黑龙江省人口的统计回归预测模型
2012-09-25沙元霞
沙元霞
(大庆师范学院 数学科学学院，黑龙江 大庆 163712)
0 引言
人口预测是指根据现有的人口状况测算未来某个时间的人口规模、水平和趋势。控制人口规模是城市规划和土地利用规划中的一个重要指标，不但会影响到未来的经济发展和社会动态的发展，而且还会影响到可持续发展的生态环境[1]。 建立数学模型对人口发展过程进行描述、分析和预测，并进而研究控制人口增长和老化的生育策略，以引起社会各方面的极大关注，是数学在社会发展中的重要应用领域[2]。
本文将黑龙江省2001年至2007年人口数据作为依据(来源于“黑龙江统计年鉴”数据)，利用统计回归的方法进行建模，并对黑龙江人口进行分析和预测；最后对2012年至2016年黑龙江省的未来人口数和人口发展趋势进行了预测。
1 构建统计回归模型
表1数据来源于《黑龙江省统计年鉴——2007》，本文应用此数据构建统计回归模型。
表1 2001—2007年黑龙江省人口 (单位：万人)
1.1 散点图
为了研究这些数据中所蕴含的规律性，首先将数据用散点图的形式表现出来，把各个年份作为横坐标，将2001—2007年每年总人口数作为纵坐标，将这些数据点标在平面直角坐标图上，分析点的分布情况，如图1所示。
1.2 直观判断
在图1中可以看出，数据点得分布较有规律，既可看做分布在一条直线周围，又可看做分布在一条二次的抛物线附近。所以，为了使模型更加精确，我们将拟合出两条线，即构造两个回归模型，通过对比分析的方式，选取其中误差较小的回归模型。
图1 2001—2007年每年总人口数散点图
1.3 模型一
1)假设。假设变量x和y满足如下关系式：y=β0+β1x+ε，其中，β0和β1是未知常数；ε是随机误差，满足E(ε)=0，var(ε)=σ2。
3)检验。一般我们采用统计检验方法检验，如F检验，如果F和y有线性关系，则
在给定显著水平α下，上述F值应大于F分布表中的临界值Fα。进行检测有F=82.59849≥0.00000=F0.05(1,10)，这表明x与y有十分显著的线性相关关系，这说明时间对人口总数有显著影响，回归系数效果显著。
1.4 模型二
1)假设。假设变量x和y满足如下二元关系式：y=β0+β1x+β2x2+ε，其中，β0,β1,β2为回归系数；ε是随机误差。
2)拟合回归参数。当所设回归模型是二次时，仍可以采用最小二乘法去计算，但考虑到计算量相对于一元模型来说非常大，故采用Matlab软件编程[2]求解。
程序如下：X=[1,1,1;1,2,4;1,3,9;1,4,16;1,5,25;1,6,36;1,7,49]
Y=[3811;3813;3815;3816.8;3820;3830.8;3848.8]
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)
运行结果为：b=3818.3,；-6.6；1.5
bint=[3804.8,3831.8],[-14.3,1.2],[0.6,2.5]
stats=0.9638,53.2075,0.0013
3)将上述得到的回归系数带入所设模型中得：y=3818.3-6.6x+1.5x2+ε。
4)检验及分析
①模型所得相关系数的平方为0.9638，说明因变量y的96.38%可由此模型确定。
②模型的F检验值为53.2075，远超过F检验的临界值。
③p=0.0013远小于α=0.05。
④回归系数β1的置信区间包含零点，说明变量x的效果不显著，但考虑到β2的置信区间较好，所以保留一次项。
1.5 模型一与模型二比较
将以上两个模型的预测值与实际值进行比较，得2001—2007年的相对误差率，如下表所示：
表2 模型一与模型二比较
通过表中数据我们得到：二次回归模型平均相对误差率为0.05%，而一次线性回归模型的平均相对误差率为0.76%，说明这两种模型相比二次回归模型能做到更好、更准确的预测。
2 应用模型做人口预测
应用二次回归模型预测2012年至2016年黑龙江省的人口数目，如下表所示：
表3 2012—2016年黑龙江省人口的预测值 (单位：万人)
3 结束语
上述数据表明未来几年我省人口的增长有较稳定的状态，这一结果可为政府相关部门制定政策提供参考依据。同时可以看到，按此模型随着时间的增长，人口的增长率越来越大，说明我们的模型还存在改进的空间，可以将人口老龄化的比率等因素加进去，构造多元统计回归模型[3]，以达到更好的结果。
[参考文献]
[1] 刘鑫,徐世英.基于组合预测模型的西藏人口分析[J].中央民族大学学报:自然科学版,2008(3):22-24.
[2] 杨松,曾永年,吴桂平,等.改进的最优组合人口预测模型及其应用[J].长江流域资源与环境,2008(3):14-17.
[3] 宋洪文.应用统计[M].北京:高等教育出版社,2003.
