稳健数字波束形成算法研究

丁 静

(中国电子科技集团公司第五十四研究所，河北石家庄 050081)

0 引言

波束形成算法通过调整自适应加权，使得波束主瓣对准期望信号方向，零陷对准干扰信号方向，从而提高系统输出信干噪比。但是当期望信号方向估计不够精确或期望信号阵列响应与真实响应之间不匹配时，系统输出性能将急剧下降。这就需要研究一些稳健的数字波束形成算法，它们对上述误差的存在并不敏感。

近年来出现了许多稳健的数字波束形成算法。一类是基于DOA估计的稳健数字波束形成方法，主要有基于特征空间的算法、导数约束法、矢量旋转法和对角加载技术;另一类是盲波束形成算法，其特点是不需要阵列校验、波达方向和训练序列等先验知识，如恒模算法，它利用信号的恒模特性提取有用信号;基于高阶累积量的方法利用信号的高阶统计特性分离出有用信号;相比之下，基于信号周期平稳特性的算法有许多优点，因为绝大多数通信信号是周期平稳的，且很容易找出它们之间不同的周期频率。

1 稳健的Capon波束形成算法研究

1.1 标准Capon波束形成算法

在介绍稳健的Capon波束形成算法之前，先给出标准Capon波束形成算法的公式。要求的Capon加权向量w0是一个M×1的列向量，它是下面线性约束二次方程式的解:

上式的解是:

这时波束w0指向的期望信号的功率由公式Rw0来近似计算。将式(2)代入功率的计算公式，得到期望信号的近似功率:

1.2 稳健Capon波束形成算法

文献［1］中给出的Capon波束形成算法公式如下:

稳健的Capon波束形成算法是在式(4)的基础上增加了一个不确定椭球体约束条件(其中，和C是给出的):

这样，稳健的Capon波束形成算法就可以归纳为:

如果a确定了，令a0=a，代入式(3)，就可以得到期望信号的近似功率，它是式(6)的解。这样，式(6)就可以简化成式(7):

因为任何一个正定矩阵C都可以分解成如下形式:

对于ε＞0时:

这样式(7)就变成:

另外，在求解式(7)时，不失一般性，可以令C=εI，这样式(7)就变成一个球体约束条件下的二次最优化问题:

可以看出，对式(7)从不同的角度进行推导，得到的式(11)和式(12)形式是完全一样的。

为了去掉式(12)的a=0这个解，假设:

当式(13)成立时，显然式(12)的解出现在约束集合的边界上，这样式(12)就变成一个等式约束的二次最优化问题:

式(14)可以用拉格朗日乘子法来计算:

式中，λ≥0。以a为自变量，对式(15)求导，可以得到:

进而得到一最优解:

将式(17)代入式(14)中的约束等式，得到下式:

式(17)确定的最优解中λ的值就是式(18)的解:

对R进行特征值分解:

γ1≥γ2≥…≥γM是R的特征值。

令z=U*，zm表示z的第m个元素。这样式(18)就可以写为:

从式(18)和式(20)就可以得到λ的解:

从式(22)可以看出，这种稳健的Capon波束形成算法的加权向量和对角加载波束形成算法的加权向量形式一致，只是在求对角加载因子λ时的出发点不同、求法不同，不过本质上它也是一类对角加载方法。

2 仿真

仿真以双平行线阵(24阵元)为例进行。定义方位角θ为信号到达方向在阵列平面上的投影与水平横轴的夹角，仰角φ为到达方向与阵列平面的夹角。2个信号为:

fc=600 MHz，入射角分别为 θ1= θ2=0°，φ1=60°，φ2=40°。当存在指向误差时，分别利用稳健的Capon数字波束形成算法和盲信号分离算法中的快速定点ICA算法进行仿真，下面是指向误差Δ=3°仿真波束图。

图1 稳健Capon数字波束形成算法

图2 快速定点ICA算法

从上面仿真可以看出，当存在指向误差时，这里利用的2种稳健波束形成算法其波束指向和零点指向均指向了实际方向，并没有受到指向误差的影响，稳健性好，所以对目标信号的侦收效果好。

3 结束语

首先提出当存在阵列误差或测向误差时，常规数字波束形成算法的性能会急剧下降，接着列举了一些主要的稳健数字波束形成算法，然后对稳健Capon数字波束形成算法进行了介绍，其中进行了详细的公式推导，最后给出了仿真和结论。仿真结果表明，这种算法应用于窄带信号的侦收可以获得较好的分离效果，并且稳健性好，工程应用前景好，从而为实现通信对抗中的多信号侦收提供了有效途径。

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