三元多项式代数上的 Z2-分次自同构

孙 晓 松

(吉林大学 数学学院, 长春 130012)

设K是特征零的域,φ是多项式代数K[x1,…,xn]上的自同态, 记φ=(φ1,…,φn), 其中φi=φ(xi)(i=1,2,…,n). 形如(x1,…,xi-1,cxi+a,xi+1,…,xn)的自同构称为初等自同构, 其中: 0≠c∈K;a不含xi. 有限个初等自同构的复合称为tame自同构. “K[x1,…,xn]上的自同构是否都是tame的”称为tame生成子问题[1-2]. 2维tame生成子问题成立[1]. 稳定xi的自同构称为xi-自同构, 有限个xi-初等自同构的复合称为xi-tame自同构. 下面用K[x,y,z]表示3元多项式代数. Nagata[3]构造了自同构:σ=(x-2(xz+y2)y-(xz+y2)2z,y+(xz+y2)z,z), 发现σ不是z-tame的, 并猜想它不是tame的. Shestakov等[4-5]证实了Nagata的猜想, 证明了若一个z-自同构不是z-tame的, 则它不是tame的. 文献[6]证明了σ1,σ2均为非tame坐标. 文献[7]证明了存在线性自同构L使得Lσ可线性化. 文献[8]证明了K[x,y,z]上非tame的z-自同构不能提升为自由结合代数上的z-自同构.

定理2设φ是K[x,y,z]上的一个分次自同构, 若φ为tame自同构, 则φ必为分次tame自同构.

φ(x)=(ψ∘E-1)(x)=ψ(x-f0-f1)=x+g0+g1-f0(y+h0,z)-f1(y+h0,z).

由φ(x)∈R0知,g1=f1(y+h0,z). 令ψ′=(x+g0,y+h0,z),E′=(x-f0,y,z), 则有

ψ′∘E′=(x+g0,y+h0,z)∘(x-f0,y,z)=(x+g0-f0(y+h0,z),y+h0,z)=φ.

注意E′是分次初等自同构,ψ′是分次自同构, 且tdegψ′≤tdegψ

[2] Bass H. Automorphisms of Polynomial Rings [J]. Abelian Group Theory: Lecture Notes in Math 1006 [M]. Berlin: Springer, 1983: 762-771.

[3] Nagata M. On the Automorphism Group ofk[X,Y]: Lectures in Math 5 [M]. Tokyo: Kyoto University, 1972.

[4] Shestakov I P, Umirbaev U U. Poisson Brackets and Two-Generated Subalgebras of Rings of Polynomials [J]. J Amer Math Soc, 2004, 17(1): 181-196.

[5] Shestakov I P, Umirbaev U U. The Tame and the Wild Automorphisms of Polynomial Rings in Three Variables [J]. J Amer Math Soc, 2004, 17(1): 197-227.

[6] Umirbaev U U, YU Jie-tai. The Strong Nagata Conjecture [J]. Proc Natl Acad Sci USA, 2004, 101(13): 4352-4355.

[7] Maubach S, Poloni P M. The Nagata Automorphism Is Shifted Linearizable [J]. J Algebra, 2009, 321(3): 879-889.

[8] Belov-Kanel A, YU Jie-tai. On the Lifting of the Nagata Automorphism [J]. Sel Math New Ser, 2011, 17: 935-945.