四类典型域的Gromov辛宽度和Hofer-Zehnder辛容量

2012-12-13张巧,杨永

周口师范学院学报 2012年2期

张巧,杨永

(郑州航空工业管理学院数理系,河南郑州450015)

一个2n维辛流形指的是一个2n维的流形M与其上一个非退化的闭2-形式ω组成的对(M,ω)。在一篇值得庆贺的文献[1]中,著名数学家Gromov引入了第一个非平凡的辛不变量——Gromov辛宽度WG。一个2n维辛流形(M,ω)的Gromov辛宽度定义为

这里B2n(r)={(x,y)∈R2n|x|2+|y|2

(单调性)若有辛嵌入φ:(M1,ω1)→(M2,ω2),则有WG(M1,ω1)≤WG(M2,ω2);

(共形性)WG(M,cω)=|c|WG(M,ω)(这里c≠0)。

Gromov辛宽度WG是第一个非平凡的不变量。记Z2n(r)={(x1,y1)∈R2n

并由此得出了辛拓扑中著名的Gromov非挤压性定理。

Ekeland与Hofer受Gromov辛宽度WG性质的推动,文献[2]引入了辛容量的概念。一个辛容量是一个函子(funtor)c,它给每个辛流形(M,ω)指定了一个非负(可能无限)的数c(M,ω),并满足下面条件:

(单调性)若有余维数为零的辛嵌入φ:(M1,ω1)→(M2,ω2),则c(M1,ω1)≤c(M2,ω2);

(共形性)c(M,λω)=|λ|c(M,ω)(∀λ∈R{0});

(非平凡性)c(B2n(1),ω0)=π=c(Z2n(1),ω0)。

显然c的单调性意味着c是一个辛不变量。容易验证WG是第一个辛容量。

Hofer与Zehnder[3]引入了另一个重要的辛容量cHZ即Hofer-Zehnder辛容量。辛流形(M,ω)上一个光滑函数H被称为容许的(admissible),如果存在一个非空开子集U和一个紧致子集K⊂M∂M,使得:

(b)0≤H≤max H;

(c)M上哈密尔顿系统˙x=XH(x)没有非常值的周期小于1的周期解。这里XH定义为ω(XH,v)=d H(v)(v∈TM)。记Had(M,ω)为(M,ω)上的容许函数集。定义(M,ω)上的Hofer-Zehnder辛容量为cHZ(M,ω)≜sup {maxHH∈Had(M,ω)}。它与WG满足如下关系:

另外还有许多辛容量,它们是研究辛拓扑和哈密尔顿动力系统的重要的不变量,然而对辛容量进行计算和估计通常是很困难的。在文献[4]中,第一作者定义了拟辛容量的概念。特别的,他构造了Hofer-Zehnder型的典型的拟辛容量,并用这种拟辛容量计算出了许多辛流形的Gromov辛宽度和Hofer-Zehnder辛容量,详见文献[4]与[5]。对辛容量理论的历史与概况参见文献[4,6,7]及它们的参考文献。