基于shapley值法的供应链收益共享契约研究

彭伟真

0 引言

供应链是围绕着核心企业,通过信息流、物流、资金流将供应商、零售商及用户连成一个整体的功能网络结构模式。传统的供应链决策过程属于分散决策，每个企业都会根据所有可获得的信息作出对自己最优的决策，但是此时并不能达到帕累托最优的水平。供应链中的企业应该相互合作，采取整体决策的方法使之达到最优。本文将收益共享契约和基于shapley值法的收益分配机制结合起来，建立随机需求下的三级供应链模型。首先分析在收益共享契约机制的协调下，供应链成员的最优决策结果，并给出相关参数的取值范围；然后通过shapely值法来确定供应链成员的收益分配；再根据该利润分配方式，计算得到收益共享契约的各项参数，从而为企业在实施收益共享契约时提供一定的参考。

1 模型假设

本文模型为一个三阶段的单周期的供应链模型，由一个制造商M、一个分销商D和一个零售商R组成。在一个周期里，制造商先给出产品的出厂价格，分销商根据产品的出厂价格制定产品的批发价格；零售商再根据产品的批发价格制定向分销商订购的产品数量，以及产品的零售价格。在该条供应链上，制造商是主导者，零售商是追随者，分销商相对于制造商而言是追随者，而相对于零售商而言是主导者。所有供应链上的成员都是风险中性和完全理性的，他们会根据所有可获得的信息作出使得自身利润最大化的决策。零售商的市场需求由产品的零售价格以及随机因素决定。本文采用的是乘法形式的随机需求模型：

其中，D(p)为市场需求函数，d(p)=ap-b（a＞0，b＞1），a为常数，p为产品的零售价格，b为价格的需求弹性，ε为均值为1的连续随机变量，f(⋅)为其概率密度函数，F(⋅)为其分布函数。不考虑产品的超储成本及欠储成本。供应链上的所有成员的信息是共有的。q为零售商R的订购量，wD为产品的批发价格，wS为产品的出厂价格，cR为零售商的销售成本，cD为分销商的销售成本，cM为产品的生产成本。

2 模型分析

2.1 分散决策下的决策分析

根据先前的假设，在分散决策的情况下，制造商、分销商、零售商之间为三阶段的Stackelberg博弈。首先零售商根据产品的批发价格，制定最优订购量和最优零售价格。然后，分销商根据产品的出厂价格和零售商订购量，制定最优的批发价格。最后，制造商根据产品的生产成本和分销商的订购量，制定最优的产品出厂价格。为求得该情况下的各个成员的最优决策，我们采用逆向博弈的方法。首先，零售商根据产品批发价格确定最优订购量和零售价格。

零售商的期望利润为：

定义库存因子z=q/d(p)，将其带入（1）式，此时零售商的决策变量变为(q,z)：

将（2）式对z求一阶偏导数，并令其为零：

命题 1 如果 h(ε)=xf(ε)/Fˉ(ε)关于 ε单调递增，并且xFˉ(x)=0，那么最优库存因子z*由下式唯一确定：

具体证明见文献[9]，对大多数的概率分布函数而言，命题1的条件都能够满足。因此，有命题1可知，z的取值与q无关。

将（2）式对q求一阶偏导数，并令其为零：

再将（2）式对q求二阶偏导数得:

因此，πDCR是q的严格凹函数，故q*是唯一确定的。将（4）式和（5）式带入（2）式中可得零售商的最优期望利润为：

零售商给出的最优订购量后，分销商根据其来优化产品的批发价格，以期获得最大的利润，分销商的利润为：

将（5）式带入到（7）式中得到：

将（8）式对wD求一阶偏导数，并令其为零：

则分销商制定的最优批发价格为：

制造商再根据分销商给出的订货批量和产品的生产价格，制定最优的产品出厂价格。易知，分销商的订货量与零售商的订货量相等。制造商的利润为：

将（9）式带入（10）式中，并对wM求一阶偏导数后得到制造商制定的最优批发价格：

2.2 集中决策下的决策分析

在分散决策的情况下，零售商、分销商和制造商实现了自身利润的最大化，但是并不一定能达到供应链的整体的利润的最大化。而在集中决策的情况下，通过一定机制的协调，可以使得零售商、分销商和制造商确定最优的订货量和产品零售价格。在此情况下，整个供应链的利润为：

