小目标识别的小波阈值去噪方法

刘希佳，陈 宇 ，王文生，刘 柱

(长春理工大学 光电工程学院，吉林 长春30022)

1 引 言

在图像的获取和传输过程中，由于一些内在或外在因素的影响，所获得的信息或所传递的信息会受到一定的干扰，不可避免地引入一些噪声，使终端获取的信息失真;当噪声严重时，甚至无法辨认出其中的信息，这时，就需要对含噪图像进行去噪处理。对信号进行去噪处理的方法很多，小波分析作为目前比较前沿的图像处理手段，是一种时频局部化的分析方法。小波分析具有比其他方法更为优越的性质，如低熵性、多分辨性、解相关性和选基自由性，其中多分辨性又被称为“数学显微镜”［1］，它能够聚焦到信号的任何细节进行时频域分析，有利于信号的精确处理。因此，小波分析以其具有的众多优越特性，在图像处理领域倍受重视。

小波去噪的常用方法包括模极大值重构滤波去噪法、基于小波变换域系数的相关性去噪法和小波阈值去噪法等。在众多小波去噪方法中，由Stanford 大学的D.L. Donoho 和I. M. Johnstone 等人提出的小波阈值去噪以其算法简单、计算量小、去噪效果好等优点得以广泛应用。

在小波阈值去噪方法中，软、硬阈值法是目前应用较为广泛的阈值去噪方法。但是，由于其本身存在的缺点和不足( 如硬阈值法的阈值函数在阈值处不连续，在图像重构时会出现局部的振荡现象，称为伪吉布斯现象;而软阈值法的阈值函数虽然具有连续性，但是由于处理后的小波系数与真实值之间存在恒定偏差，使重构后的图像会出现严重的模糊，损失了大量重要细节信息) 直接影响了软、硬阈值法的进一步发展。针对软、硬阈值法的缺点和不足，众多学者和专家纷纷提出了相应的改进方法［2-9］，并在一定程度上克服了这些问题，使小波阈值法得到了长足的发展。

在进行小目标识别时，由于小目标的边缘信息很少，一般的去噪方法会损失大量的边缘细节信息［10-11］，因此，本文结合了双曲线函数、指数函数和对数函数构造了一个新的阈值函数，采用局部方差估计来估算阈值，对小目标进行去噪处理，并利用联合变换相关器对小目标进行了目标识别实验。

2 光学实验原理

图1 联合变换相关器原理图Fig.1 Schematic diagram of joint transform correlator

采用光电混合式联合变换相关器进行了目标识别实验，图1 为联合变换相关器的原理图。此系统采用了氩离子激光器作为光源，经光束衰减器调制输出光强，光束提升器提升光束高度，显微物镜进行聚焦，针孔进行空间滤波，偏振器调节偏振方向，经准直透镜形成准直、扩束的平行光，再经半反半透镜将光束分为两路: 其中一路用于获得联合变换功率谱，即将由CCD1 实时记录的目标图像输入进PC1 中，与事先存储在PC1 中的参考图像一起输入到电寻址液晶EALCD1 中，联合图像经傅里叶变换透镜FTL1 后，由CCD2 进行探测，得到目标图像和参考图像的联合变换功率谱，然后输入到PC2 中显示;另一路用于获得相关点图像，将PC2 中的功率谱输入到EALCD2 中，经傅里叶变换透镜FTL 2 后，由CCD 3 摄取目标图像与参考图像的联合变换相关点，根据相关点的位置，就可以确定目标及其所在位置［1］。

3 小波阈值去噪原理及步骤

3.1 小波阈值去噪原理

对于小波阈值去噪的原理，最常用的就是Donoho 等人在1995 年所提出的小波阈值去噪方法，通过此方法在小波域内对小波系数做相应的处理，最终可获得更多的有用信息。

噪声图像模型:

式中:f(x，y) 为含噪图像信号;s(x，y) 为原始图像信号;n(x，y) 为噪声信号。

因为小波变换是一种线性变换，因此对式(1) 做小波变换，有:

