关于右型B半群的真覆盖

李春华,汪立民

(1.华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631; 2.华东交通大学基础科学学院,江西南昌 330013)

关于右型B半群的真覆盖

李春华1,2,汪立民1*

(1.华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631; 2.华东交通大学基础科学学院,江西南昌 330013)

给出了右型B半群真覆盖的定义. 证明了相应于一右型B半群的任意真覆盖为作用于左消去幺半群上的相应于该右型B半群的真覆盖,并给出了相应于右型B半群的真覆盖的结构定理.

右型B半群; 真覆盖; 左消去幺半群

1 引言与预备知识

自FOUNTAIN[1]给出了右ample半群与右型B半群的定义，国内外许多半群学者对各类右ample半群(左ample半群等)进行了研究[2-3],但对右型B半群(型B半群等)的研究还不多见[4]. 作为后续研究，本文将研究右型B半群的真覆盖.

据文献[5]，半群S上的等价关系*定义为:S的元素a,b具有关系*当且仅当对任意x,yS1,ax=ay⟺bx=by.

(1)a*e;

对应地,可定义lpp半群及左型B半群. 关于rpp(或lpp) 半群类的研究可参见文献[6]、[7].

证明由σ及右型B半群的定义容易推得.

定义1 令T为右型B半群, 在T上给出如下定义：

(D1)若σ∩*=1T, 则称T为真右型B半群；

(D2) 若T为真右型B半群，φ为T到另一右型B半群S上的*-同态，且对任意eE(S),有e=φ(f), 其中fE(T)(即φ满足幂等元提升)，则称T为相应于S的真覆盖；

(D3) 若T为相应于S的真覆盖，M为左消去幺半群且T/σ≅M, 则称T为相应于S作用在M上的真覆盖.

引理3 令S为右型B半群, 若S为真的，则S为E-酉的.

2 主要结果

定义2 令S为右型B半群,M为含幺元1的左消去幺半群，θ为M到P(S)的映射，其中P(S)为S的子集族. 则称θ为全满的，若下列各款成立：

(A4)θ(1)=E(S);

(s1,m1)(s2,m2)=(s1s2,m1m2)

显然，T关于上述乘法为半群. 若θ为全满的，则下列各款成立：

(3)T为右型B半群;

[(e,1)(f,1)(a,h)]*=(efa,h)*=((efa)*,1)=

((ea)*(fa)*,1)=((ea)*,1)((fa)*,1)=

(ea,h)*(fa,h)*=[(e,1)(a,h)]*[(f,1)(a,h)]*.

下证T为相应于S的真覆盖.为此，按如下建立映射φ:T→S, (a,g)a. 则φ为好定义且为满同态.另一方面，令φ[(a,g)]=φ[(b,h)]. 则a=b. 故a*(S)b,即φ为*-同态. 又令eE(S), 则存在 (b,h)S使得e=φ[(b,h)]. 即e=bθ(h).又由条件(A4), 得h=1.故(b,h)=(e,1)E(T). 因此，T为相应于S的真覆盖.

现证T为相应于S作用在M上的真覆盖. 为此，建立映射α:Tσ→M, (a,g)σg. 则α为双射. 事实上，令(a,g)σ,(b,h)σTσ,且 (a,g)σ=(b,h)σ, 即(a,g)σ(b,h). 则由定理1的(4), 得aσSb,g=h. 故α为好定义. 又令α[(a,g)σ]=α[(b,h)σ], 其中(a,g)σ,(b,h)σTσ.则g=h. 进而，a,bθ(g). 由条件(A6),aσSb. 又由定理1的(4), 得(a,g)σ(b,h).即(a,g)σ=(b,h)σ,故α为单的. 而α为满的是显然的. 因此，α为双射.另一方面，对任意 (a,g)σ,(b,h)σTσ, 有

α[(a,g)σ(b,h)σ]=α[(ab,gh)σ]=gh=

α[(a,g)σ]α[(b,h)σ].

故α为同构. 即T为相应于S作用在M上的真覆盖. 至此，定理前半部分已证毕.

反之，令φ为某一真右型B半群T到S的满的*-同态且φ满足幂等元提升. 取M=Tσ(T). 则T为相应于S作用在M上的真覆盖. 按如下定义映射θ:

M→P(S),gθ(g),

下证T≅T′. 建立映射ψ:T→T′,t(tφ,tσ), 易证ψ为T到T′的满同态. 令(tφ,tσ)=(uφ,uσ), 其中t,uT. 则tφ=uφ,tσ=uσ. 又由φ为*-同态， 得t*(T)u. 于是，t(*(T)∩σ(T))u. 由T为真右型B半群，得t=u. 故T≅T′, 进而T′为真右型B半群. 为了证θ满足条件(A5)，令s,s′θ(g)且s*s′.则(s,g),(s′,g)T′. 由定理1, (s,g)*(T′)(s′,g). 又ψ为同构，故∃t,t′T,使得ψ(t)=(tφ,tσ)=(s,g)及ψ(t′)=(t′φ,t′σ)=(s′,g). 于是tσ(T)t′.又由σ定义，得et=et′, 其中eE(T). 进而，

[ψ(e)[(s,g)]=ψ(e)ψ(t)=ψ(et)=

ψ(et′)=ψ(e)ψ(t′)=[ψ(e)][(s′,g)].

于是，(s′,g)σ(T′)(s,g). 因此，(s′,g)(*(T′)∩σ(T′))(s,g). 又T′为真右型B半群， 故(s′,g)=(s,g). 即s=s′, 于是θ满足条件(A5).

[1] FOUNTAIN J B. Adequate semigroups[J]. Proc Edinburgh Math Soc, 1979, 22(1): 113-125.

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[5] FOUNTAIN J B. Abundant semigroups[J]. Proc London Math Soc, 1982, 44(1): 103-129.

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[8] PETRICH M. Inverse semigroups[M]. New York: Jhon Wiley and Sons Inc, 1984.

[9] 赵娟,汪立民.一类幂等元集闭包是Clifford半群的逆半群上的同余[J].华南师范大学学报:自然科学版, 2009,33(1): 10-12.

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Keywords： right type B semigroup; proper cover; left cancellative monoid

AProperCoveronaRightTypeBSemigroup

LI Chunhua1,2, WANG Limin1*

(1. School of Mathematics, South China Normal University， Guanzhou 510631, China;2. School of Basic Sciences, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

The concept of a proper cover of a right type B semigroup is introduced. Furthermore, it is proved that any proper cover for a right type B semigroup is a proper cover over a left cancellative monoid. A structure theorem of proper covers for a right type B semigroup is also given.

2010-11-15

国家自然科学基金项目(11061014);江西省自然科学基金项目(07GZS0715);江西省教育厅科研基金项目(10GJJ453)

*通讯作者，wanglm@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0054-04

O152.7

A

【责任编辑 庄晓琼】