集中决策下的最优订货量为：

供应链的最优利润为：

2.3 收益共享契约机制下的分散决策

设Φ1为零售商与分销商之间的收益共享系数(0＜Φ1＜1)，Φ2为分销商与制造商之间的收益共享系数(0＜Φ2＜1)。根据零售商、分销商和制造商均为风险中性的假设，零售商的期望利润为：

分销商的期望利润为：

制造商的期望利润为：

零售商的最优订货量为：

分销商的最优订货量为：

当收益共享机制能有效的协调供应链上的成员时，qRSL*=qRSR*，qRSL*=qRSD*，可得：

而由wD＞0，wM＞0可得：

在收益共享契约机制下，必须保证供应链成员的利润大于其在分散决策下的利润，所以有：

2.4 基于shapley值的收益分配

在收益共享机制的协调下，虽然制造商、分销商与零售商能够共同制定最优的产品零售价格和产品订购量，从而使得供应链达到帕累托最优，但是，如果不能建立一个合理的利润分配机制，供应链上成员的合作关系很难长久的维系。通过上述的讨论，我们得到了关于wD、wM、Φ1、Φ2需要满足的等式条件：（18）与（19）式。可是，wD、wM、Φ1、Φ2的具体的取值依赖于制造商、分销商与零售商的谈判能力。为了使得收益共享契约能更好被供应链上的各个成员接受，本文从理论上给出一种确定收益共享契约机制下的各项参数的方法。

由于制造商、分销商与零售商可以看成三人合作的联盟博弈的问题，我们可以采用合作博弈的方法来解决这个问题。解决合作博弈的问题的方法有很多，如核心、核仁、谈判集、沙普利值法等。由于沙普利值法拥有必定存在，且是唯一的，又易于被用作量化计算的特点，是一个在博弈学、经济学和其他社会科学上最被广泛使用的解法，因此本文采用此方法来对供应链的利润进行一个合理的分配。

设合作对策Γ=(N,v)，N={ }1,2,3（1,2,3分别表示制造商M、分销商D和零售商R，Φ⊆N，v(Φ)为合作对策Γ的特征函数，即联盟Φ从合作中获得的收益。v(∅)=0。该合作对策的沙普利值存在的条件是满足超可加性，即：

v({ 1 } )、v({ 2 } )、v({ 3 } )分别为制造商M、分销商D、零售商R不联盟时（即分散决策下）的各自的收益；v({ 1 ,2} )为制造商M和分销商D联盟时获得的总收益；v({ 2 ,3} )表示分销商D和零售商R联盟时的总收益；由于制造商M和零售商R不能单独组成联盟，v({ 1 ,3} )为制造商M和分销商D在分散决策情况下的总收益；v({ 1 ,2,3} )为制造商M、分销商D、零售商R在制造商M、分销商D、零售商R构成大联盟时（即集中决策下）的总收益。分散决策和集中决策的情况已在前文讨论，下面讨论零售商与分销商结盟和分销商与制造商结盟时的决策分析。

2.4.1 零售商与分销商结盟

在此情况下，制造商给出产品的出厂价格，而后零售商与分销商通过集中决策的方式，确定最优的订货量和产品零售价格。联盟RD和制造商的利润分别为：

仿照2.1中的推导可得，此时联盟RD和制造商的最优利润为：

2.4.2 分销商与制造商结盟

在此情况下，零售商给出产品的订购量，制造商与分销商通过集中决策的方式，确定最优产品批发价格。零售商和联盟DS的利润分别为：

仿照（1）中的推导可得，可得联盟RD和制造商的最优利润为：

根据上述讨论的结果，得到联盟Φ的特征值为：

命题2上述合作对策Γ=(N,v)，N={ }1,2,3 ，联盟Φ的特征值满足（30）式，该合作博弈满足超可加性。

证明：

该合作博弈满足超可加性时，v(S1⋃S2)≥v(S1)+v(S2)，下面仅给出v({ 1 ,2} )≥v({ 1 } )+v({ 2 } )成立的证明，余下证明过程与之类似。

