盾构隧道壁后注浆浆液时变半球面扩散模型

叶 飞，苟长飞，刘燕鹏，孙海东

（长安大学 桥梁与隧道陕西省重点实验室，陕西 西安 710064）

在盾构隧道施工中，为了在控制地层变形和地表下沉的同时防止管片渗漏水，并获得管片环的早期稳定和防止隧道的蛇行等，必须进行壁后注浆.目前，在盾构壁后注浆领域，由于实际过程中的复杂性，所以导致理论远远滞后于应用.关于盾构壁后注浆的研究中，对于浆液本身特性及注浆施工方法、浆液分布及施工效果检验、浆液和管片对周围土体产生的荷载等方面的研究较多，对于浆液扩散机理的研究则较少.以下学者对浆液扩散机理做了研究：李志明等［1］分别采用牛顿流体及宾汉姆流体推导出土压平衡盾构在粘土地层中同步注浆环向填充及纵向填充的力学模型及计算方法；袁小会等［2-3］用宾汉姆流体描述硬性浆液的流变特性，推导了壁后注浆过程中注浆压力衰减与注浆距离和注浆时间的关系以及注浆时间与扩散距离的关系；白云等［4］基于牛顿流体模型，以单位时间内形成的盾尾间隙为浆液填充的横断面，推导了四孔充填注浆时盾尾间隙横断面内浆液压力的分布模型；叶飞等［5-6］通过引入等效孔隙率替代土体本身的孔隙率来考虑建筑间隙的影响，分别基于球面和柱面扩散理论推导了浆液渗透扩散半径及对管片产生的压力计算式.

从以上综述可见，目前对于浆液扩散机理的研究都基于牛顿流体或宾汉姆流体，并未考虑浆液粘度随时间变化的特性.本文基于球面渗透扩散理论并考虑浆液的粘度时变特性推导盾构壁后注浆扩散范围及浆液对管片产生的压力计算式，在此基础上分析相关参数对注浆效果的影响.

1 半球面扩散模型建立

1.1 基本假设

（1）浆液不可缩、均质及各向同性且粘度存在时变性，其变化关系为指数函数，t时刻浆液的粘度μg（t）可以用指数函数表示为［7-8］

式中：μg0为浆液的初始粘度，Pa·s；α为与浆液、介质的孔隙率有关的参数，s-1；t为浆液拌合时间，s.

（2）忽略盾构管片曲率影响，将盾构外沿视为平面，浆液在渗透范围内以注浆孔为球心、以半球形向四周扩散，见图1，图中，Pw为注浆点处地下水压力，Pg为圆心处的注浆压力.

图1 管片壁后注浆半球面扩散模型示意Fig.1 Half-spherical surface diffusion model of back-filled grouting

（3）在盾尾管片壁后注浆中，盾尾间隙的存在致使在一定范围内的孔隙率加大，从而影响到浆液的扩散过程.本文采用文献［5-6］提出的用土体等效孔隙率n′替代砂土层本身的孔隙率n以考虑盾尾间隙的影响.

1.2 理论推导

浆液在地层中的渗透系数Kg（t）可表示为

式中：Kw为水在砂性土中的渗透系数；β（t）为t时刻浆液粘度与水的粘度μw之比，β（t）＝μg（t）／μw，由此可得考虑浆液粘度时变性的渗透系数

式中：β0为浆液初始粘度与水的粘度比，β0＝μg0／μw.设t时刻在r（浆液扩散半径）与r＋dr之间浆液稳定渗透扩散，其渗流运动方程为

式中：v为浆液扩散速率；h为浆液压力水头高度.

将式（3）代入式（4）得

又因dh＝dP／ρg，式（5）可化为

式中：P为浆液压力；ρ为浆液密度.浆液呈半球面扩散时，其扩散速率可表示为

式中：q为弹孔浆液流量；A为浆液半球面面积.将式（7）代入式（6）可得

根据边界条件，在注浆孔半径r0处浆液压力为Pg；当浆液扩散半径达到r时，浆液压力为Pr.因而有

对式（9）从0到t积分，得t时刻的注浆量

将Q＝2πr3n′／3代入式（10）得浆液压力分布公式.

令Pr＝Pw，并记Pg-Pw＝ΔP，同时考虑r≫r0，则由式（11）可得浆液扩散半径

由式（11）可得浆液对管片产生的压力

式中，d为盾尾间隙厚度.式（11）～（13）为考虑浆液粘度时变性条件下管片注浆半球面扩散理论的基本公式.

1.3 参数确定及适用范围

（1）参数确定.对于盾构隧道壁后注浆的粘度时变性浆液半球面扩散模型即式（11）～（13）中相关参数的确定如下：①n′根据文献［5-6］由式（14）计算；② 参数α与β0可通过浆液试验得到.

（2）适用范围.本文提出的粘度时变性浆液的半球面扩散模型适用于砂性土盾构隧道的单液浆管片注浆.由该模型推导得到的式（11）～（13）可为盾构壁后注浆施工中相关参数的确定提供理论依据.