式中:WTf为含噪图像信号f(x，y) 对应的小波系数;WTs为原始图像信号s(x，y) 对应的小波系数;WTn为噪声信号n(x，y) 对应的小波系数。

由于无噪图像在时间或空间上具有连续性，经过小波变换后，在小波域内其系数的模值一般比较大，而且分布在少数位置上。对于噪声来说，其分布是随机的，没有一定的连续性，经过小波变换后，在小波域内其系数的模值一般比较小，且分布比较广。

在小波域内对小波系数进行适当的修改，通过一定的方法和手段去除或降低噪声所对应的小波系数，这样就可获得所需要的信息。

3.2 小波阈值去噪步骤

小波阈值去噪的一般步骤如图2 所示。

图2 小波阈值去噪的一般步骤Fig.2 General steps of wavelet threshold de-noising

其中:f表示含噪图像信号;W表示未经阈值处理的小波系数;W^ 表示经过阈值处理的小波系数;f^表示去噪后的图像信号。

具体操作如下:

(1) 选定小波函数及分解的层数n，对含噪图像信号进行小波变换，得到低频概貌系数( LL) 和高频细节系数:水平系数( LH) 、垂直系数( HL) 和对角系数( HH) ，图3 为3 层小波分解示意图。

图3 小波分解示意图Fig.3 Schematic diagram of wavelet decomposition

(2) 通过阈值和阈值函数对所获得的高频系数进行处理，得到新的小波系数。

对小波系数进行处理的方法通常有硬阈值法和软阈值法，其阈值函数分别为:

软、硬阈值函数如图4 所示。

由于硬阈值函数在阈值处的不连续性，使得重构后的图像会出现局部的抖动现象，使图像产生失真。软阈值法虽然克服了硬阈值法在阈值处不连续的缺点，但是在|W|≥λ 时，W^ 与W之间总是存在恒定偏差，直接影响重构图像与原始图像的接近程度; 当然，即使其恒定偏差为零，去噪效果也未必好。

(3) 对新获得的小波系数进行重构，获得消噪后的图像信号。

图4 软、硬阈值函数示意图Fig.4 Schematic diagrams of soft and hard thresholds

4 阈值和阈值函数的选取

4.1 阈值的选取

阈值选取的优劣对图像整体噪声的滤除有着非常重要的影响。阈值过小，滤噪效果较差，但是边缘细节信息保留得较好，拟合程度( 与无噪信号的接近程度) 较高; 阈值过大，图像比较平滑( 噪声去除较好) ，但是边缘细节信息损失太多，会使滤噪图像模糊不清而失真。因此，一个好的阈值一定要兼顾平滑和拟合两个方面［4］。

式中:j为分解尺度(j=1，2，…，n) ，n为分解层数;噪声的标准差为:

式中:σj，k表示第j层，第k子带上的标准差，k为高频子带(k=1，2，3;分别表示LH 子带，HL 子带和HH 子带) 。

4.2 阈值函数的选取

(1) 小波系数模值大于阈值

对双曲线函数做适当的改进，并将其作为阈值函数。

双曲线函数的标准方程为:

渐近线方程为:

方程的解为:

当a=b=λ 时，渐近线方程变为:W^ = ±W;方程的解变为:可以看出，此函数是软阈值法的扩展，为了使此函数兼顾硬阈值法的特点，将其进行适当的修改，以获得更好的去噪效果。

当|W|≥λ 时，有:+1 ≤2( 单调递减) ;取对数:≤0( 单调递增) ; 再取指数:≤1( 单调递增) ;为了满足随着|W|的增大，而使得无限接近，故而取:( 单调递减) ;最终，|W|≥λ 时的函数取为:

当|W|→∞时，有: | |W^| - |W| |→0，其克服了软阈值具有恒定偏差的缺点，得到了更加精确的小波系数，使得去噪效果更优。

综上，经过修改后的双曲线函数为:

