基于浴盆曲线故障率函数的FFOP预计方法
2012-11-16马纪明万蔚曾声奎
马纪明， 万蔚， 曾声奎
1. 北京航空航天大学 中法工程师学院， 北京 100191 2. 北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院， 北京 100191
基于浴盆曲线故障率函数的FFOP预计方法
马纪明1，*， 万蔚2， 曾声奎2
1. 北京航空航天大学 中法工程师学院， 北京 100191 2. 北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院， 北京 100191
与传统可靠性指标中假设产品的随机失效不可避免不同，无故障工作期(FFOP)内产品不会发生任何故障(即零故障)。首先阐述了FFOP的概念内涵、与平均故障间隔时间(MTBF)的区别和联系，提出了一种FFOP的预计方法。该方法假设产品的故障率函数具有浴盆曲线特征、故障发生过程为泊松过程、产品具有固定的免维修工作期。然后以一种改进的Weibull分布函数描述具有浴盆曲线函数特征产品的故障率。基于泊松过程理论，给出了FFOP的预计算法、流程和仿真验证手段。最后以某型无人机舵机为案例对研究方法的可用性进行了验证。结果表明：FFOP与免维修工作期(MFOP)、置信度水平密切相关，及时维修的产品能够保证较长的FFOP。在工程应用时，FFOP的确定应综合考虑运行维护费用进行权衡。
无故障工作期； 免维修工作期； 泊松过程； 浴盆曲线； 可靠性； 舵机
无故障工作期(Failure Free Operating Period, FFOP)定义为产品不会发生任何故障(即零故障)的时间。对于符合设计要求、质量合格的产品，往往都要求其具有一定的无故障工作期，尤其是具有高可靠性/安全性需求的系统，如武器装备、核能系统、载人航空航天器、高速列车等。作为耐久性度量指标，FFOP的长短与维修费用、保障费用紧密相关。准确预计FFOP，结合合理的维修策略，能够实现对产品的充分使用，降低运行成本。
FFOP概念最早在美国空军颁布的军用规范MIL-A-87244《航空电子设备完整性大纲要求》中提出[1]，其中FFOP作为耐久性参数，对传统的可靠性参数进行了补充，并指导设计和生产。后来美国又颁布了一系列规范和指南，都对装备的FFOP指标有了明确的要求[2-3]。
在1996年英国国防部(Ministry of Defence, MOD)提出免维修工作期(Maintenance Free Operating Period, MFOP)的概念以后[4]，FFOP就通常与MFOP结合度量产品的耐久性。MFOP概念比FFOP严格，在MFOP内，产品不允许出现任何影响性能和任务的失效事件；而FFOP内不允许故障但允许维修活动，FFOP是一系列免维修工作期的集合[5-6]。文献[6]分析了英国国防部为新一代战机提出的MFOP概念，与平均故障间隔时间(Mean Time Between Failures, MTBF)进行了对比，并分别研究了基于任务可靠度和更新理论的MFOP预计方法，英国国防部计划将MFOP概念应用于英国的超高可靠飞行器(Ultra Reliable Aircraft，URA)和未来攻击飞行器(Future Offensive Aircraft，FOA)项目。
当前国内外的研究大多集中在对无故障工作期/免维修工作期(F/M-FOP)概念的阐述以及适用场合分析等方面[7-11]，证明了基于F/M-FOP维修策略的有效性。文献[12]～文献[14]假设产品故障为有限时间区间内的离散事件，基于统计方法估计了产品存在某固定长度MFOP的概率。文献[15]以典型机电产品为案例，研究故障事件为齐次泊松过程情况下FFOP的评估方法，并对结果进行了合理性分析。文献[16]和文献[17]基于Petri网络，使用仿真方法分析了固定MFOP系统的可靠度。以上研究集中在MFOP预计方法方面，没有考虑维修策略对FFOP的影响。然而，为促进基于FFOP维修策略的应用，需要进一步研究FFOP的预计方法与模型。
在很多情况下，产品(系统)的F/M-FOP大多由运行过程中随机故障事件之间的相对位置(时间、空间距离)决定，相对位置的远近直接影响产品的FFOP。以图1所示的时间(空间)区间[0,L]为例，假设系统是一个客户服务系统，为一个客户服务的免维修周期为s。如果两个或者更多的客户集中在s内出现，如图1(a)所示，则系统会出现过载(故障)，此系统的FFOP为s的概率就是P{n[t,t+s]≤1}，n[t,t+s]为[t,t+s]区间内的客户数量。类似的方法也可以用于分析交通处理系统，如图1(b)所示，如果一个交通意外的恢复周期为s，在这段周期内出现的其他意外则会导致拥堵(故障)；如果把事件区间换作一段钢结构(见图1(c))或者电缆(见图1(d))，也存在一个极限区间s，在这个区间内应力集中点或缺陷次数要低于某一确定数量，否则会出现故障。以上案例中，客户出现与事故发生时刻、应力集中点及缺陷次数是互相独立且具有随机性的事件，但是它们之间的相对位置与产品(系统)的无故障工作期密切相关。
图1 随机事件聚集导致系统故障Fig.1 System failures due to clustering of random events
泊松过程是描述随机事件发生的基本数学模型之一，实际生活或自然世界中的随机事件，大多可以用泊松过程描述[18]。对于寿命服从指数分布的产品，故障率是一个常数，寿命周期内随机故障事件可以用齐次泊松过程描述。然而，实践证明，大多数产品的故障率随时间变化的曲线是浴盆曲线[19]，故障率是时变函数，故障事件需要用非齐次泊松过程描述。
