基于变换基阵的三维SDCT表示方法

孙文邦，唐海燕，孙文斌，程红

（1.空军航空大学 特种专业系，吉林 长春 130022；2.空军航空大学 航空理论系，吉林 长春 130022；3.安徽工业大学 数理学院，安徽 马鞍山 243002）

1 引言

随着信息处理技术的发展，三维 DCT广泛应用于各领域，针对三维 DCT算法本身的研究也较多。例如，Raymond和Furht等较早地将三维DCT应用到视频压缩领域[1]。陈贺新等在三维DCT算法基础上提出了多维矩阵理论，并在图像压缩和视频压缩领域得到了应用[2～5]。近年来，三维 DCT还被应用到其他领域，例如全方向的积分图像压缩编码[6]、多视角立体图像编码[7]和视频水印[8]等领域。

然而，目前三维 DCT运算一般都是对三维数据矩阵中的3个维度分别进行一维DCT来完成，这种运算方法不能很好地体现三维变换的整体空间特性。因此，本文提出了一种三维立体矩阵意义下的SDCT运算方法，使三维DCT表达简洁，计算灵活，理解容易。

2 三维矩阵表示与运算

为了描述方便，定义三维矩阵的表示形式和 4种三维矩阵的运算方法。

2.1 三维矩阵的表示

由 R×C×T 个数 arct（r=1,2,…,R；c=1,2,…,C；t=1,2,…,T）构成R行，C列，T页的三维立方体数据排列称大小为 R×C×T的三维矩阵，简称 R×C×T阶三维矩阵，或 R×C×T三维矩阵。为了表示一个整体，采用斜粗体字母 A，B等或缩写[arct]、[brct]等表示三维矩阵。其中，r、c和t分别表示矩阵元素在矩阵中的行数、列数和页数，即表示矩阵元素在矩阵中的位置。当需要说明三维矩阵大小时，采用 AR×C×T或[arct]R×C×T表示。

例如，一个4×4×4三维矩阵，可以表示为A4×4×4，如式(1)所示。

一个较大矩阵可以拆分为若干子块来表示。以子块为“元素”形式的矩阵称为分块矩阵。分块矩阵的子块可采取 Arct,R×C×T来表示，其中，R×C×T 表示子块的大小，r、c和t分别为子块在原矩阵中位置。子块中某一元素可表示为 aijk,rct，其中，r、c和t同样表示子块在原矩阵中位置，i、j和k表示子块元素在子矩阵中位置。例如，如将式(1)拆分为8个2×2×2的子块，则可采用式(2)来表示。

2.2 三维矩阵的运算

定义 1 设有一个三维矩阵 A=(arct,ijk)，其中r=1,2,…,R，c=1,2,…,C，t=0,1,…,T，i=1,2,…,I，j=1,2,…,J，k=1,2,…,K。那么矩阵A的“置位”运算记为AL，规定

定义2 设有2个三维矩阵A=(arct)，B=(brct)，其中，r=1,2,…,R，c=1,2,…,C，t=0,1,…,T，矩阵 A和B的“和积”运算记为A∇B，规定

定义3 设有2个矩阵A=(arct)和B=(brct,ijk)，其中，r=1,2,…,R，c=1,2,…,C，t=0,1,…,T，i=1,2,…,I，j=1,2,…,J，k=1,2,…,K。矩阵A和B的“块积”记为A▷B，规定“块积”结果是一个CI×J×K矩阵。

矩阵“块积”运算满足以下运算规律（设A、B 为 R×C×T 矩阵，C 为(IR)×(JC)×(KT)矩阵）:

定义4 设有2个矩阵A=(arct)和B=(bijk,rct)，其中，r=1,2,…,R，c=1,2,…,C，t=0,1,…,T，i=1,2,…,I，j=1,2,…,J，k=1,2,…,K。矩阵A和B的“叠积”记为A◁B，规定“叠积”结果是一个CI×J×K矩阵。

矩阵“叠积”运算满足以下运算规律（设A、B 为 R×C×T 矩阵，C 为(IR)×(JC)×(KT)矩阵）:

3 三维DCT算法

设有一个三维信号序列为f(r,c,t)，其中，r=0,1,…,R－1，c=0,1,…,C－1，t=0,1,…,T－1，三维 DCT 为

式(7)和式(8)表示的三维DCT正变换与逆变换表达式，还可以分别写成式(9)和式(10)表示的可分离形式。

三维 DCT可分离形式说明，可连续运用 3次一维 DCT来实现三维 DCT。这种运算方式实质上是对三维信号逐点进行运算，称为串行运算。

由于三维DCT的矩阵表示比较困难，一般参考文献都没有给出矩阵表示形式。文献[3]根据三维DCT可分离性，按照分别对三维矩阵的行、列、页进行一维DCT操作，给出了如下三维DCT矩阵表达式

式中，f为原始的三维数据，F为变换结果系数。C1、C2和 C3分别是文献中定义的，类似于二维 DCT的转换矩阵。I、II和 III分别表示是对行、列和页进行变换。

这种表达方式虽然是采用了矩阵形式进行表述，但是表述比较繁锁，实质上还是串行运算方法的思想。

4 三维SDCT算法

设矩阵P为

其中，Q(u,v,ω,r,c,t)称为三维 SDCT的变换核，Q(r+1)(c+1)(t+1),R×C×T称为三维 SDCT的基信号（基矩阵），P称为三维SDCT的变换基阵。

