一个半离散非齐次核的逆向Hilbert型不等式

谢子填，陈子明

一个半离散非齐次核的逆向Hilbert型不等式

*谢子填，陈子明

（广东肇庆学院数学与信息科学学院，广东，肇庆 526061）

应用权函数，给出一个带有最佳常数因子的半离散非齐次核的逆向Hilbert型不等式，同时给出他的等价式。

近年来，人们陆续对不等式(1)(2)作了大量推广[2-16]。首先，人们研究了齐次核的，在全平面积分和半离散的Hilbert型不等式，如杨必成[3]给出非齐次核的Hilbert型不等式，谢子填等[13-15]给出实齐次核的Hilbert型不等式，全平面积分的有关论文也都只有些零星结果[9]，也基本是零齐次和负齐次的。全平面的离散型和半散离Hilbert型不等式（即使是负数齐次），则至今尚未见到。2011年杨必成教授给出了一个半离散 Hilbert型不等式[2]。

我们应用权函数，将给出一个带有最佳常数因子的半离散非齐次核的逆向Hilbert型不等式，同时给出他的等价式。

则有

其中

关于严格单调下降，于是

引理获证。

及类似地，

有(9)成立。

故（12）成立，且与（11）等价。

由式（13），有式（11）。

反之，设式（11）成立。取

由式（11）有

于是

另一方面，又有

由（18）及（19），有，

注意到（12）（13）和（11）等价，易知式（12）（13）的常数因子也必为最佳值。

[1] Hardy G H. Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive term[J].Proc. London Math. Soc. 1925, 23(2) : XLV-XLVI.

[2] 杨必成.一个半离散的Hilbert不等式[J].广东第二师范学院学报,2011,31(3):1-7.

[3] 杨必成.一个推广的非齐次核的Hilbert 型积分不等式[J].吉林大学学报:理学版,2010,48(5):719 -722.

[4] Xie Zitian, Zeng Zheng. A Hilbert-type integral inequality whose kernel is a homogeneous form of degree -3[J].J. Math. Anal. Appl. 2008(339):324-331.

[5] 谢子填, 曾峥.一个新的零齐次核的Hilbert 型积分不等式[J].西南大学学报:自然科学版,2011,23(8):137-141.

[6] 曾峥,谢子填.一个新的有最佳常数因子的 Hilbert型积分不等式[J].华南师范大学学报,2010(3): 31-33.

[7] Zeng Zheng, Xie Zitian. A Hilbert's inequality with a best constant factor, Journal of Inequalities and Applications[J].2009, 820:176-183.

[8] Xie Zitian,Zeng Zheng.A Hilbert-type inequality with some parameters and the integral in whole plane[J].Advances in Pure Mathematics, 2011(1):84-89.

[9] Zheng Zeng, Zitian Xie. On a new Hilbert-type integral inequality with the integral in whole plane[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2010, 256:796-803.

[10] Zitian Xie , Zheng Zeng. The Hilbert-type integral inequality with the system kernel of -λ degree homogeneous form[J]. Kyungpook Mathematical Journal, 2010(50):297-306.

[11] Xie Zitian, Zeng Zheng. A Hilbert-type integral inequality with a non-homogeneous form and a best constant factor[J].Advances and Applications in Mathematical Sciens, 2010,3(1) : 61-71.

[12] Xie Zitian. A new reverse Hilbert-type inequality with a best constant Factor[J]. J. Math. Anal. Appl,2008,343：1154-1160.

[13] 谢子填,杨必成,曾峥.一个新的实齐次核的Hilbert 型积分不等式[J].吉林大学学报:理学版,2010,48(6):941-945.

[14] 谢子填, 曾峥.一个实齐次核的Hilbert 型积分不等式及其等价形式[J].浙江大学学报:理学版,2011,38(3) 266-270.

[15] Xie Zitian, Zeng Zheng. On a Hilbert-type integral inequality with the homogeneous kernel of real number-degree and its operator form[J]. Advances and Applications in Mathematical Sciens 2011,10(5)481- 490.

A Half-discrete Reverse Hilbert-type Inequality with a Non-Homogeneous Kernel

*XIE Zi-tian, CHEN Zi-ming

（Dept. of Math. Zhaoqing University, Zhaoqing, Guangdong 526061, China）

Based on the weight function, we give a new half-discrete reverse Hilbert-type inequality of a non-homogeneous kernel with a best constant factor. The equivalent inequality form is considered.

half-discrete; Hilbert-type integral inequality; Holder's inequality

O178

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2012.02.002

1674-8085(2012)02-0007-04

2011-12-15；

2012-02-28

*谢子填(1948-)，男，广东肇庆人，教授，主要从事解析不等式研究(E-mail: address:gdzqxzt@163.com);

陈子明(1964-)，男，广东怀集人，讲师，主要从事高等数学研究(E-mail: zqczm@21cn.com).