越好。苏联通信卫星“闪电”（Molniya），采用的就是这样的大偏心率临界倾角冻结轨道。由于地球同步轨道卫星为高纬度地区传输信号时能耗较大，改用冻结轨道作为通信卫星的工作轨道，可以降低能耗。“闪电”卫星将远地点保持在苏联上空，使用3颗这样的卫星即可保证苏联全境24h信号的覆盖。

通常所说的冻结轨道，是指对应任一倾角的特殊轨道。这一特殊轨道实际上对应一个平均轨道解，也就是将航天器运动方程中所有短周期项（即由快变量构成的周期项）消除后的一个特解。主要针对低轨航天器而言，相应的平均系统取决于中心天体非球形引力位中的带谐项Jl（l≥2），该系统退化为一个四维动力系统，涉及4个轨道根数——轨道半长轴aF、偏心率eF、轨道倾角iF、近地点幅角ωF。相应的冻结轨道的解，有下列两种可能［4］：ωF为90°或270°。给定aF和iF后，即可由式（17）确定相应的eF。

式中：ε2表示相对｜（J3）F／（J2）F｜的高阶小量，如果（J3）F／（J2）F＞0，对应冻结轨道解ωF＝270°，反之，ωF＝90°。

根据上述分析，地球和金星冻结轨道解的近星点幅角为90°，而火星和月球冻结轨道解的近星点幅角为270°。另外，主要奇次带谐项J3与扁率系数J2的相对大小，决定了冻结轨道解对应的轨道偏心率的大小，对地球、金星、火星和月球而言，冻结轨道偏心率的量级分别为10-3、10-1、10-2和10-1。

3．5 关于轨道寿命状况

对于低轨航天器，大气（如果存在）耗散效应是决定轨道寿命的主要因素，其表现特征是：轨道半长轴和偏心率随时间增长不断减小，即轨道不断变小变圆。除此之外，还有另一种机制，即在中心天体非球形引力和第三体引力摄动下，航天器轨道偏心率的长周期变化Δel（t），会导致轨道近星点的高度降低，达到与中心天体相撞的状态，轨道运行终止。

根据航天器运动理论，在中心天体非球形引力和第三体引力摄动下，低轨航天器轨道偏心率的长周期变化ΔeLC（t）由式（18）［3-5，9-12］表示。

非球形引力位中奇次带谐项引起的偏心率的长周期变化主项，不带有偏心率因子，而偶次带谐项引起的变化均含有偏心率因子，这是因为奇次带谐项J2l-1（l≥2）的大小实质上反映的是一个天体南北不对称（包括形状和质量密度分布）的程度。由此可知：偏心率的长周期变化幅度主要取决于奇次带谐项J2l-1（l≥2）相对J2的大小，而且总效果取决于函数μ（i）值的变化状况。对于地球低轨卫星，μ（i）并不重要，而O（J2l-1／J2）＝O（10-3），相应的eLC（t）变化很小，对地球低轨卫星的轨道寿命无影响。但对金星、火星和月球的低轨探测器，因｜J2l-1／J2｜的量级较大，这一影响机制较重要，特别是月球低轨探测器［3］。对于金星低轨探测器，O（J2l-1／J2）＝O（10-1）会引起轨道偏心率有变幅较大的长周期变化，同样会影响轨道寿命。但是，因其整个非球形引力对球形引力（即质点引力）的偏离量很小，这一长周期变化的周期很长，几乎像长期变化，因此影响相当缓慢［8］。这里给出数值算例［13］：在不考虑金星大气的情况下，考查非球形引力的作用，初始时刻为2011年1月11日0时整（UTC），轨道近星点高度为700km，远星点高度为800km，轨道倾角为10．0°和85．0°。考虑金星非球形引力摄动，近星点高度的变化状态见图6。

在图6中并没有在轨道近星点高度为0．0km时终止计算，是为了了解长周期变化的细节。从图6中可以看出：偏心率确有周期很长的长周期变化，而且确实可以使探测器轨道近星点高度在一定时间段内降低到0．0km，但这一过程非常缓慢，降低到0．0km（对应偏心率为0．001 3）时需要的时间长达2 068d（对应轨道倾角10．0°）和4 545d（对应轨道倾角85．0°），这一特征也与轨道倾角有关，反映了金星质量密度分布也是不太均匀的。另外，同时考虑太阳引力摄动的结果，没有明显改观。以轨道倾角10．0°对应的结果为例，仅考虑金星非球形引力摄动与同时考虑太阳引力摄动，达到轨道近星点高度为0．0km 时的偏心率均为0．110 3，耗时长度分别为2 067．9d和2 069．8d，这表明对于低轨探测器的运动，主要摄动因素还是金星的非球形引力。

