基于小波变换的超混沌系统图像加密

谭新波，王先泉

（广东工业大学 自动化学院，广东 广州 510006）

伴随着信息技术的飞速发展，信息安全性也越来越受到人们的关注[1]，于是对信息安全研究的意义也越来越重大。“混沌”的出现很大意义上提供了保密通信的理论基础，这正是因为混沌它自身对初始条件极度敏感的特性所决定的。自1963年，美国气象学家Lorenz第一次提出“混沌”一词以来，科学家们只是通过混沌系统所表现的一些普遍现象来总结归纳其本质。混沌是确定非线性系统产生的类似随机的行为。这一定义说明了3个问题[1]：1）混沌是非线性系统的产物；2）混沌是确定系统的产物；3）混沌是类似随机性的行为，这种随机性是由决定性所产生的，是一种内随机性。特别是近20年，混沌研究的进展迅速，不仅在软件仿真方面得到了理论实验结果，更是在当今主流的各种硬件平台上，如DSP，FPGA，ARM实现了保密通信。文献[2]就是叙述了用DSP5000芯片对语音信号进行了加密处理。同样在图像[3]，视频处理方面[4]也取得了很大的进展。为了取得进一步的发展，超混沌系统的运用体现了更大的优势。在具有了耗散结构，方程维数至少为4，同时具备3个非线性项，两个以上的正的Lyapunov指数的条件之后，使得它的动力学特性更加复杂，相轨道有更多方向上分离，有着更强的不可预测性和随机性。

1 系统框架介绍

系统框架如图1所示，首先获取一副原始图像，用小波变换对它进行处理，然后用超混沌系统产生的吸引子对图像进行加密处理，接着就是前面的一个逆过程，解密混沌图像，小波逆变换（小波重建），最后得到还原的图像。

图1 系统框架图Fig.1 System frame diagram

2 多涡卷超混沌系统

根据系统状态方程[5]：

方程组（1）中令 a=9.50，b=16.0，c=0.10，d=0.60，e=0.03。同时参数方程是可变的。假使令方程f=a1x+b1x|x|+c1x3，其中a1=0.472，b1=-1，c1=0.47，可产生三涡卷超混沌吸引子。计算机Matlab仿真相图如图2所示。接

图2 三涡卷超混沌吸引子仿真相图Fig.2 Simulation phrase diagram of three scroll hyperchaos

下来是如图3所示的在PFGA硬件电路实现与仿真，令：R28=R30=R31=R32=R33=50 kΩ，R29=5 kΩ，R34=21.19 kΩ，R35=1 kΩ，R36=0.212 7 kΩ。

通过示波器得到三涡卷相图如图4所示。

图3 f=a1x+b1x|x|+c1x3电路Fig.3 Circuit of f=a1x+b1x|x|+c1x3

图4 三涡卷混沌x-y相图Fig.4 x-y plane of three scroll phrase diagram

3 图像的小波变换

3.1 小波变换

傅里叶变换是1807年法国科学家Joseph Fourier在研究热力学问题时所提出来的一种全新的数学方法，得到工程技术领域的广泛应用。 对 f（t）∈L2（R）其定义为：

逆变化为：

傅里叶变换把时域和频域联系起来了，从频率的角度去观察信号的特征，但是按照傅里叶的变换公式。模拟信号f（t）提取的F（w）是整个的时间量。不能反映特定的时间段的频域。为了弥补Fourier变换不能时空定位的不足，分析结果的精度不够或效果不好。因此需要一种更好的时频分析方法。因此变产生了小波分析。

对于任意的函数或者信号f（x），其小波变换[6]定义为

是空间的标准正交基。在多分辨分析中分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解为4个四分之一大小的图像，过程如图5所示。

3.2 小波逆变换（小波重建）

1）在每一层（如最后一层）都通过在每一列的左边插入一列零来增频采样前一层的4个列阵（即4个分解图像）。则由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族：

图5 小波变化过程Fig.5 Process of wavelet transform

2）接着用重构低通滤波器h和重构高通滤波器g来卷积各行，再成对地把这几个的列阵加起来。

3）然后通过在每行上面再插入一列零来将刚才所得2个阵列（图像）的大小增频采样为N*N。

4）再用h和g与这2个阵列的每列进行卷积。这2个阵列的和就是这一层次重建的结果。

一幅图像最主要的表现部分是低频部分，因此我们可以在小波重构时，只保留小波分解得到的低频部分，而高频部分系数作置0处理。经小波变换后的图像仿真如图6所示。

图6 小波变换后图像仿真Fig.6 Image simulation of wavelet transform

从仿真的结果我们看到LL分量能够基本的保持了图像的原貌。这是因为人眼对低频分量更敏感。因此在图像压缩的时候我们可以把H分量置0，当然我们可以把得到的LL分量采取同样的算法再进行下一轮的压缩。最终通过FPGA处理[7]之后在VGA在显示器显示如图7所示。

图7 加密，解密效果对比Fig.7 Comparison of between encryption and decryption

4 结 论

该系统设计以FPGA平台为硬件基础，产生了了多涡卷超混沌吸引子，同时对图像进行了小波变换处理，实现了保密通信的高级别安全性和图像高质量处理。实验结果证明了该设计加密效果明显，解密后图像还原质量高，达到了设计要求。

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