本文首先阐述FFOP与MFOP之间的区别与联系，然后提出一种FFOP预计方法，预计故障率函数为浴盆曲线的产品的无故障工作期。该方法作了如下假设：① 故障事件服从泊松过程；② 故障率函数为浴盆曲线；③ FFOP内允许固定周期的计划维修，产品修复如新；④ 一个MFOP内不允许有任何影响产品正常运行的故障事件，一个维修恢复期(Maintenance Recovery Period，MRP)只能处理一次随机故障。
在以上假设的基础上，给出了FFOP的预计方法、模型和预计步骤，并通过某型无人机舵机对所提方法进行了应用验证。
1 FFOP概念与内涵
在MIL-A-87244中，FFOP被定义为故障概率达到2%的时间。图2描述了概率密度函数(Probability Density Function, PDF)、MTBF、FFOP这3者之间的区别与联系。
图2 寿命分布与FFOPFig.2 Life distribution and FFOP
根据FFOP和MTBF的定义，有
(1)
(2)
式中：f(t)为故障密度函数；R(t)为可靠度函数。
对于大多数产品来说，由于不可避免的随机失效，图2所示时间t0通常为0，这样就导致产品的FFOP很短。然而对于具有高可靠性/安全性需求的系统，又需要具有一定长度的FFOP。这个要求既可以通过设计手段降低产品的故障率实现，对于可修复产品，又可以通过固定周期的维护，使产品始终工作在比较“新”的状态，进而降低随机故障事件发生的概率来实现。
对于可修复的产品，FFOP与MFOP密切相关[10]。如果维护频繁，并且能够保证修复如新的话，FFOP会比维护不力的设备要长。
建立FFOP预计模型是预计FFOP的关键步骤。若要使产品在整个工作周期[0,L]内无故障运行，则要求在每次故障发生前进行维护并恢复到完好状态。由于一个维修恢复期只能处理一次随机故障，所以要求维修次数要和随机故障的次数一致，并且在故障事件实际发生之前就已经得到维修并完全修复，即第i次和第i+1次维修之间的间隔时间si,i+1小于第i次和第i+1次实际故障间隔时间Si,i+1。若在整个寿命周期[0,L]内出现k次故障，设定免维修工作期MFOPi,i+1=si,i+1，那么存在长度为L的FFOP的概率PFFOP(故障发生前都能被完全修复以避免故障实际发生的概率)为[15]
PFFOP=P(s0，1≤S0，1∩s1，2≤S1，2∩…∩·
sk-1,k≤Sk-1,k)
(3)
式中：k为故障次数。
2 FFOP的预计模型
研究对象为故障率函数类似浴盆曲线的产品，并且故障事件具有泊松过程特性。由于寿命分布不是指数分布，故障率随时间变化，寿命周期内随机故障事件必须用非齐次泊松过程描述。
2.1 泊松过程
泊松过程具有以下特性：
1) 令N(t)为(0,t]中随机事件出现的次数，则有
(4)
式中：λ为故障率/故障强度函数。
2) 随机事件之间的间隔时间T互相独立并且服从指数分布特征，即
P(T>t)=e-λ t
(5)
假设随机事件是故障事件，在t时刻，随机故障事件导致的系统不可靠度为
F(t)=P(T (6) 2.2 浴盆曲线的故障率函数 已有的研究成果表明，基于浴盆曲线的故障密度函数有如下形式[20]： f(t)=γβ(t/α)β-1exp((t/α)β+ (7) 对应的可靠度函数为 R(t)=exp(γα(1-exp((t/α)β))) (8) 故障率函数为 λ(t)=γβ(t/α)β-1exp((t/α)β) (9) 式中：α、β、γ均为分布函数中的参数。绘制故障率函数曲线，如图3所示。 图3 故障率函数曲线Fig.3 Plot of failure rate function 从图3可以看出，产品的故障率明显呈浴盆曲线特性，可以描述分布特征为浴盆曲线的产品故障率。 2.3 FFOP的预计步骤 研究具有浴盆曲线故障率函数的产品，与指数分布不同，其故障率为非常值，且导致故障发生为非齐次泊松过程，对比文献[15]中PFFOP的计算公式，可以得到 (10) 式中：r为允许的维护次数。在进行FFOP预计之前，需要根据式(7)～式(9)确定产品的λ(t)。 FFOP的预计步骤如图4所示。 图4 FFOP预计步骤Fig.4 Prediction steps of FFOP 按照图4所示的流程，对维护次数递增，得到满足式(11)的最大维护次数r。 (11) FFOP的估计区间为 FFOP⊂[rs,(r+1)s] (12) 对于大多数工程应用，式(12)所描述的FFOP区间已经足够。更精确的预计结果可以通过在区间内多点取值，由式(11)反复校验的方式获取。 案例研究以某无人机舵机为对象。舵机是无人机飞行操纵系统的关键设备，其发生故障会导致飞行任务中断，是影响无人机FFOP的关键设备。基于寿命试验数据，对其进行FFOP评定，可以帮助实现无人机的寿命评估，为制定维修策略提供依据。表1为15台样本的寿命试验结果，表中：ti为故障前时间(Time to Failure, TTF)；F(ti)为累计分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)。 表1 舵机失效寿命数据(N=15)Table 1 Failure life data of actuators (N=15) 根据同类产品的历史数据，得知其故障率服从浴盆曲线特征。用式(7)描述该无人机舵机的故障分布函数。 采用极大似然法估计分布参数[20]，构造的似然函数为 (13) 式中，：n为舵机个数(全寿命试验)，0 由于故障产品的样本较少，采用近似中位秩公式计算其CDF[21]。通过求解式(14)～式(16)，得到分布函数中的参数α、β、γ。 (14) (15) (16) 把表1的数据代入式(14)～式(16)，利用数值分析工具，解得α=110,β=0.62,γ=1.34,代入式(8)和式(9)，可得： (17) (18) 根据式(2)对MTBF的定义，利用数值解法得到该无人机舵机的MTBF为406 h。 考虑无人机舵机的工作要求，设定MFOP为25 h，根据图4所示FFOP的计算流程，将式(17)代入到式(11)，得到不同维护次数对应的PFFOP和FFOP，具体参数见表2。 表2不同置信度对应的FFOPs(MFOP=25h) Table2FFOPsunderdifferentconfidencelevels(MFOP=25h) rPFFOPFFOP/h109646258209640283309437308409233333509016358608779 对于不同的MFOP，同样要求置信度为90%，可以得到该舵机允许的最大维护次数和FFOP如表3所示。 表3 FFOP、MFOP和最大维护次数Table 3 FFOP, MFOP and maximum maintenance times 由表3可知，若每隔30 h维修一次，则在3次维修内仍能保证无故障工作的概率为90%；若每隔40 h维修一次，则只能在两次维修内保证无故障工作的概率为90%；若维修间隔增大到50 h，则舵机在维修之前无故障工作的概率就已经降低到90%以下。这是因为舵机的故障率随着时间增大而增大，导致其可维护次数急剧减少，无故障工作周期随之减小。并且，当MFOP增大到一定期限后，舵机就不再有无故障工作周期。 只有维修间隔缩短到10 h，舵机的FFOP才能够达到MTBF的水平(406 h)。但随着MFOP的增大，维护(容许故障)次数逐渐减少，同时FFOP与MTBF的差异也逐渐明显。 基于浴盆曲线故障率函数的FFOP预计方法，能够预计失效过程为泊松过程，并且故障率函数服从浴盆曲线特征情况下的产品无故障工作期。将FFOP作为设备耐久性参数之一，可以为产品的寿命评估和维护策略制定提供依据。 2) 缩短MFOP是延长FFOP的重要途径。然而维护频率的提高通常导致产品的运行维护费用增加，在工程应用中，应综合考虑维护费用进行权衡，合理确定MFOP和FFOP。 通过某无人机舵机的应用，验证了所提方法的可行性，可推广应用到对可靠性要求较高的产品的FFOP预计过程中。但是提出的FFOP预计方法仍然是基于概率和统计理论的，要求研究对象具有某种固定寿命分布，故障事件服从泊松过程的特征。对于故障率函数未知、故障事件统计特征不确定的场合，本文提出的方法并不可行。需要在深入研究产品的失效机理，掌握其失效的动态演化过程前提下进行FFOP的预计。 [1] MIL-A-87244A Avionic/electronic integrity program requirements(AVIP). USAF, 1986: 10-18. [2] MIL-HDBK-87244 Avionic/electronic integrity. USAF, 1995: 6-55. [3] DOD. Guide for achieving reliability, availability, and maintainability. Washington: USA DOD, 2005: 31-35. [4] Hockley C J. Appleton D P. Setting the requirements for the Royal Air Force’s next generation aircraft. Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium, 1997: 44-48. [5] Brown M A, Hockley C J. Cost of specifying maintenance/failure free operating periods for Royal Air Force aircraft. Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium, 2001: 425-432. [6] Kumar U D, Knezevic J, Crocker J. Maintenance free operating period: an alternative measure to MTBF and failure rate for specifying reliability. Reliability Engineering and System Safety, 1999, 64(1): 127-131. [7] Todinov M T. Reliability and risk models: setting reliability requirements. England: John Wiley & Sons, 2005: 69-237. [8] Cini P F, Griffith P. Designing for MFOP: towards the autonomous aircraft. Journal of Quality in Maintenance Engineering, 1999, 5(4): 295-306. [9] Dietl C, Rakowsky U K. An operating strategy for high-availability multi-station transfer lines. International Journal of Automation and Computing, 2006, 3(2): 125-130. [10] Sun J, Yu J F. Research on concept and application of airplane MFOP. Aviation Maintenance and Engineering, 2010(2): 33-36. (in Chinese) 孙蛟, 虞健飞. 