两种情形下威布尔分布置信下限的确定

金永姬， 宋媛， 姜今锡

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

两种情形下威布尔分布置信下限的确定

金永姬， 宋媛， 姜今锡*

（延边大学理学院 数学系，吉林 延吉133002）

采用样本空间排序法，讨论了在I型区间删失数据情形下和定时截尾情形下的数据服从威布尔分布时的可靠度置信下限问题，其中威布尔分布的形状参数是在某有限区间内．对给定的置信水平和任意大小的样本，给出了威布尔分布下可靠度置信下限的确定方法．

威布尔分布；置信下限；I型区间删失数据；定时截尾

航空航天等领域的许多产品的寿命通常都服从威布尔分布，因此如何确定威布尔分布下的产品可靠度置信限成为这些领域的研究热点．在讨论置信限问题时，为提高估计精度，通常要求置信上限尽可能小而置信下限尽可能大．对于威布尔分布，如果我们知道形状参数在某一小区间范围内，那么得到的可靠度的置信下限就会增大，得到的置信限的精度会有一定的提高．对于威布尔分布中形状参数的确定，可以根据实际工作中的经验和数据的分析将其限定在某一范围内，比如轴承的寿命服从威布尔分布，其形状参数在1到1．2之间，这样得到的威布尔分布可靠度置信下限更符合实际需求．因此，本文采用样本空间排序法［1］，讨论了形状参数在某一小区间范围内时威布尔分布可靠度置信限的问题，并给出了若干结果，这对系统地研究威布尔分布的数据分析具有一定的参考意义．

1 预备知识

威布尔分布为其中β＞0，θ＞0，β和θ分别称为形状参数和刻度参数．

1．1 I型区间删失数据及其威布尔分布置信下限

引理1［2］是θ的严格减连续函数（k＝1，2，…，n），且，则对一切y≠ （0，0，…，0），方程Gn（y，θ）＝α恰有1个根θ＝θ（y）．

给定n个正数t1，…，tn，令Y＝（Y1，…，Yn），这里Yi＝I（Xi＞ti）（i＝1，2，…，n），其中X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其共同分布是F（x，θ，β）．给定T＞0，则可靠度为R（T）＝P（X＞T）＝1－F（T，θ，β）．基于以上数据，需要找出R（T）的1－α 水平的置信下限［3－4］．

设X1，X2，…，Xn是概率空间（Ω，F，Pθβ）上的独立同分布随机变量列，Pθβ（X1≤x）＝F（x，θ，β）．令或由此可知Pθβ（R（T）≥RL（Y））≥1－α（对一切α，β），即RL（Y）是可靠度为R（T）的1－α水平的置信下限．给定Y的观测值（y1，…，yn）后需计算RL（y）．若假设对一切t＞0，β∈ ［β1，β2］，F（t，θ，β）是θ的严格递减连续函数≠（0，…，0），有唯一的满足

当y＝ （0，0，…，0） 时， 可 直 接 证 得RL（y）＝ 0． 当y＝ （1，1，…，1） 时，RL（y）＝其中的唯一根．

1．2 定时截尾情形下的威布尔分布置信下限

设X1，X2，…，Xn是概率空间（Ω，F，Pθβ）上n个独立同分布的随机变量（n≥2），这里θ＞0，β∈则Z 对应的似然函数为显然，当y1，y2，…，yn不全相等时，最大似然估计存在且唯一，且＾θ＝其中是方程）的唯一解．上述方程的左端是β的严格递减连续函数，用二分法容易求出其解．确定和，则可靠度R＝P（X的点估计为

为了寻找R的置信下限，取统计量＾R，令G（u，θ，β）＝Pθβ（＾R≥u）（0≤u≤1），这里Pθβ（A）表示参数真值是θ，β时的事件A的概率．令RL（u）＝inf ｛g（θ，β）∶θ ＞0，β ∈ ［β1，β2］且G（u，θ，β）＞α｝，其中g（θ，β）＝R．可知Pθβ（R≥RL（＾R））≥1－α（对一切θ，β），即RL（＾R）是可靠度为R的1－α水平的置信下限．下面计算RL（u）．通常，G（u，θ，β）作为θ，β的函数是十分复杂的，但是当参数θ，β经过适当的变换后，这个函数关于新的参数有单调性，从而大大简化了RL（u）的计算．做参数变换：（θ，β）→（p，q），其中p＝由此易知．可见p的变化范围是（0，1）；当T＜T0时，条件β∈ ［β1，β2］等价于q∈［－μ2ln（1－p），－μ1ln（1－p）］；当T＞T0时，条件β∈ ［β1，β2］等价于q∈［－μ1ln（1－p），－μ2ln（1－p）］．设T≠T0，令G~（u，p，q）＝G（u，θ，β），于是RL（u）＝inf｛e－q∶存在p∈ （0，1）及q使得G~（u，p，q）＞α｝＝e－q＊，其中q＊＝sup｛q∶存在p∈ （0，1）及q使得G~（u，p，q）＞α｝．

