基于p-Laplace算子的非线性边值问题研究

汪志锋

(安徽工业职业技术学院基础部，安徽 铜陵 244000)

非线性问题具有广泛的代表意义，各领域对非线性问题的研究都具有迫切的需求，在探索解决这些非线性问题的进程中，培育并形成了非线性泛函分析这一重要现代分析学分支，为解决非线性问题提供了有力支持．非线性算子具有连续、有界、全连续、可微等一般性质，在非线性边值条件的应用十分广泛，一类带p-Laplace算子的非线性边值问题在物理学等领域具有广泛应用［1-2］．

考虑如下带p-Laplace算子的微分方程边值问题：

当p=2时，则方程组(1)可化为带非线性边值条件的二阶微分方程组;当p≠2时，则方程组(1)变得更为复杂和多变，也成为各类问题研究的热点之一．文献［3-4］讨论了运用全连续算子的不动点指数定理获得正解的条件;文献［5-6］提出利用临界点理论探讨有非线性边界条件常带p-Laplace算子的微分方程在强制条件下解的存在情况等．笔者分析p-Laplace算子边值问题多个正解的存在性．

1 问题的提出

则称β0为边值问题(1)的上解．

根据上述所讨论的问题，对边值问题(1)改进如下：

其中，r，r*∈R．

2 主要结果

这里，我们假设(A1)0≤r＜1，0≤r*＜1，f∈ C(［0，T］，R+)，g*≥0 ．

假设条件(H1)～(H3)均满足，则有如下结论：

引理 1 如果 0≤ a ＜ 1，f∈ C(［0，T］，R+)，那么边值问题

有唯一解 u(t) ，且 u(t) ≥0，t∈［0，T］．

推论 1 如果 0≤ a ＜ 1，f∈ C(［0，T］，R+)，则边值问题：

有唯一解 u(t) ，且 u(t) ≥0，t∈［0，T］．

设 α0，β0∈C ，若对于任意的 t∈［0，1］，都有α0(t)≤β0(t) ，则记为α0≤β0．下面，我们通过证明来给出(1)式的主要结果．

定理1 我们假设条件(H1)～(H3)均满足，且 (A4)α0，β0分别为 BVP(1)的上下解，满足：α0(t) ≤ β0(t)，［0，T］，则存在单调序列{αn(t)}(非减序列)，{βn(t)}(非增序列)，分别一致收敛于BVP(1)在序区间{α0，β0}上的极值解．

证明

设A：X→2x为给定的映射，称A是有界逆紧的．

下面分4步来证明定理1．

第1步 证明 α0≤A(α0) ，且A(β0)≤ β0．根据C的定义及相关引理，则可以直接得出这一结论．

第2步 证明若α0≤η1≤η2≤β0，则Aη1

第4步 证明y*，y*是BVP(1)的极值解．

设y(t)是BVP(1)的任意一个解，且满足：α0(t)≤y(t)≤β0(t)，t∈［0，T］，下面证明如果对于某个 n，n=0，1，2… 有 αn(t) ≤ y(t) ≤βn(t)，则必有αn+1(t)≤y(t)≤βn+1(t)成立．

则

由推论1及相关引理，可得对于所有的t∈［0，T］，存在 u(t) ≥0，i．e．αn+1≤y(t) ，同时进行相关推理，同理可证：y(t) ≤βn+1，t∈［0，T］．因此，可以断定对于任意的t∈［0，T］，恒有αn+1≤y(t)≤βn+1，故y*(t)≤y(t)≤y*(t)．

3 结语

近年来，边值问题的理论和实际应用都得到广泛的关注和发展，非线性边值条件的应用较广泛，越来越多的人开始并继续着这方面的研究，但相关的研究并不十分深入与系统，并且对于带p-Laplace算子的非线性边值问题探讨比较匮乏．笔者将单调迭代法与上下解方法结合，对一类带p-Laplace算子的非线性边值问题进行研究，分析p-Laplace算子边值问题多个正解的存在性．该方法对于证明极值解的存在性是一个比较实用的方法．

［1］工琼，邢业朋．二阶反周期边值问题Nagumo型存在性定理［J］．上海师范大学学报，2010，39：13-32．

［2］魏利．关于含有p-拉普拉斯算子方程解的存在性的注［J］．应用泛函分析学报，2007(3)：1-10．

［3］Su Hua，Wang Baohe，Wei Zhongli．Positive solutions of fourth-order four-point boundary value problems with p-Laplacian operator［J］．J．Math．Anal．Appli．，2006(7)：1-10．

［4］胡茂林．p-拉普拉斯方程正解和多解的存在性［J］．安徽大学学报：自然科学版，2003(2)：12-13．

［5］师夏阳，丁宣浩，蒋英春．p(x)拉普拉斯方程Dirichlet条件多解性问题研究［J］．云南民族大学学报：自然科学版，2008(4)：21-23 ．

［6］孔祥山，范进军，李海涛．时间测度链上p-Laplace算子型三点边值问题两个正解的存在性［J］．科学技术与工程，2010(6)：32-35．