设

将（31）式对b求一阶导数后得到:

从（32）式 可 以 看 出 ， f′(b)的 符 号 取 决 于2+(1 -2b) ln的值。设

将（34）式对x求一阶导数后得到:

由沙普利值的计算公式：

其中：

而 ||Φ则为联盟Φ的成员数目，n为大联盟N的成员数目。

我们可以计算出制造商、分销商和零售商的沙普利值，也就是在实施收益共享契约的条件下，每个企业应该分配得到的利润，其中制造商M、分销商D及零售商R在收益共享契约下的利润为 πRSM=φ1，πRSD=φ2，πRSR=φ3，并将其带入到（13）、（14）、（15）式中，再由（18）式、（19）式，我们可以解出wD、wM、Φ1、Φ2的确定值。

3 实证数值分析

本文以文献中的算例为基础进行数值分析。跟据对模型的假设，设随机变量ε服从均匀分布ε～U( )0,2；价格的需求弹性b=2.5；产品的生产成本cM=1.2；分销商的销售成本cD=0.2；零售商的销售成本cR=0.1；需求函数中常数a=20000（为了计算方便，对各个参数实施无单位处理）。通过计算，我们可以得到在各种情况下的每个企业的决策结果，如表1～4所示。

表1 不联盟（分散决策）

表2 零售商与分销商联盟

表3 分销商与制造商联盟

表4 零售商、分销商与制造商构成大联盟（集中决策）

从表1～4可以看出，在集中决策的情况下，产品的最优零售价格低于分散决策情况下的最优零售价格，产品的最优订购量高于分散决策下的最优订购量，同时供应链的整体利润相较于分散决策下的得到了明显的提高。

根据（26）式计算零售商、分销商以及制造商的shapley值，即每个企业在集中决策下应分配得到的利润。由此可以得到收益共享契约的各个参数之值，如表5所示。

表5 收益共享契约参数的取值

从表5可以看出，通过shapley值计算得到的收益共享契约的参数满足（21）～（24）式，且每个企业的利润都得到了改善。因此，借助shapley值法，我们可以唯一确定收益共享契约的参数值。见表6。

表6 需求价格弹性对收益分配及有关参数的影响

从表1和图1可以看出:（1）随着需求价格弹性的增加，零售商、分销商和制造商的利润是逐渐减少的，零售商利润减少的速度最快，制造商利润减少的速度最慢。（2）当需求价格弹性增加到很大时，零售商、分销商和制造商三者的利润会趋于一致。

从表1和图2、图3可以看出，随着需求价格弹性的增加，wD、wM、Φ1、Φ2逐渐下降。说明了随着需求价格弹性的增加，分销商对零售商进行的“补偿”在增加，零售商所承担的风险在减少，分销商承担的风险在增加；同时，制造商对分销商进行的“补偿”也在增加，分销商所承担的风险在减少，制造商承担的风险在增加。此外，wD相对于wM，Φ1相对于Φ2对下降得更快，可能的原因是零售商相对于分销商对需求价格弹性的变化更为敏感，因此，需要增加的“补偿”也就越多。

图1 需求价格弹性对收益分配的影响

图2 需求价格弹性对收益共享契约系数的影响

图3 需求价格弹性对收益共享契约系数的影响

4 结语

本文研究了在制造商、分销商和零售商构成的三级供应链下，收益共享契约对供应链的协调作用。考虑到在保证收益共享契约能够协调供应链的情况下，其参数并不能被唯一确定，而是依赖于供应链成员的地位以及谈判能力，因此，如何每个成员能获得公平合理的待遇成为了一个主要的问题。为了使得收益共享契约能更好被供应链成员所接受，本文采用了shapley值法来对供应链的总收益进行分配，从而确定有关的系数。在此基础之上，通过数值分析验证了该方法的可行性，并且探讨了需求价格弹性对企业利润以及收益共享契约参数的影响。

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