2 主要结果及其证明

引理2［5］对一切z∈A，方程f（z，λ）＝0在（0，∞）中恰好有1个根，即λ＊＝h（z）＝h（z1，Δ1，…，zn，Δn），而且h（z）是A上的Borel可测函数．

引理3［5］设u1，u2，…，un是某概率空间上独立同分布的随机变量列，共同分布是（0，1）上的均匀分布．令这里i＝1，…，n，p∧u＝min｛p，不全相等且，则

则对数据y＝（y1，…，yn），可靠度为R（T），置信水平为1－α的置信下限RL（y）可表示为：

1）当y＝（0，0，…，0）时，RL（y）＝0；

2）当y＝（1，1，…，1）时，有：当0＜T≤t＊时，R当t＊＜T＜t（n）且β＊≤β1时当t＊＜T＜t（n）且β＊≥β2时

3）当y＝（y1，…，yn）且分量不同时为0或1时其中θ（y，β）是方程Gn（y，θ，β）＝α的唯一根．可以证明：当T≤t＊时，f′（β）≥0，故

3）当y＝（y1，…，yn），且分量不同时为0或1时，由引理1可知，方程Gn（y，θ，β）＝α有唯一解θ（y，

2）当T＜T0且u∈（0，1）时，1｝．这里qp（u）＝sup｛q∶q∈ ［－μ2ln（1－p），－μ1ln（1－p）］

3）当T＞T0且u∈（0，1）时，RL（u）＝exp｛－q~（u）｝，里q~p（u）＝sup ｛q∶q∈ ［－μ1ln（1－p），－μ2ln（1－p）］且

4）当T＝T0且u∈ （0，1）时，＋（1－p）n＞α｝．

证明 p的变化范围是（0，1），当T＜T0时，条件β∈ ［β1，β2］等价于q∈ ［－μ2ln（1－p），－μ1ln（1－p）］；当T＞T0时，条件β∈ ［β1，β2］等价于q∈ ［－μ1ln（1－p），－μ2ln（1－p）］．

1）当T＜T0时，u＝1＝＾R，y1，y2，…，yn全相等．I（u）＝0，H~＝0，q∈ ［－μ2ln（1－p），－时，同理可得可以证明G（u，θ，β）＝（1－p）n＋

2）当T＜T0且u∈ （0，1）时，RL（u）＝inf｛e－q∶∃p∈ （0，1），q∈ ［－μ2ln（1－p），－μ1ln（1－p）］s．tH~（u，p，q）＋（1－p）n＞α｝＝exp｛－q~（u）｝．这里q~（u）＝sup｛qp（u）∶0＜p＜1｝．当p∈

3）证明同2）．

4）当T＝T0时

［1］ 具光花，周延魏，姜今锡．完全样本下威布尔分布平均寿命的评估［J］．延边大学学报：自然科学版，2008，34（4）：246－249．

［2］ 陈家鼎．样本空间中的序与参数的置信限［J］．数学进展，1993，12（4）：542－552．

［3］ 牟来彦．威布尔模型的参数估计方法［J］．湖北民族学院学报，2002，3（1）：55－56．

［4］ 陈家鼎．双向删失数据情形下的置信限［J］．应用概率统计，1990，6（4）：354－362．

［5］ Chen J，Fang X．On the exact lower confidence limits for the reliability in the case of Weibull distribution under time censoring［R］．Peking Univ：School of Math Sci，2001．

The lower confidence limits in two cases of the Weibull distrubution

JIN Yong－ji， SONG Yuan， JIANG Jin－xi＊
（Department of Mathematics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

Based on theory of ordering method in the sample space，we discuss the lower confidence limits for the reliability in the case of Weibull distribution under the time censoring and the type I censoring，the shape parameters is in some finite interval．Our main result is the following：for prearranged confidence level and a sample with arbitrary size，we give the exact lower confidence limit for the reliability and its effective conputing methods．

Weibull distribution；lower confidence limits；type I interval censoring；time censoring

O213．2

A

1004－4353（2012）03－0187－04

20120527 ＊通信作者：姜今锡（1959—），男，博士，教授，研究方向为应用概率统计．

吉林省教育厅“十一五”科学技术研究项目（吉教科合字［2007］第自11号）