飞机MFOP概念与应用研究. 航空维修与工程, 2010(2): 33-36. [11] Jiang L, Wei A J. A method for maintenance scheduling in manufacturing systems based on TPM and MFOP. Applied Mechanics and Materials, 2011, 44(47): 404-408. [12] Warrington L, Jeffery A, Davis J N. The use of a discrete event simulation to model the achievement of maintenance free operating time for aerospace systems. Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium, 2001: 170-175. [13] Warrington L, Jeffery A, Davis J N. Modeling of maintenance, within discrete event simulation. Proceedings of Annual Reliability and Maintainability Symposium, 2002: 260-265. [14] Todinov M T. Reliability governed by the relative locations of random variables following a homogeneous Poisson process in a finite domain. IEEE Transactions on Reliability, 2004, 53(2): 226-237. [15] Ma J M,Wu W W. Research on FFOP prediction approach of a pulsegenerator based on homogeneous Poisson process. Proceedings of International Conference on Reliability, Maintainability and Safety, 2011: 334-338. [16] Chew S P, Dunnett S J, Andrews J D. Phased mission modeling of system with maintenance-free operating periods using simulated Petri nets. Reliability Engineering and System Safety, 2008, 93(7): 980-994. [17] Chew S P. System reliability modeling for phased with maintenance free operating periods. Lough borough: Lough-borough University, 2010. [18] Athanasios P, Unnikrishna P S. Probability, random variables and stochastic processes. Bao Z, Feng D Z, Shui L P, translated. Xi’an: Xi’an Jiaotong University Press, 2004: 364-372. (in Chinese) Athanasios P, Unnikrishna P S. 概率、随机变量与随机过程. 保铮, 冯大政, 水鹏朗, 译. 西安: 西安交通大学出版社, 2004: 364-372. [19] Zeng S K. Reliability design and analysis. Beijing: National Defense Industrial Press, 2011: 14-30. (in Chinese) 曾声奎. 可靠性设计与分析. 北京: 国防工业出版社, 2011: 14-30. [20] Xie M, Tang Y, Goh T N. A modified Weibull extension with bathtub shaped failure rate function. Reliability Engineering and System Safety, 2002, 76(3): 279-285. [21] He G F, Xu H B. Collection and analysis of reliability data. Beijing: National Defense Industrial Press, 1995: 25-44. (in Chinese) 贺国芳, 许海宝. 可靠性数据的收集与分析. 