2 实例分析

由文献［5-6］及考虑浆液粘度时变性条件下管片注浆半球面扩散理论的基本公式可以看出：壁后注浆浆液的扩散半径及对管片产生的压力与注浆压力、注浆时间、浆液粘度、土体渗透率、盾尾间隙厚度、注浆管半径等众多因素有关.以下分别应用文献［5-6］及本文公式，通过实例分析讨论盾构隧道壁后注浆的扩散半径及对管片产生的压力与各因素的关系.假定r0＝2.5cm，n＝20%，Kw＝5×10-4cm·s-1，β0＝4，d＝10cm，Pw＝0MPa，由文献［20-21］的试验数据取α＝1／6000s-1.

2.1 不同注浆压力

当注浆时间t＝30min时，则由式（12）和式（13）可求得各种注浆压力条件下的浆液的扩散半径及浆液对管片产生的注浆压力，如图2～4所示.

由图2可知，浆液扩散半径在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下的计算值都随注浆压力的增大而增大.当注浆压力由0.1MPa增大到0.5MPa时扩散半径在考虑时变性条件下增加了不到1倍，在不考虑时变性条件下也增加了不到1倍.但是，在相同注浆压力下，考虑时变性的计算值略小于不考虑时变性的计算值，且两者的差距随注浆压力的增大而略有增大.

图2 浆液扩散半径与注浆压力关系Fig.2 Relationship between diffusion radius and grouting pressure

由图3可知，浆液对管片产生的压力在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下的计算值都随注浆压力的增大而增大.当注浆压力由0.1MPa增大到0.5MPa时浆液对管片产生的压力在考虑时变性和不考虑时变性条件下均增加了约16倍.但是，在相同注浆压力下，考虑时变性的计算值小于不考虑时变性的计算值，且两者的差距随着注浆压力的增大而增大.

由图4可知，在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下所得的浆液对单位面积管片的压力与注浆压力的关系曲线重合，且近似呈直线.浆液对单位面积管片的压力在2种条件下的计算值几乎相同，都随注浆压力的增大而增大.

由图2～4的分析可以发现，当注浆压力由0.1 MPa增大到0.5MPa时浆液扩散半径仅增加不到1倍.但是，浆液对管片产生的压力却增加了十几倍，浆液对单位面积管片的压力也呈直线上升.这说明，在盾构壁后注浆施工中，单靠增加注浆压力来改善注浆效果应慎重，因为增大注浆压力的同时也大大增加了浆液对管片的压力，如果因施工要求确实需要用较大的注浆压力则需对管片环进行承受因注浆而产生的附加压力的结构计算.

2.2 不同注浆时间

当注浆压力Pg＝0.3MPa时，则由式（12）和式（13）可求得不同注浆时间的浆液的扩散半径及浆液对管片产生的压力，如图5～7所示.

由图5可知，浆液扩散半径在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下的计算值都随注浆时间的延长而增大.当注浆时间由10min延长到90min时扩散半径在2种条件下的计算值均增加了约1倍.但是，在相同注浆压力下考虑时变性的计算值小于不考虑时变性的计算值，且两者的差距随注浆压力的增大而增大.

由图6可知，浆液对管片产生的压力在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下的计算值都随注浆时间的延长而增大.当注浆时间由10min延长到90 min时浆液对管片产生的压力在考虑时变性条件下增加了约3倍；在不考虑时变性条件下增加了4倍多.在相同注浆时间下，考虑时变性的计算值小于不考虑时变性的计算值，且两者的差距随着注浆时间的延长而增大.

由图7可知，在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下所得的浆液对单位面积管片的压力与注浆压力的关系曲线重合，且近似呈水平直线.浆液对单位面积管片的压力在2种条件下的计算值几乎相同，都不随注浆压力变化.

图7 对管片单位面积的压力与注浆时间关系Fig.7 Relationship between intensity of pressure to segments and grouting time

由图5～7的分析可以发现，当注浆时间由10 min延长到90min时浆液扩散半径仅增加了约1倍，浆液对管片产生的压力增加了3～4倍，浆液对单位面积管片的压力几乎保持不变.这说明在盾构壁后注浆施工中可通过适当延长注浆时间来改善注浆效果.但是，注浆时间受浆液凝胶时间限制，因此，应结合凝胶时间来调整注浆时间.

2.3 不同初始粘度

当注浆时间t＝30min时由式（12）和式（13）可求得不同初始粘度浆液的扩散半径及浆液对管片产生的压力，如图8～10所示.

由图8可知，浆液扩散半径在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下的计算值都随浆液粘度的增大而减小.当浆液初始粘度与水的粘度比从2增大到10时扩散半径在2种条件下计算值均减小了约50%.在相同浆液初始粘度下考虑时变性的计算值略小于不考虑时变性的计算值，且两者的差距随浆液粘度的增大而逐渐减小.

图8 浆液扩散半径与浆液粘度关系Fig.8 Relationship between diffusion radius and grouts viscosity

由图9可知，浆液对管片产生的压力在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下的计算值都随浆液初始粘度的增大而减小.当浆液初始粘度与水的粘度比从2增大到10时，浆液对管片产生的压力在2种条件下的计算值均减小了约70%.但是，在相同初始粘度下考虑时变性的计算值小于不考虑时变性的计算值，且两者的差距随着浆液粘度的减小而增大.

