克莱姆法则在矿料级配设计中的运用

2012-11-05肖小泉

山西建筑 2012年2期

肖小泉

克莱姆法则(Cramer’s Rule)是瑞士数学家克莱姆(1704～1752)于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。克莱姆法则就是利用行列式求解线性方程组，但解方程组必须满足两个条件，一个是方程个数要等于未知量个数，一个是系数行列式不等于零。

这两个条件在矿料级配设计中都可以满足。假设现在掺配的矿料有四档，即矿料组成比例为待解的四个未知数(未知量个数为4)，这个时候再选取四个关键性筛孔与之组成方程组(方程个数为4)。

这种方法的运用旨在使计算机试配法有针对性地进行，使整个试配过程变得简单明了，亦突出体现了关键性筛孔对级配控制的重要性。

现在以SMA-13沥青混合料目标配合比设计过程中对各矿料组成比例的确定为例，详述其应用。

在目标配合比设计中，首先要对选定的掺配原材料进行筛分，从而对其进行级配合成。合成级配指的是某一筛孔的合成通过率等于各规格料中该筛孔通过率乘以对应的各规格料的用量比例的积之和。规范中对各种类型混合料的级配范围进行了规定，因此，我们刚好参照规范中对SMA-13混合料的级配范围要求，初定几个关键性筛孔的合成通过率，通过对“克莱姆法则”的运用，解算矩阵方程，反求得各掺配集料和填料的组成百分比例。表1为SMA-13混合料目标配合比设计中对掺配原材料的筛分试验结果和级配范围要求。

表1中，我们参照级配范围要求，靠近级配范围中值，结合技术规范中对关键性筛孔的通过率要求，假定几个关键性筛孔在合成级配中的通过率(可以同时假定几组，位于设计级配中的上方、中部和下方，然后进行一系列的比较)。

例如在表1中，我们假定了13.2 mm(公称最大粒径)，4.75 mm(控制粗集料)，2.36 mm(控制细集料)，0.075 mm(控制粉尘含量)四个关键性筛孔在合成级配中的通过率分别为98%(规范要求级配范围90%～100%)，28%(规范要求级配范围20%～34%)，21%(规范要求级配范围15%～26%)，11%(规范要求级配范围8%～12%)。在Excel中形成的四个关键性筛孔在合成级配中的通过率如表2所示。

表1 掺配原材料的筛分试验结果和级配范围要求

表2 四个关键性筛孔在合成级配中的通过率

我们选定四个关键性筛孔的原因是为了满足“克莱姆法则”中的条件一。现在已知关键性筛孔在合成级配中的通过率，结合各掺配料中关键性筛孔的筛分通过率，即可通过解算矩阵方程组，反求得X1，X2，X3，X4的值，即是各档料的矿料组成百分率。解算过程如下:

1)提取筛分结果中掺配各档料的关键性筛孔通过率见表3。

表3 筛分结果中掺配各档料的关键性筛孔通过率

在Excel表格中引用函数［MDETERM()］(返回一数组所代表的矩阵行列式的值)，求解表3中的行列式的值为P。

2)将表2中的通过率数据一列分别单独置换表3中0～5，5～10，10～15矿粉中对应的通过率一列。例如，表4即为将表2中的通过率数据一列单独置换表3中0～5对应的通过率一列后形成的一组数。

表4 表2中通过率置换表3中0～5对应通过率后形成的数据

其他三档料按上面方法一一形成另外三组数。

同样在Excel表格中引用函数［MDETERM()］，分别求解置换通过率之后的四组行列式的值，分别为 Q1，Q2，Q3，Q4，有:

X1=Q1/P，X2=Q2/P，X3=Q3/P，X4=Q4/P。

例子中，通过计算得到 X1，X2，X3，X4的值在修约后分别为18% ，24% ，50% ，10% 。

解算得到的X1，X2，X3，X4并不是最终的各档料的矿料组成百分率，它们之和也不一定等于1(例中百分率之和为102%)，而且有时候解得的值会是负数，这就需要根据情况做适当的调整。

针对解得的值是负数，必须调整假定的几个关键性筛孔在合成级配中的通过率;针对它们之和不等于1，可以调整假定的几个关键性筛孔在合成级配中的通过率，亦可以直接调整X1，X2，X3，X4的值，使得X1，X2，X3，X4之和接近或等于1。我们把调整后的X1，X2，X3，X4作为各档料的矿料组成百分率初步确定下来，通过级配合成即可得到完整的合成级配，形成级配曲线并观察其是否达到对SMA-13的设计意图，对其进一步优化。对例中所求的0～5，5～10，10～15，矿粉的矿料比例进行调整后为 17%，24%，49%，10%。

所得到的合成级配及其曲线分别见表5和图1。