具可变扩散系数的椭圆-双曲方程组的全局适定性

李 健, 高文杰, 李建军, 王增辉

(1. 吉林农业大学 信息技术学院, 长春 130118; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012; 3. 辽宁工程技术大学 理学院, 辽宁 阜新 123000)

0 引 言

考虑由Ward等[1]提出的一个偏微分方程组的自由边界问题, 该模型描述肿瘤球体对反肿瘤药物的反应. 本文考虑其可变扩散系数的问题：

(1)

其中:n,m,c,w和v为未知函数, 分别表示活细胞的密度(细胞个数/单位体积)、 死细胞的密度、 营养浓度、 药物浓度和肿瘤细胞的运动速度;Dc(r),Dw(r)表示依赖r的扩散系数, 并假设扩散系数具有正上、 下界; 函数kp,kd及f取Michaelis-Menten型, 即

这里A,B,cp,cd,σ,β和wc为正常数; 活细胞的增生率为kp, 自然死亡率为kd, 药物致死率为Kf; 常数K为药物导致细胞死亡的最大值;ω为药物有效性的一个度量.

假设球体由活细胞和死细胞组成, 反肿瘤药物及营养物的分子相对与肿瘤细胞非常小. 记VL和VD分别为单个活细胞和死细胞的体积, 则

VLn+VDm=1.

(2)

定义r0=(3VL/4π)1/3为单个活细胞的半径.

在自由边界r=R(t)上, 取边界条件为

(3)

其中:c0是外部营养浓度(假设固定);w0(t)是非负函数;R(t)是肿瘤的球半径.

施加下面的初始条件:

R(0)=R0,n(r,0)=n0(r),c(r,0),w(r,0),

(4)

并假设:

(5)

其中:w0为正常数;c(r,0),w(r,0)分别为初始的营养浓度和药物浓度. 本文假设：w0(t)∈C[0,+∞),n0(r)∈C1[0,R(0)].

用VL,VD分别乘式(1)的前两个方程, 再利用式(2), 得

该方程可以代替式(1)的第二个方程.

做非量纲变换:

开始时的半径R(0)可以认为远比r0大. 经过上面的变换, 方程组可以写成如下形式:

(6)

其中:

1 全局存在唯一性

引理1[4]设V(ρ,t)是定义在[0,1]×[0,T]上并满足V(0,t)=V(1,t)=0(0≤t≤T)的有界函数,f(ρ,t,n)是定义在(ρ,t,n)∈[0,1]×[0,T]×R上的连续函数, 并且关于变量(ρ,n)连续可微. 考虑如下问题:

(12)

‖n‖∞≤‖n0‖∞+T‖f‖∞.

而且如果n0∈C1[0,1], 则弱解实际上是古典解, 并且下面的估计成立:

由式(11), 得

(13)

因此v(0.t)=0, 并且v(ρ,t)关于变量ρ可微.

记M=max{b(c,w)n: 0≤n≤1, 0≤c≤1, 0≤w≤w0(t)}. 对给定的T, 引入度量空间(XT,d):XT包含满足如下假设条件的向量函数(R,n,c,w)=(R(t),n(ρ,t),c(ρ,t),w(ρ,y))(0≤ρ≤1, 0≤t≤T):

(H2)n(ρ,t)∈C([0,1]×[0,T]),n(ρ,0)=n0(ρ), 0≤n≤1;

(H3)c(ρ,t)∈C([0,1]×[0,T]),c(1,t)=1, 0≤c≤1;

(H4)w(ρ,t)∈C([0,1]×[0,T]),w(1,t)=w0(t), 0≤w≤w0(t).

其中

d((R1,n1,c1,w1),(R2,n2,c2,w2))=‖R1-R2‖∞+‖n1-n2‖∞+‖c1-c2‖∞+‖w1-w2‖∞.

易证(XT,d)是个完备的度量空间.

并分别考虑如下4个问题:

显然问题(17)有唯一的解

(18)

由b(c,w)n≤M, 得

(19)

又由0≤n≤1, 式(18),(19)及椭圆方程的Lp估计, 得

对任意给定的t1,t2∈[0,T], 有

利用Lp估计, 得

综上, 映射F是当T充分小时把XT映射到其本身的. 下面证明当T更小时,F是压缩映射.

令(Ri(ρ,t),ni(ρ,t),ci(ρ,t),wi(ρ,t))∈XT(i=1,2), 则

直接计算, 得

由式(18), 得

(20)

由线性方程的最大模估计知

同理可得

(22)

又由引理1及n0∈C1, 易得

由式(20)～(23), 可得

因此, 如果T充分小, 使得TC(T)<1, 则F是从XT到其本身的压缩映射.

由Banach不动点定理知, 如果T充分小, 则F在XT中有唯一的不动点(R,n,c,w). 又由F的定义知, 不动点(R,n,c,w)是问题(7)～(11)在0≤t≤T上的唯一解. 类似于文献[11]的方法, 可得如下局部存在定理：

定理1假设w0(t)>0是在[0,+∞)上的一个连续有界函数, 如果T充分小, 则问题(7)～(11)有唯一解(w(r,t),c(r,t),n(r,t),v(r,t),R(t))((ρ,t)∈[0,1]×[0,T]), 使得w(r,t),c(r,t)∈C2(0,R(t))∩C[0,R(t)](t∈[0,T]),R(t)∈C1[0,T],n(r,t)∈C1([0,R(t)]×[0,T]), 并且有

为证明问题(7)～(11)解的全局存在性, 首先应证明下面的引理.

引理2如果问题(7)～(11)的解(R,n,c,w)在0≤t

1) 0≤n(ρ,t)≤1, 0≤ρ≤1, 0≤t

3)c(ρ,t)∈C(0,1),w(ρ,t)∈C(0,1),t为参数;

4)R0e-Mt/3≤R(t)≤R0eMt/3,M=maxb(n,c,w);

5)n(ρ,t)∈C1(0,1).

证明: 由文献[10]中定理2.2可得断言1). 由椭圆方程的极值原理知断言2)成立. 由断言1)和2)可得b(n,c,w)≤M. 由式(10),(13), 易得断言3). 利用椭圆方程的Lp估计知

定理2满足定理1中条件的问题(7)～(11)的解全局存在.

证明: 令0≤t0, 使得问题(3)～(7)的解在区间[t0,t0+θ]存在. 因此问题(3)～(7)的解(R,n,c,w)可以延伸到时间区间[0,T+θ)上, 这与T的定义矛盾. 证毕.

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