(2) 小波系数模值小于阈值

传统的软、硬阈值法对小波系数中较小的系数大都采取全部置零的方法，这种处理方法将会丢失一些边缘信息，从而使图像边缘模糊，产生失真。针对这一缺点，本文利用指、对数函数的性质，给出了一个函数，用以处理这部分小波系数。此函数克服了对较小的小波系数处理不当的缺点，保留了更多的边缘信息，得到了更高的信噪比。当然，保留更多边缘信息的同时，也会引入一些噪声。但是，对任何一个掺有噪声的信号来说，到目前为止尚无法做到在消除全部噪声的同时，使原信号信息得以完全保留，只能做到在消除噪声的同时，保持较高的信噪比，以获得更多的有用信息。

当|W| ＜λ 时，有:＜2( 单调递增) ;取其对数有:-1 ＜0( 单调递增) ;再取指数有:＜1( 单调递增) ;为使函数光滑连续，而且保持函数在阈值处的连续性，则函数最终取为:

对其求导:

综上所述，本文的阈值函数取为:

由上式可见，该阈值函数在阈值处是连续的。

本文改进的双曲线阈值函数如图5 所示。由图5 可见:此阈值函数在阈值处具有连续性，使图像的边缘信息得到了更多的保留，阈值两侧的曲线均为光滑、连续的曲线，分别具有高阶连续的导数。

图5 本文选取的阈值函数Fig.5 Threshold function selected in this paper

4.3 图像信噪比及均方根误差

信噪比( SNR) :

式中，xi(i=1，2，3……M) 为原始图像的第i个像素的灰度值;yi(i=1，2，3……M) 为经阈值处理过的图像的第i个像素的灰度值;M为像素数。SNR 的值越大，表示失真越少; RMSE 的值越小，表示滤噪图像越来越接近无噪图像。

信噪比提高( ISNR) :

其表示滤噪图像相对于噪声图像信噪比的提高量占噪声图像的比例; SNR＇是去噪后图像的信噪比;SNR 是噪声图像的信噪比。

5 图像的MATLAB 处理及分析

通过MATLAB 软件进行图像及数据处理，选取高斯噪声作为噪声源进行仿真实验，其噪声均值为0，方差为0.01，图像分辨率为499 ppi ×348 ppi的BMP 格式的文件。从理论上讲，小波滤波器的长度越长，去噪效果应该越好，但计算量也会随之增加，同时造成图像细节的过平滑。因此，本文选取“sym6”作为小波，并对目标图像进行5层小波分解。

对多幅图像进行了滤噪处理，均取得较好的效果。作为实例，选取如图6( a) 所示的以天空为背景的小目标含噪图像进行了分析与研究。以下综述了软、硬阈值法和本文阈值法的去噪实验，分别从视觉效果、信噪比和均方根误差对各阈值法进行了对比，并阐述各种阈值去噪法的优、缺点。

图6 噪声图像及各阈值法去噪后的图像Fig.6 Noise image and de-noised images

从表1 和图6 可以看出: 通过硬阈值法获得的SNR 与RMSE 处于软阈值法和本文阈值法之间，滤噪效果一般，与软阈值法相比获得的边缘信息较多，但由于其阈值函数缺乏连续性，使得重构后的图像出现局部的抖动( 振铃) 现象，损失了较多的图像边缘细节信息，影响了去噪效果。软阈值法对噪声的滤除比较彻底，图像看起来比较平滑;但是，由于软阈值法对较小的小波系数处理不当，使得噪声被滤除的同时，损失了大量的边缘细节信息，使得图像的边缘较为模糊，图像的SNR过低，失真较为严重。

表1 各阈值去噪法的SNR、RMSE 及ISNR(含噪图像的信噪比为：19．4037)Tab．1 SNR，RMSE and ISNR of de-noised image obtained by three de-noising methods(the SNR of noisy image is 19．4037)

