星图像的亚像元细分定位方法研究

邓江生，樊利恒，古立莉

（1.海军航空仪器计量站 上海 200436；2.海军航空工程学院 控制工程系，山东 烟台 264001；3.中国人民解放军94748部队 江苏 南京 210008）

经过星图像分割，就可以提取星图像中的恒星星点。为了从星图中获得更高的星体定位精度，常采用弥散（离焦）的方式，使恒星在传感器的感光面上的成像点扩散到更多的像素上[1]。因此恒星星点在图像中并不是一个孤立的像点，而是具有一定形状、占有一定的像素数的亮斑，需对其进行亚像元细分定位以提高星体的定位精度[2-3]。

恒星星点的亚像元细分定位是通过软件的方法来对星点目标物体进行重新定位，使其定位精度高于一个像素点的方法。对星图中的恒星星点进行亚像元细分定位的目的在于：提高对观测星图中观测星点与观测光轴之间距离的测量精度，进而提高整个天文导航的指向精度。此外通过对观测星图中的恒星星点进行高精度亚像元定位，可以提高对星图中观测星点之间相对距离的测量精度，使得在进行星图识别时，可以降低匹配识别时的容许匹配误差，从而降低冗余识别和减少错误识别。

1 星体目标的细分定位方法

受限于光学系统和传感器制造工艺，图像的分辨率不可能无限制的提高，因此通过提高图像分辨率来提高定位精度的方法受到一定的限制。然而，通过图像处理方法对目标进行细分定位是一个有效的提高定位精度的方法。现有的细分定位算法一般都能达到亚像素级甚至更高的精度。为了从星图中获得更高的星体定位精度，常采用弥散（离焦）的方式，使恒星在传感器的感光面上的成像点扩散到更多的像素上。点状光斑目标的细分定位方法可以分为基于灰度和基于边缘的两大类。基于灰度的方法一般利用目标的灰度分布信息，如质心法、曲面拟合算法等。基于边缘的方法一般利用目标的边缘形状信息。一般而言，基于灰度的方法比较适用于较小的且灰度分布均匀的目标，而基于边缘的方法则适合较大的目标。实际观测星图中星体目标的直径一般为3～5个像元的大小，因此，对于星体目标，宜采用基于灰度的方法进行细分定位处理。仿真实验也表明，基于灰度的方法比基于边缘的方法具有更高的精度[4]。

常用的基于灰度的细分定位方法有质心法、高斯曲面拟合算法和抛物面拟合算法，下面一一进行简单介绍。

1.1 质心法

设一颗恒星图像分布在一个矩形窗口内，包含目标的图像表示为 f（x，y），窗口左上角像元坐标为（1，1），右下角像元坐标为（M，N），则质心法的计算公式如下：

质心法过多依赖于亮度峰值两侧的弱信号，而未充分利用更高信噪比的星像中心信息，这就造成了质心法抗噪声干扰能力较弱。使用质心法确定恒星像点位置，还易受背景杂散光的干扰，较强的背景信号会使计算结果向窗口中心偏移，导致定位精度降低。

1.2 高斯面拟合算法

由于目标像点灰度近似成高斯分布，所以可以用高斯曲面拟合目标图像，确定目标像点的灰度中心位置。其计算公式推导过程如下。

取高斯曲面函数为：

这里A表示星体灰度幅值常量，（x0，y0）为高斯函数的中心，σx和σy分别为x和y方向的标准偏差，ρ为相关系数。

高斯曲面拟合算法方法由于充分利用了图像灰度分布信息，因而计算精度高，抗干扰能力强。但由于高斯曲面拟合算法需要大量的对数运算，因而其运算速度较慢。

1.3 抛物面拟合算法

高斯曲面拟合算法需要进行大量的对数运算，计算量较大。有人提出用抛物面近似代替高斯曲面拟合数字化的目标图像，确定目标像点的灰度中心位置。其计算公式推导过程如下：

取抛物面函数为：

这里

φ0（x，y）=x2+y2，φ1（x，y）=x，φ2（x，y）=y，φ3（x，y）=1 为基函数。抛物面拟合法因为只是近似代替高斯曲面，所以它的算法误差相对较大，但与高斯曲面拟合算法相比，它计算量较小，且不受图像背景光的影响。高斯曲面和抛物面拟合算法对提取的目标图像的对称性要求不高，所以只要能提取部分目标信息就能满足算法要求。

2 基于高斯曲面拟合的细分定位算法

如上节所述，目前用于实现亚像元细分定位的算法主要有质心法、高斯曲面拟合法、抛物面拟合算法等。这些算法中高斯曲面拟合算法的定位精度最高，但该算法是基于恒星星点在星图中的灰度值分布为近似高斯形状的假设的。将高斯曲面拟合算法应用于本文处理的星图中，计算星体的质心，并分析高斯曲面拟合算法的定位精度。

2.1 高斯曲面拟合的算法实现

对上述的高斯等式两边求对数则得到如下的等式[7]：

由于上述阈值分割后的星图中恒星星点的灰度值A和恒星亮斑大小B的不确定，因而上述公式中实际包含有A，B，x0，y0等4个未知数，要求出这4个未知数的值，则至少需要构建4个等式。由于星点的灰度分布可以看成是高斯能量分布，其单个星点的典型灰度分布如图 1 所示：f（x，y）为（x，y）处的灰度值。具体算法见文献[6]。

