数学建模思想在概率论与数理统计课程中的应用

李晓康

（陕西理工学院 数学系，陕西 汉中 723000）

数学建模思想在概率论与数理统计课程中的应用

李晓康

（陕西理工学院 数学系，陕西 汉中 723000）

数学建模，即运用数学原理与方法解决实际问题的全部过程.讨论了将数学建模思想应用到概率论与数理统计课程教学中，采用案例式教学，以培养和提高学生的以解决问题为核心的实践和应用能力，并给出了两个教学中的案例.

数学建模；概率论与数理统计；案例式教学

数学建模，即运用数学原理与方法解决实际问题的全部过程，其中包括问题的简化与假设、模型的建立与求解、解的分析与评价、模型的检验与应用.它锻炼和培养的是以发现问题、分析问题、解决问题为核心的综合能力，是与数学的实质相符合的.数学的实质在于透过现象，描述问题的本质及其内在规律，并利用合适的数学形式将其表述.传统的数学专业数学课程的教育教学方式非常重视学生的逻辑思维与推力、计算能力的培养，而在学生的实践能力与动手能力的培养方面显得不足.为了加强学生的实践能力与动手能力的培养，近年来，国内一些院校及学者纷纷开展了传统教育教学体系的改革与研究[1,2]，全国中小学也开展了新课程教育教学内容与手段的改革.随着基础教育改革的不断深入，在当前教育改革发展的诸多工作中，培养和培训适应我国经济、社会发展特别是新一轮基础教育课程改革需要的新型教师，是一项重要而紧迫的任务.近年来，数学专业在培养目标，课程体系，教学内容，教学方法和教学手段等方面也进行了一系列改革.但改革的深度和速度仍不能适应社会对人才的需要，具体表现在：

1）培养目标和课程体系仍立足于本专业，重视本专业课程的纵向发展而忽视学科之间的横向联系.数学教学过分强调每个学科或课程自身的体系，而不同学科或课程的内容及方法严重割裂，这既不利于整体数学观点的建立，又制约了数学综合能力的提高，培养的学生知识面狭窄，综合应用能力差.

2）课程内容仍存在陈旧僵化的弊端.现行数学课程体系，大多数内容是19世纪以前的传统数学，而富于活力的近现代内容，特别是20世纪以来的数学研究的新成果则无法进入课堂，既不能适应社会发展和科技进步，又脱离基础教育实际.

3）以数学建模思想和技术为核心的数学思想和方法迅速渗透和应用到生产、生活、工程技术的各个领域.而传统的数学类课程在这一方面不能满足社会对实践型和应用型人才的要求.

因此，原有课程设置和教学内容已不能适应社会经济发展对人才的需要.将数学建模思想、方法融入到数学与应用数学专业的主干课程，强化以数学建模思想和技术为核心的实践、应用能力的培养，改革、创新传统的课堂教学模式，适应新形势下社会对人才的要求，具有十分重要的理论与实际意义.

本文旨在探讨将数学建模思想和方法渗透和融入到概率论与数理统计课程中，改革传统的课堂教学模式，培养和提高学生应用随机数学的思想方法建模、解决实际问题的实践、应用能力.

1 概率论与数理统计课程的特点

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的数学分支.其理论方法独特，抽象，它是建立在公理化结构之上，理论严密，体系完整，同时，它的实践性又很强，很多重要的统计思想、方法都是来自于实践，又运用于实践.故它与数学建模的“始于实践，终于实践”的特点是一致的，可采用数学建模教学的模式组织和实施课堂教学，以便激发和提高学生对本课程的兴趣，达到良好的教学目的与效果.

2 采用案例式教学方法，将数学建模思想融入到概率论与数理统计教学

为将数学建模思想融入到概率论与数理统计教学中，培养和提高学生以解决问题为核心的实践和应用能力，可按照数学建模课程的模式组织概率论与数理统计课程中某些内容的教学.具体来讲，就是以实际问题为背景，采用案例式教学方法.“案例教学”就是通过实际问题的描述、假设、建模与求解，演示理论与方法的应用过程.数学上，这样的教学方式就是所谓的“问题解决”的数学建模的思想.这种方法不拘泥于对理论和方法的阐述，更注重对理论与方法的实际应用过程的展示：包括问题的描述、所涉及的变量及其相互关系、问题的假设与简化、问题的数学模型的建立与求解.即案例式教学是以问题为中心的一种教学方法，以问题为主线，发现问题，分析问题，解决问题，以问题开始，以解决问题结束.通过这种教学方式，可强化学生对基本概念、方法的理解，激发学生的学习兴趣.

在概率论与数理统计课程教学中，在介绍完每一章的基本概念、理论、方法之后，适当的引入一些相关的教学案例，可以激发学生的学习兴趣，加深学生对所学基本知识的理解，通过对案例的深入分析，可以强化学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.下面介绍几个在本课程中使用的案例.

