脉冲积分－微分系统零解的稳定性

吕濯缨，郑艳琳，张来亮

(1.山东科技大学公共课部，山东济南250031;2.山东科技大学理学院，山东黄岛 266510)

脉冲积分－微分系统零解的稳定性

吕濯缨1，郑艳琳2，张来亮1

(1.山东科技大学公共课部，山东济南250031;2.山东科技大学理学院，山东黄岛 266510)

运用Lyapunov函数直接方法并借助Razumikhin技巧的思想，给出了判断脉冲积分－微分系统零解稳定性的直接判定准则.

脉冲积分－微分系统;稳定性;Lyapunov函数;Razumikhin技巧

0 引言

作为一种瞬时突变现象，脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中普遍存在，且往往对实际问题的变化规律产生本质的影响，更可能使事物的运动变化过程发生实质性的改变.因此，在建立数学模型对这些实际问题的变化发展过程进行研究时，必须充分考虑脉冲现象的作用，这类数学模型通常可归结为脉冲微分系统.而脉冲积分－微分系统作为非线性脉冲微分系统的一个重要分支，在自然科学中有着广泛的应用背景，如物理学中的电路模拟器与生物学中的神经网络系统等，它们的数学模型都可以归结为脉冲积分－微分系统进行分析和探讨，因而具有重要的应用价值，近年来已引起了很多专家的兴趣与关注，并出现一些研究成果［1－3］.在对该系统的研究中，解的稳定性理论还仅有比较结果和极为少量的直接结果;故而整体来看，对该系统稳定性的研究尚处于起步阶段，还有许多问题有待解决，还有大量的工作要做.本文研究脉冲积分－微分系统零解的稳定性，利用Lyapunov函数直接方法并借助研究泛函微分方程的Razumikhin技巧的思想［4－5］，得到了脉冲积分－微分系统零解的稳定性的直接判定准则.

1 预备知识

考虑如下脉冲积分－微分系统

另外我们总假定f，Jk满足一定条件以保证系统(1)的解整体存在唯一.记系统(1)满足x(t0，t0，x0)= x0的解为x(t)=x(t，t0，x0)，x(t)分段连续且只有第一类间断点t=tk(k∈N)，满足x()=x(tk)=Jk(x())，并记Gk={(t，x)∈R+×S(ρ):tk－1＜t＜tk}，G=Gk.

定义2称系统(1)的零解为

(i)稳定的:若对∀ε＞0，t0∈R+，∃δ=δ(t0，ε)＞0使当|x0|＜δ时有|x(t，t0，x0)|≤ε，t≥t0;

(ii)一致稳定的:若(i)中的δ与t0无关;

(iii)吸引的:若对∀ε＞0，t0∈R+，∃δ=δ(t0)＞0，T=T(t0，ε)＞0，使当|x0|＜δ时有|x(t，t0，x0)|≤ε，t≥t0+T;

(iv)一致吸引的:若(iii)中的δ，T均与t0无关;

(v)渐近稳定的:若(i)与(iii)同时成立;

(vi)一致渐近稳定的:若(ii)与(iv)同时成立.

为方便起见，我们引入下列记号:

2 主要结果

定理1设存在函数V∈V0，a，b∈K，满足

于是由定理2知系统(8)的零解是一致渐近稳定的.

［1］傅希林，阎宝强，刘衍胜.脉冲微分系统引论［M］.北京:科学出版社，2004.

［2］FU XILIN，ZHANG LIQIN.On boundedness of solutions of impulsive integre-differential systems with fixed moments of impulsive effects［J］.Acta Mathematica Scientia，1997，17(2):219－229.

［3］吕濯缨，董斌，李晓迪.脉冲积分－微分系统解的有界性［J］.成都大学学报，2008，27(2):109－111.

［4］SHEN JIANHUA，YAN JURANG.Razumikhin-type stability theorems for impulsive functional differential equations［J］.Nonlinear Analysis，1998，33:519－537.

［5］SHEN JIANHUA.Razumikhin techniques in impulsive functional differential equations［J］.Nonlinear Analysis，1999，36:119－130.

Stability for Zero Solution of Impulsive Integro-Differential Systems

LV Zhuo-ying1，ZHENG Yan-lin2，ZHANG Lai-liang1
(1.Public Course Department，Shandong Science and Technology University，Jinan 250031，China;
2.College of Science，Shandong Science and Technology University，Huangdao 266510，China)

Direct criteria of stability for zero solution of impulsive integro-differential systems are established by Lyapunov functions and Razumikhin techniques.

impulsive integro-differential system;stability;Lyapunov function;Razumikhin technique

O175.21

A

1007－0834(2012)02－0012－04

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.02.004

2012－01－06

山东科技大学科学研究“春蕾计划”资助项目(2010AZZ054);山东省教育厅科技计划资助项目(J08L159)

吕濯缨(1980—)，女，山东济南人，山东科技大学公共课部讲师.