“代数学的独立宣言”——哈密尔顿的四元数代数

李晓丹，罗成广

（黄淮学院 数学科学系，河南 驻马店 463000）

在19世纪，几何学领域内发生了重大变革，诞生了非欧几何，它动摇了“只能有一种可能的几何”这个几千年来根深蒂固的信念，使得数学有了更大的自由。此后不久，代数学领域内也发生了类似的变革，创立了几种代数体系，它们与非欧几何一样，用了一些与传统理论相矛盾的假定，这其中首推哈密尔顿的四元数代数。

1 哈密尔顿与四元数的发现

哈密尔顿（W.R.Hamilton，1805～1865）出生于爱尔兰，父亲是位律师兼商人，母亲是位很有才干的名门闺秀。哈密尔顿从小天资超人，14岁时就已学会了12种语言。在15岁时，因同一位美国快速心算家的一次接触，激发了他钻研数学的巨大兴趣。上大学之前没入过学校学习，全靠家庭传授和自学。年仅16岁的他不仅能读懂拉普拉斯的《天体力学》，还发现了其中关于力的平行四边形法则的证明中的错误，初次显露了他的数学才华，他从此爱上了数学。他在大学读书期间是一位出色的学生，曾囊括了学院的各种奖项，尤以数学和古典文学成绩出色。他在大学的经历更是独一无二的，因为年仅22岁尚未大学毕业的他因论文《光学系统的理论》被破格聘为三一学院天文学教授兼该校天文台台长。32岁时，他便成为了爱尔兰皇家科学院院长。

在19世纪早期，认为存在与一般算术代数不同的代数，如同寻找与欧氏几何不同的几何一样，是不可思议的。假如有人要构造一种乘法交换律不成立的代数，不仅那时候没有人会这么想，就是有人这么想，也会被认为是纯属邪说，怎么可能会有a×b≠b×a的逻辑代数呢？1833年，哈密尔顿在一篇论文中把复数视为有序实数对，排除了当时人们对复数的怀疑，这在那个时候可以说是一个很伟大的成就。之后，他一直在考虑实数的有序四元数组的代数，但总是在如何定义乘法，使得保持人们熟悉的运算定律上处于困境，经过十几个春秋，难关仍未突破。最后，在1843年一闪念间直觉地想到：要求得太多了，必须牺牲交换律。于是，第一个非交换代数——四元数代数突然诞生了。

关于哈密尔顿在一闪念间想到取消乘法交换律的思想，曾在哈密尔顿的回忆录中这样记载：“1843年10月6日，当我和夫人步行去都柏林途中来到布洛瀚桥的时候，它们（指四元数）就来到了人间，或者说出生了，发育成熟了。这就是说，此时我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花就是i，j，k之间的基本方程；恰恰就是我此后使用它们的那个样子。我当场抽出笔记本，它还在，就将这些做了记录。”直到现在，这个记录当时发现的小本子还珍藏在都柏林三一学院的图书馆里。今天，在故事所说的那座桥的石柱上，人们嵌了一块碑。于是，这个数学史上重要的里程碑，被我们长久纪念。

2 四元数的概念与运算

哈密尔顿提出的四元数是指形如a+bi+cj+dk的数。其中a，b，c，d 为实数，i，j，k 是确定的单位元。 第一项 a 称为四元数的数量部分，后面三项称为向量部分。两个四元数相等定义为数量部分相等且向量部分的系数也分别对应相等；两个四元数相加定义为数量部分和向量部分的系数分别对应相加。显然，四元数相加满足交换律和结合律。关键是乘法定义，哈密尔顿首先对单位元i，j，k的乘积放弃了交换律，给出如下规则：ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j，i2=j2=k2=-1。 事实上，如果我们用记号 1，i，j，k 分别表示四元数单位 （1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1），则我们能证明：下列乘法表有效；即，从行的头上找第一个乘数，从列的头上找第二个乘数，交叉点就是我们要求的乘积：

一般地，任意两个四元数相乘，哈密尔顿定义为下面的式子：（a+bi+ci+dk）（e+fi+gi+hk）=（ae-bf-cg-dh）+（af+be+ch+dg）i+（ag+ce+df-bh）j+（ah+bg+de-cf）k

且证明了上面定义的乘法满足结合律，而显然交换律不成立。这样，四元数系的运算除乘法交换律不再存在之外保持了原有数系所满足的所有运算定律，包括加法的交换律、结合律、乘法的结合律以及乘法对于加法的分配律。四元数系甚至是一个对除法封闭的数系。

1843年11月，哈密尔顿在爱尔兰皇家科学院宣布了他的四元数的发现，轰动了当时的数学界。只是后来由于美国耶鲁大学的物理学家和数学家吉布斯（J.W.Gibbs）发现了更为方便的向量分析以及德国数学家格拉斯曼（H.G.Grassman）发现了更为一般化的n元有序数组，使得四元数理论逐渐被淹没而成为数学史上一件有趣的古董。

3 四元数代数的意义

哈密尔顿在数学史上首次提出了非交换代数的概念，这一工作对于代数学的影响完全类似于非欧几何的出现对于几何学的巨大冲击。在这一思想的影响下，向量代数和向量分析的理论出现了，各种非交换代数（如矩阵代数），非结合代数（如若当代数、李代数）的理论相继出现了。按照保留各种不同代数性质而得到的不同代数结构纷纷被揭示出来。到现在为止，数学家们已经研究过200多种不同的代数结构，也许这样说是正确的。这些工作的绝大部分属于二十世纪，并且，使一般化和抽象化的思想在今天的数学中得到充分的反映。正因为如此，人们高度赞誉哈密尔顿的工作，把他创立的四元数代数称为“代数学的独立宣言”。

[1]H.伊夫斯.欧阳绛译.数学史概论[M].太原：山西人民出版社，1986.

[2]M.克莱因著.古今数学思想[M].上海：上海科技出版社，1984.

[3]程金华.数概念的过去和现在[J].华中师范大学学报（自然科学版）数学史专辑，1987，（1）.