从所得数据可以看出，采用本文的阈值函数得到了更高的SNR 和更好的RMSE，滤噪后获得的图像信息较多，SNR 提高的最为明显; 从图像上看，噪声滤除效果很理想，在保留了更多边缘信息的同时，较好地抑制了高斯噪声，并且无明显的振铃效应产生。

6 计算机仿真及光学实验

6.1 计算机仿真实验

利用MATLAB 软件进行了仿真实验，对以图6( a) 为例的小目标图像进行了相关识别研究，选取均值为0，方差为0.01 的噪声源，图像分辨率为499 ppi×348 ppi，采用“sym6”作为小波，进行5 层小波分解。图7 分别为含噪图像和各去噪图像的二维相关峰模拟图及其能量分布图，相关峰值数据是运行MATLAB 程序后，从所生成的数据包中查得的。

图7( a) 是由噪声图像得到的二维相关峰，图中几乎看不到相关点，其能量分布如图7( e) 所示，能量较弱; 图7( b) 为经软阈值去噪处理后得到的二维相关点图像，图7( f) 为其能量分布图，相关峰相对强度为14.355 3，从该图中可以看出，相关峰能量有了一定的增强，但是因其失真较为严重，将相关峰能量淹没其中，使相关点模糊不清，无法辨认;图7( c) 是经硬阈值去噪后得到的二维相关点图像，图7( g) 是其能量分布图，相关峰相对强度为16.823 4，从图中可以看出，相关峰能量得到了一定的增强，但因硬阈值法对噪声滤除的不足，滤噪图像中仍存在一些噪声，使得相关峰的对比度有所降低，从而影响到目标的探测与识别;而经过本文方法处理后的图像，很好地抑制了噪声，保留了大量的边缘信息，从图7( d) 中可以看出相关点的亮度得到了显著的增强，提高了相关探测与识别的能力，其能量分布如图7( h) 所示，相关峰相对强度为17.275 0。因此，无论是从相关峰强度，还是从相关点的亮度对比度来看，本文方法的去噪效果均优于软、硬阈值法。

图7 二维相关峰模拟图及其能量分布图Fig.7 Two dimension correlation peak simulation diagrams and its energy distribution diagrams

由于小目标的有用信息较少，导致其相关峰能量幅值并不很高，但是可以通过后期图像处理有效增强和提取相关峰信息。

6.2 光学实验

利用联合变换相关器对以图6( a) 为例的含噪小目标图像进行了相关识别实验研究，并在功率谱面做了拉普拉斯变换预处理，分别得到了噪声图像和各去噪图像的相关峰图像，如图8所示。

由图8 所示的光学实验结果可以看出，含噪图像中，相关峰被噪声完全淹没，无法实现光学相关识别。用Photoshop 图像处理软件进行由软、硬阈值法和本文方法得到的光学图像中的相关点亮度探测，得到图8( b) 、( c) 和( d) 的相关峰相对亮度分别为43、46 和51。可以看出，本文方法得到的相关峰亮度值最高。另外，从软、硬阈值法得到的相关峰图像中也可以看出，虽然相关点亮度有所提高，但其对比度仍较差，不利于后续处理中相关峰坐标信息的提取。而通过本文去噪法，可有效提高相关峰亮度及相关面的对比度，有利于后续处理中提取相关峰坐标信息，实验效果较好，如图8( d) 所示，从图中可以明显的看出，本文方法得到的相关点亮度明显强于软、硬阈值法得到的相关点亮度，进而从光学实验上说明了本文方法的优越性。

图8 不同处理方法得到的光学相关识别结果Fig.8 Results of optical correlation recognition by different de-noising methods

7 结 论

本文对以海天为背景的小目标图像进行了去噪实验，对阈值函数进行了算法改进，最终得到的信噪比相对于含噪图像提高70.803 8%。计算机仿真实验和光学实验表明:与传统的软、硬阈值法对噪声的滤除作用相比，本文所提出的阈值函数法去噪效果更优，识别能力较好，表明了该方法在小目标图像处理领域具有一定的实用性。

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