图6 金星低轨探测器近星点高度的变化状态Fig．6 Variation of periapsis height for low Venusian orbit

月球无大气，其低轨探测器的轨道寿命主要受奇次带谐项J2l-1（l≥2）的摄动影响所制约。除轨道倾角约为0°外，偏心率的长周期变化将取决于的变化，它有多个极大值与极小值，即同一高度的低轨探测器，不同的轨道倾角，轨道寿命却有非常明显的差别。例如：初始近月点高度为100km 的近圆轨道，倾角为90°和40°，相应的轨道寿命只有172d和48d；而倾角为85°，即使运行50年，近月点高度也不会降低到与月球相撞，在50年期间，近月点高度最低值仍有60km。这一现象反映了月球非球形引力位不仅南北明显不对称，而且质量密度分布还很不均匀，如存在质量瘤现象。

对于火星低轨探测器，既不同于地球卫星，即函数μ（i）的值也很重要，但又不同于月球探测器，主要取决于sini值的大小。极轨探测器轨道偏心率的长周期变化幅度ΔeLC（t），明显大于小倾角轨道探测器的变化幅度，即前者近火星点高度下降明显。这表明火星非球形引力位尽管南北不对称，且较地球明显，但质量密度分布却不像月球那样，还是较均匀的。表5列出了一些数值检验结果（积分1年的弧段），仅在引力机制下，低轨探测器与火星相撞的初始近地点高度的临界值约为80～85km。表中的数据已基本显示出近火星点高度下降的状态以及与轨道倾角的单调关系，的确与月球低轨探测器相应的状态存在明显差别，更多的细节，请见文献［6］。

表5 轨道变化特征与倾角关系Table 5 Dependence of orbit variation on inclination

4 探测小天体的轨道形式

太阳系的小天体是研究太阳系演化的重要样本，因此也就成为深空探测中的一类重要目标天体，特别是大量的小行星。但这些小行星的质量相对而言都很小，而且形状极其不规则（它决定了其引力位的特征），对于近距离探测所采用轨道形式，将有别于对上述大天体的探测轨道的选择。原则上，对小天体的探测可采用两种形式：一种是形成绕飞形式的低轨探测器（包括登陆探测）进行探测，相应的小天体的质量不太小；另一种是形成伴飞状态的探测形式。

对于低轨地球卫星，其环绕速度约8km／s，逃逸速度约11．3km／s；对于小行星而言，由于其质量普遍较小，环绕其运行的临界速度也变得较小，相应的脱离速度与其差别不大。以小行星（特别是近地小行星）的探测为例，如“爱神”（Eros）小行星的质量为6．690 4×1015kg［14］，比地球小近9个量级，相应的环绕速度和逃逸速度则分别为5．3m／s和7．5m／s，如果受到较大的摄动，绕飞形式的探测器很容易飞离小行星。更重要的是，大多小行星的形状与地球大不相同，如果近似地处理成质量密度均匀分布的三轴椭球体，相应的动力学扁率和椭率都会很大，如“爱神”小行星，根据文献［14］给出的探测结果，相应的扁率和椭率分别为0．052 478 和0．087 076，“参考”半径为16．0km。对于这种类型的非球形天体，其低轨探测器运行在平均高度为10km 的近圆轨道时，承受的非球形引力摄动量级接近10-1，而且田谐项的摄动也较大，这就给摄动解的构造带来困难。如果探测质量更小的小天体，探测器都很难形成环绕型的轨道，那么只有采用伴飞状态的探测形式，使其构成与目标小天体轨道存在一定联系的运行轨道。

4．1 绕飞形式的探测

就处理方法而言，与地球卫星并无差别，包括数学模型和构造轨道解的基本原理；但由于中心天体质量较小及其引力位的特征（如“爱神”小行星），在具体构造轨道解的过程中将会遇到困难。在中心天体非球形引力和第三体引力摄动下的受摄运动方程为［4］

式中：由轨道根数组成的转置矩阵σ＝［aBeBiBΩBωBMB］T，下标B表示小天体，σ（0）是初始无摄动根数；f（σ，t，ε）由中心天体非球形引力和第三体引力摄动构成，其中ε是对应摄动加速度的小参数。