北京:国防工业出版社, 1995: 25-44. FFOPPredictionMethodBasedonBathtub-shapedFailureRateFunction MAJiming1, *,WANWei2,ZENGShengkui2 1.Sino-FrenchEngineerSchool,BeihangUniversity,Beijing100191,China2.SchoolofReliabilityandSystemsEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China Failurefreeoperatingperiod(FFOP)isdefinedasaperiodduringwhichnofailuresresultinginalossofsystemfunctionalityoccur.First,theconceptofFFOPandthedifferencebetweenFFOPandmeantimebetweenfailures(MTBF)areintroduced.Threehypothesesareheldasthepreconditionsofthepresentedmethodology.First,thefaulteventisaPossionprocess.Second,thefailureratefunctionisshapedlikeabathtubcurve.Third,constantintervalscheduledmaintenanceispermittedduringwhichtheproductmustmaintaintrouble-freefunction.AmodifiedWeibulldistributionfunctionisusedtomodelthebathtub-shapedfailureratefunction.Furthermore,basedontheprobabilityandstochasticprocessestheory,FFOPpredictionalgorithmandprocedurearedeveloped,whoseaccuracyisverifiedthroughsimulation.Finally,anactuatorisselectedasthesamplecasetovalidatethefeasibilityoftheproposedmethod.TheresultshowstheFFOPiscorrelatedwithmaintenancefreeoperatingperiod(MFOP)andthepredefinedconfidencecoefficient.ShorterMFOPwilldeliverbothhighermaintenanceandoperatingcostsandlongerFFOP.Inengineeringpractice,atradeoffbetweenFFOPandmaintenanceandoperationcostshouldbeconsidered. failurefreeoperatingperiod;maintenancefreeoperatingperiod;Possionprocess;bathtubcurve;reliability;actuators 2011-11-30；Revised2012-02-21；Accepted2012-03-08；Publishedonline2012-03-201100 URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120320.1100.005.html NationalDefencePre-researchFoundation(9140A19021010HK0101) .Tel.：010-82339761E-mailjiming.ma@buaa.edu.cn 2011-11-30;退修日期2012-02-21;录用日期2012-03-08; < class="emphasis_bold">网络出版时间 时间：2012-03-201100 www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120320.1100.005.html 国防预研基金(9140A19021010HK0101) .Tel.：010-82339761E-mailjiming.ma@buaa.edu.cn MaJM,WanW,ZengSK.FFOPpredictionmethodbasedonbathtub-shapedfailureratefunction.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2012,33(9):1664-1670. 马纪明， 万蔚， 曾声奎．基于浴盆曲线故障率函数的FFOP预计方法. 航空学报,2012,33(9):1664-1670. http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn 1000-6893(2012)09-1664-07 V37； TB114.3 A 马纪明男，博士，讲师。主要研究方向：机电系统的可靠性设计分析，控制系统诊断，工业科学与技术。 Tel: 010-82339761 E-mail: jiming.ma@buaa.edu.cn 万蔚男，硕士研究生。主要研究方向：机电系统的可靠性设计与故障诊断。 Tel:010-82338403 E-mail: wanwei817@163.com 曾声奎男，博士，教授，博士生导师。主要研究方向：系统科学与工程，复杂系统的可靠性设计分析。 Tel: 010-82314731 E-mail: zengshengkui@buaa.edu.cn
γα(1-exp((t/α)β)))
3 案 例
4 结 论