如果三维信号大小为 8×8×8，则变换基阵的基信号共有8×8×8个，其空间结构分布如图1所示。图1中每一个小立方体代表三维SDCT的一个基信号。

图1 信号大小为8×8×8时的变换基阵

注:为了形象地描述，把变换基阵值域范围调整到[0,255]，以提高可视效果。

其中部分基信号如图2所示。图2从左到右、从上到下依次是变换基阵中空间频率为(0,0,0)(1,1,1) (2,2,2) (3,3,3) (4,4,4) (5,5,5) (6,6,6) (7,7,7)位置上的基信号，按照8页展开（8页按照从左到右，从上到下进行排序）。

图2 变换基阵的部分基信号展开

采用变换核和变换基信号可以将三维 DCT表达式(7)和式(8)可改写成式(13)和式(14)。

根据变换基阵的定义，式(13)和式(14)可进一步简化成

从式(15)可以看出，三维信号f中R×C×T个元素与变换基阵中 R×C×T个对应基信号乘积后，再将所有乘积后的基信号叠加起来就得到三维 DCT变换结果矩阵。

从式(16)可以看出，变换结果F与变换基阵的某一位置上基矩阵（基信号）的“和积”运算得到对应位置上的逆变换结果。如果变换结果F与变换基阵P中R×C×T个基矩阵分别“和积”，得到最终的逆变换结果f，就完成了三维DCT的逆运算。

基于变换基阵的三维SDCT总体运算过程如图3所示。

图3 基于变换基阵的三维SDCT运算过程

5 三维SDCT算法特性分析

通过三维SDCT可以很方便地对三维DCT运算性能进行分析，主要有以下几个特性。

5.1 表述特性

比较式(7)、式(8)、式(11)、式(15)和式(16)可以看出，三维SDCT正变换和逆变换都具有数学意义上的简洁统一的矩阵表述形式，很好地解决了三维DCT不易采用矩阵表述的难题。

5.2 基信号特性

从式(15)可以看出，三维DCT正变换是由三维信号f与变换基阵P的“叠积”来完成。由矩阵的“置位”、“块积”和“叠积”运算的定义，式(15)还可以采用“块积”运算来表示

同理式(16)也可以采用“叠积”运算来表示

由式(15)～式(18)可以看出，SDCT算法突出的思想是利用了变换基阵的概念，将三维信号与变换基阵中的基信号建立起了联系。

5.3 计算特性

根据“和积”运算的定义可以看出，“和积”运算实质上可以认为是“互相关”运算。而“块积”运算中运用大量的“和积”运算，所以“块积”运算也可以认为是由互相关运算组成。

从式(17)可以看出，三维信号 f与变换基阵置位矩阵中某一位置上的基矩阵（基信号）“和积”运算得到对应位置上的变换结果。所以，某一空间频率成份的计算只需要三维信号f与对应位置上的基信号运算，而和其他位置上的基信号无关。这样就可以采用“和积”单独计算某一空间频率。从式(16)可以看出，采用“和积”也可以单独计算某一空间位置上的逆变换值。

“叠积”运算实际上可以认为是对三维信号的分解。式(15)表示的变换结果F可以看成三维信号R×C×T个元素与变换基阵R×C×T个基信号加权和，如下式所示。

通过“叠积”运算可以一次性整体完成三维DCT的运算。

同时，根据式(18)表示的变换结果F与变换基阵的置位矩阵“叠积”运算关系，三维信号f可以看成是变换结果和变换基阵的置位矩阵中基信号的加权和，如下式表示。

式中，Q(u+1)(v+1)(ω+1)为变换基阵的置位矩阵中的基信号。通过“叠积”运算也可以一次性整体完成三维DCT的逆运算。

所以，三维SDCT正变换和逆变换中采用“块积”可以方便地单独计算某一空间频率值或空间位置的恢复值；采用“叠积”运算可以一次性整体完成三维DCT正变换或三维DCT逆运算。采用三维SDCT算法不论是计算频域或空域单个值还是计算整体值都比较便捷。

另外，三维SDCT中“块积”运算与互相关性有关，“叠积”运算与基信号分解有关，都具有良好的物理含义，对三维DCT的理解比较方便。

5.4 变化信息扩散特性

不失一般性，以一点的变化信息来说明。如果三维信号f中(i,j,k)处发生变化，设变化量为ε，则

变换基阵中每一个基信号都是有多个非零值元素的矩阵，同样εQijk也是一个有多个非零值元素的矩阵。所以三维信号f空域变化一处，则在频域变化多处。同理，也可以得到频域中变换一处信息，逆变换过程中，扩散到空域中多处。

采用变化信息扩散性可以方便地分析三维DCT实际应用效果。例如:基于DCT视频压缩[9,10]中引起的方块效应分析。由于视频序列是由行（r）和列（c）组成一帧，再在时间（t）轴上许多帧组成，可以将视频数据（只考虑亮度分量）按照行、列、时间3个维度构成三维矩阵的形式来表示，如图4所示。这时三维矩阵中的元素值即为视频图像的灰度值，三维矩阵可称为灰度立方体。

图4 视频图像亮度信息的三维矩阵表示

视频压缩应用中一般将灰度立方体划分成8×8×8宏块[9]，再对宏块进行三维DCT。三维变换结果一般都需要进行量化处理，而量化处理就会造成变换结果的信息改变。在量化信号在逆变换过程中，将变换结果的变化信息扩散到空域中多处。特别是逆变换后2个相邻宏块边缘处，由于信息的扩散性，灰度值产生较大的差异，因此在2个相邻宏块边缘处会产生方块效应。

6 结束语

本文根据三维DCT运算特点，定义了4种三维矩阵运算的新方法和变换基阵，在此基础上提出了三维SDCT运算方法。SDCT的正变换和逆变换都具有统一的矩阵表述形式以及相关运算、信号分解特性的良好物理含义。通过三维SDCT运算，还可以方便地对三维DCT运算相关的特性进行分析。

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