2.1 运气问题

此问题通过对日常生活中的运气问题的分析，加深了大家对古典概型中相关知识与方法的理解[3,4].问题如下：

日常生活中，我们经常遇到某件事（结果）连续发生，如打牌时连续摸到好牌（或臭牌），是否存在我们所说的运气？

下面运用古典概型相关方法对此进行深入分析，以使学生对此问题有更深入的理解.

我们运用掷硬币试验对打牌问题进行描述：

第i次掷出正面表示第i次得到好牌，用“1”表示；

第i次掷出反面表示第i次得到臭牌，用“0”表示；

则可以得到由“1”和“0”表示的序列，表示几轮得到的牌，如：1000111001111000等.

在此序列中，连续出现的：“1”和“0”成为 1游程和 0游程，“1”和“0”的个数称为游程长度，则出现的1游程和0游程表示连续摸到好牌和连续摸到臭牌.那么，出现1游程和0游程有何规律呢？让我们先分析下面的例子：

以上结果可由下面问题得出：

对m>r,满足方程x1+x2+…+xr=m的正整数解（x1,x2,…xr）共有个.

一般地，可考虑独立重复掷硬币n次，得到m个反面，用0和1表示反面和正面，则结果可用0和1的序列表示，用R表示1游程的个数，则恰有r个1游程的概率为：

下面是一组100次掷硬币试验的结果：

由 3.1 式：n=100，m=47,可计算得：

r 22 23 24 25 26 27 28 29 P 0.064 0.102 0.137 0.157 0.154 0.129 0.092 0.056

由以上结果可得：

即以近90%的概率，1游程数在22到29之间.还可计算得：

由以上结果可以看出，连续出现多个1（1游程）的概率是很大的，即连续多次摸到好牌，同理，连续出现多个0（0游程）的概率也是很大的，即连续多次摸到臭牌，这就解释了运气问题.

此问题还可以应用于解释体育比赛（如乒乓球、羽毛球、排球等）中连续赢球和输球.

2.2 求职问题

考虑如下问题：在求职过程中，会陆续收到若干单位录用，但只能和一个单位签约，一旦签约，就不能和别的单位签约，是否能和理想的单位签约？

对此问题，可考虑如下策略：

假设能被n个单位录用，先放弃部分单位，不和前k（k=1,2,…,n-1）个单位签约，若后面有比前k个单位更理想的单位，立即签约，否则，继续等待.在此策略下，寻找k，使能和理想单位签约的概率最大，称k为最优策略.

设Ak表示在此策略下和最理想单位签约；

由全概率公式可得：

对不同的n，由上式计算得pk如下：

3 4 5 6 7 8 9 10 p1 0.5 0.458 0.417 0.381 0.350 0.324 0.302 0.283 p2 0.333 0.417 0.433 0.428 0.414 0.398 0.382 0.283 p3 0.250 0.350 0.392 0.407 0.410 0.406 0.366 p4 0.200 0.300 0.352 0.380 0.393 0.399 p5 0.167 0.262 0.319 0.352 0.398 p6 0.143 0.230 0.290 0.373 p7 0.125 0.208 0.327 p8 0.111 0.265 p9 0.189

由上表可以看出，对于不同的n，可得最优策略如下表：

n 3 4 5 6 7 8 9 10 k 1 1 2 2 2 3 3 3 pk 0.500 0.458 0.433 0.428 0.414 0.410 0.406 0.399

从上表可以看出，随着n的增加，最优的k值也相应增加，但相应的概率随之减小.

对于更大的n,有下面的近似公式：

但是，此策略也面临不能和理想单位签约的风险，即：理想单位在前k个，即X≤k,此事件发生的概率为：

对较大的n和最优的k值，上述概率为：

即和理想单位签约的概率和面临的风险是一样的，都为0.368.

此案例亦可在别的场合使用，如金融市场，有许多投资机会，为抓住最佳投资机会，可考虑以上策略.

3 结论

在实际教学过程中，可根据教学内容精心选择相关案例，以提出问题的方式，引导学生利用所学知识进行分析，激发学生的探究结果的兴趣.在此基础上，可对教学案例进行深入剖析，以加深学生对所学知识的理解和应用.

〔1〕邓华玲，等.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学，2004（1）.

〔2〕施庆生，等.《概率论与数理统计》课程的教学改革与实践[J].南京工业大学学报（社会科学版），2004（3）.

〔3〕何书元.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2007.

〔4〕刘新平.概率论与数理统计[M].西安：陕西师范大学出版社，2010.

G642

A

1673-260X（2012）03-0191-03

陕西理工学院教改项目（XJG1120）