相应的轨道根数变化的小参数幂级数解取到k阶（对小参数ε而言）的形式如下。

关于摄动解的构造，对下述几种情况已有一些有益的探讨［15-17］。①目标天体的动力学扁率特别大，其他摄动因素影响较小，采用中间轨道法构造出三阶摄动解。②目标天体的动力学扁率和椭率都较大，采用改进的摄动法构造二阶摄动解，包括扁率和椭率的联合项，但探测器的环绕轨道偏心率必须较小。③在目标天体的动力学扁率和第三体引力摄动同等重要的情况，同样也采用改进的摄动法来探讨。关于这几种情况下的具体结果不再列出，探测器的轨道变化规律相对地球卫星而言，并无“异常”现象。下面给出一个算例，即“爱神”小行星的低轨探测器的运行轨道变化状态。初始轨道数据为：aEros＝46．0km，eEros＝0．000 1，iEros＝45．0°，ΩEros＝45．0°，ωEros＝45．0°，MEros＝0．0°。外推1年的轨道变化，用2个有代表性的根数（近星点高度和轨道倾角）的变化来显示其轨道的变化特征，见图7、8。

图7 小天体探测器近星点高度随时间的变化Fig．7 Variation of periapsis with time for small body probes

图8 小天体探测器轨道倾角随时间的变化Fig．8 Variation of orbit inclination with time for small body probes

从图7、8显示的结果可以看出，轨道形状和轨道面的变化均无异常，与地球卫星由引力摄动引起的轨道变化规律并无区别。对于“爱神”的高轨探测器（如轨道半长轴为100．0km，约为“爱神”小行星参考半径的6．25倍时），相应的轨道变化也无明显差别，因这样的高度，仍旧是中心天体的非球形引力摄动占主导地位，第三体引力摄动还是较小。

对于众多小天体，上述三轴椭球体引力模型的假定并不成立，相应非球形引力位的形式非常复杂，即使采用普遍适用的球谐函数展开形式，其各球谐项的大小绝不会像大行星（特别是地球）那样有“规律”，无论是采用旋转对称体，还是三轴椭球体，均与实际的力模型差距很远，这就给构造绕飞型探测器的轨道解带来麻烦，也就是绕飞形式探测中有待研究的力模型问题。

4．2 伴飞形式的探测

对于质量较小的小行星，如果难以俘获探测器或勉强俘获后，在其他大行星引力摄动下很快又飞离目标小行星，那么需要采用伴飞的形式进行探测。这里所说的伴飞，可能有两种形式：一是目标小行星的质量小到一定程度，相对太阳而言，就如同一般地球卫星相对地球那样，此时，探测器与小行星的伴飞状态就类似于2颗地球卫星的伴飞状态；二是目标小行星的质量不能忽略，在这种力学背景下，可能的伴飞形式就是限制性三体问题中探测器定位在相应的平动点L1或L2附近的周期或拟周期轨道上［18］，因小行星的质量相对太阳而言确实很小，平动点L1或L2离小行星很近，与L1 或L2 点伴飞（如halo轨道）和伴飞目标小行星，就几何状态而言没有明显区别。根据文献［14］给出的“爱神”小行星的引力常数4．463×10-4km3／s2及相关轨道根数可知，平动点L1或L2 距“爱神”只有约2 200km 远，而“爱神”是太阳系中最大的小行星之一，更多的小行星质量远比它小，相应的平动点L1 或L2 的距离还要小，也就是会相当靠近小行星。因此，从探测效果来看，上述两种伴飞形式均可达到探测目的，但它们的力学机制却完全不同。

5 结束语

本文阐述了大行星、月球和小天体环绕型探测器的轨道问题。上述内容，对于深空探测而言，作为目标轨道设计和地面测控系统，都是必须了解的基本轨道信息。至于各类环绕型探测器轨道变化的细节，将涉及轨道摄动变化的分析解（实为小参数幂级数解）。小参数幂级数解的构造方法，就基本原理而言，对不同中心天体的探测器是一致的，但具体方法不尽相同。即使是本文提及的几个探测目标天体，由于它们的非球形引力位和相应的力学环境均有各自的特点，不存在相同的摄动解构造方法（包括小参数的选择和构造的细节），最终给出的摄动解的特征也有明显差别。因此，不能简单地套用地球卫星的有关方法和结果。限于本文篇幅，有关内容可参见文献［3-4，8，16-17，19］。

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