图9 对管片产生的压力与浆液粘度关系Fig.9 Relationship between pressure to segments and grouts viscosity

图10 对管片单位面积的压力与浆液粘度关系曲线Fig.10 Relationship between intensity of pressure to segments and grouts viscosity

由图10可知，在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下所得的浆液对单位面积管片的压力与浆液初始粘度的关系曲线重合，且近似呈水平直线.浆液对单位面积管片的压力在2种条件下的计算值几乎相同，都不随浆液初始粘度变化.

由图8～10的分析可以发现，当浆液初始粘度与水的粘度比从2增大到10时浆液扩散半径减小了约50%，浆液对管片产生的压力减小了约70%，浆液对管片单位面积的压力几乎保持不变.这说明浆液粘度对壁后注浆扩散半径影响明显，对浆液对管片产生的压力影响较小，可通过选择合适粘度的浆液来调整盾构隧道壁后注浆效果.

2.4 不同渗透系数

当注浆时间t＝30min时由式（12）和式（13）可求得不同渗透系数土体中浆液的扩散半径及浆液对管片产生的压力，如图11～13所示，图中，K为土体渗透系数.

图11 浆液扩散半径与土体渗透系数关系Fig.11 Relationship between diffusion radius and soil infiltration rate

由图11可知，浆液扩散半径在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下的计算值都随土体渗透系数的增大而增大.当渗透系数由10-4m·s-1增大到10-2m·s-1时，扩散半径在2种条件下计算值均增加了不到1倍.但是在相同渗透系数下考虑时变性的计算值小于不考虑时变性的计算值，且两者的差距随渗透系数的增大而增大.

由图12可知，浆液对管片产生的压力在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下的计算值都随土体渗透系数的增大而增大.当渗透系数由10-4m·s-1增大到10-2m·s-1时浆液对管片产生的压力在2种条件下的计算值均增加了2倍多.但是，在相同渗透系数下考虑时变性的计算值小于不考虑时变性的计算值，且两者的差距随渗透系数的增大而增大.

图12 对管片产生的压力与土体渗透系数关系Fig.12 Relationship between pressure to segments and soil infiltration rate

由图13可知，在考虑时变性和不考虑时变性2种条件下所得的浆液对单位面积管片的压力与土体渗透系数的关系曲线几乎重合，且近似呈水平直线.浆液对管片单位面积的压力在2种条件下的计算值几乎相同，均不随渗透系数变化.

图13 对单位面积的压力与土体渗透系数关系Fig.13 Relationship between intensity of pressure to segments and soil infiltration rate

由图11～13可知，土体渗透系数对注浆效果有较大影响，渗透系数越大，浆液扩散半径越大，对管片产生的压力也越大.说明在盾构隧道壁后注浆设计中土体本身的特性不可忽视，换言之，在盾构隧道掘进中应该随土性的变化调整注浆施工参数和浆液参数，在大断面盾构隧道施工中，同一横断面不同注浆点处的土性参数也会不同，也应区别对待.

3 浆液压力分布

假定Pg＝0.3MPa，t＝30min，求出2种条件下管片承受的浆液压力与浆液扩散半径的关系，如图14.

图14 管片所受注浆压力与浆液扩散半径的关系Fig.14 Relationship between pressure to segments and grouts diffusion radius

从图14可知，对于盾构隧道管片注浆，考虑浆液粘度时变性和不考虑浆液粘度时变性2种条件下浆液对管片产生的压力都呈抛物线形分布，但考虑时变性时注浆压力和扩散半径小于不考虑时变性时，浆液压力的差距随扩散半径的增大而增大.可见浆液粘度时变性对注浆压力分布影响比较显著.考虑浆液粘度时变性时管片所受的注浆压力及浆液的扩散面积均减小，由此导致浆液对管片产生的压力减小；由于浆液对管片产生的压力与浆液扩散面积同步减小，所以管片单位面积所受的浆液压力保持不变.

4 结论

（1）浆液扩散半径、浆液对管片产生的压力受浆液粘度时变性影响明显，其显著程度随浆液压力和土体渗透系数的增大、注浆时间的延长、浆液粘度的减小而增大；浆液对单位面积管片的压力几乎不受浆液粘度时变性影响.

（2）浆液的扩散半径和浆液对管片产生的压力在考虑浆液粘度时变性条件下的计算值小于不考虑时变性条件下的计算值；浆液对单位面积管片的压力在2种条件下的计算值相同.

（3）在盾构壁后注浆施工中可通过增大注浆压力、延长注浆时间、调整浆液粘度等方式来改善注浆效果.但是，增大注浆压力时应慎重，因为增大注浆压力的同时也大大增加了浆液对管片的压力.

（4）在管片注浆时，随着浆液远离注浆孔，浆液压力逐步减小，减小的速率逐步增大，浆液压力分布呈抛物线形式.

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