图1 单个恒星星点的灰度分布特性Fig.1 Grayscale distribution of a single star

图2 高斯曲面拟合图Fig.2 Figure of Gaussian surface fitting

对图1中的恒星星点进行高斯曲面拟合计算后，根据求得的参数生成的高斯曲面如图 2所示。f（x，y）为所求得的（x，y）处高斯函数值。

2.2 对高斯曲线拟合算法效果的分析

在算法的仿真试验过程中发现：当恒星星点的中心像素分布与高斯分布差别较大的情况是存在的，如图3和图4所示。图3中星点是经阈值分割后的恒星像点，从其三维灰度分布图可以看出，该星体中心像素灰度值比较接近，中间部分有4个像素的灰度值均为255，另有8个像素的灰度值大于200，而该星体部分一共占有20个像素。此外该星体在原图中灰度分布也不是近高斯分布的，其高斯拟合曲面与与图像的灰度分布也明显不符合。因此高斯曲面拟合算法在此失效，即精度不能满足要求。用高斯曲面拟合算法对分割星图中的10个星体的质心进行计算，实验结果见表1（由于篇幅限制，这里只显示其中的5个）。

图3 星点及其灰度三维灰度分布Fig.3 Star and it’s grayscale distribution

图4 原星图星点及其灰度三维灰度分布Fig.4 Star in the original and it’s grayscale distribution

从表1看以看出，高斯曲面拟合算法求得的质心的精度并不稳定，对那些灰度分布与高斯曲面比较接近的星体，高斯曲面拟合算法具有较高的精度，只有不到0.03个像素的误差，而对那些灰度分布形状与高斯曲面差别很大的星体，定位精度较低，定位误差甚至超过了1.2个像素，误差超出了允许的范围。为了提高高斯曲面拟合算法的细分定位精度，或者说发挥高斯曲面拟合算法定位精度高这一优势，必须首先使用三次样条拟合曲线将星体的灰度分布在轴、轴及对角线方向拟合高斯形状，然而这又需要大量的对数运算，将进一步加大运算量。因此本文将质心法作为细分定位算法，并在下一节对质心算法对星体的细分定位的效果进行实验，并对该算法的定位精度进行分析。

表1 高斯曲面拟合得到的坐标及计算误差Tab.1 Stars’centroid got by Gaussian surface fitting algorithm and the algorithm’s error

3 基于质心法的细分定位算法

由上分析可知，如果星体灰度分布近似高斯形状，用高斯曲面拟合可以得到具有很高的亚像元细分定位精度。但在实际拍摄的星图中中，往往会遇到所获得的星图像中的星点的灰度分布与高斯曲面差别较大的情况，直接使用高斯曲面拟合则误差较大。如果要使用高斯亚像元定位，可以考虑首先使用样条曲线将星体灰度分布拟合成高斯形状，但这将使计算变得较为复杂，而且经过曲线拟合近似，定位精度会受到一定影响，使得高斯曲面拟合算法的精度高的优势受到影响。而质心算法的定位精度虽然低于高斯曲面拟合算法，但运行速度却比高斯曲面拟合算法快。因此在本文中将选用质心法对星图像进行亚像元细分定位，给出实验结果，并对结果进行分析。

3.1 质心法的算法实现

设一颗恒星图像分布在一个矩形窗口内，包含目标的图像表示为 f（x，y），窗口左上角像元坐标为（1，1），右下角像元坐标为（M，N），则质心法的计算公式表述如下：

作为一种通用的细分定位方法，质心法有一些改进的形式。主要有带阈值的质心法和平方加权质心法。

1）带阈值的质心法

带阈值的质心法计算公式如下：

这里T为图像的分割阈值。因此带阈值的质心法相当于将原图像与阈值相减，然后对相减后的图像求质心。带阈值的质心法具有更高的精度

2）平方加权质心法

平方加权质心法计算公式表示如式（7）所示。

平方加权质心法采用灰度值的平方代替灰度值作为权值，而星像中灰度值较大、信噪比较高的像元位于中心位置及其附近，因此该方法突出了离中心较近的较大灰度值的像素点对中心位置的影响，从而提高了星体的定位精度。

3.2 仿真实验

根据上述算法对分割星图中的10个星点进行质心计算，结果如表2所示。

将质心算法得到的质心坐标与经过标定的星体的坐标进行比较，以获得质心算法的定位精度，如表3所示。

表2 不同质心法计算的星体质心Tab.2 The stars’centroid got by different centroid algorithms

表3 不同质心法算法的定位误差（像素）Tab.3 Location error of different centroid algorithms

从计算结果可以看出，对分割后的星图像的星体质心进行亚像元定位，普通质心法在x方向的定位精度为0.044 7个像素，在y方向的定位精度为0.020 4；带阈值的质心法在x方向的定位精度为0.037 2个像素，在y方向的定位精度为0.037 4；加权质心法在x方向的定位精度为0.024 2个像素，在y方向的定位精度为0.017 4。可以看出，带阈值的质心法与普通质心法所得的定位精度相差不大，而加权质心法总体上具有较高的精度，但与前两种方法的定位精度相差也不是太大。

4 结 论

首先介绍了常用的亚像元细分定位算法，即质心法、高斯曲面拟合算法和抛物面拟合算法。并对计算精度较高的高斯曲面拟合算法在实际星图的应用进行了实验，发现其与实际情况符合的并不好，定位误差超出了允许的范围。因此本文选用质心法计算星体的坐标。经过仿真实验，对普通质心法、带阈值的质心法和平方加权质心法的定位精度进行了比较，结果表明三种质心算法以平方加权质心法的精度最高，三种算法均达到了亚像元的细分精度，完全满足后续应用的要求。

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