傅里叶变换计算全息彩色再现

孙 萍，王 众，罗玉晗，魏祎雯

（北京师范大学a.物理系；b.北京市应用光学重点实验室，北京100875）

傅里叶变换计算全息彩色再现

孙 萍a，b，王 众a，b，罗玉晗a，b，魏祎雯a，b

（北京师范大学a.物理系；b.北京市应用光学重点实验室，北京100875）

通过博奇编码获得傅里叶变换计算全息图，将其加载在空间光调制器上进行光学再现，分析了影响再现像分辨率和色彩还原性的因素.实验结果表明：基元尺寸与再现像的大小与中心位置成反比；单色光波长与再现像的大小与中心位置成正比；滤光片三基色的透过率不同和半高全宽将分别影响再现像的色彩还原性和分辨率；CMOS三基色的光谱灵敏度不同也是再现像色彩失真的原因之一.基元尺寸和波长的影响用比例系数修正，滤光片与CMOS的影响用权重系数修正，实现了彩色再现像的色彩不失真合成.

傅里叶变换计算全息；博奇编码；三基色；彩色再现像

1 引 言

计算全息在匹配滤波、波前整形、虚拟物体重构、空间光互连等光信息处理领域中具有广泛的应用［1－3］.然而，目前却多采用单色激光束照明，得到的是计算全息图的单色再现像，这给器件的应用带来了一些限制，牺牲了不同波长所能携带的信息［4］.傅里叶变换计算全息图是对物波函数傅里叶变换得到的频谱的振幅和相位进行编码，生成谱的透射函数作为全息图，然后利用光学傅里叶特性还原图像.事实上，在合成傅里叶变换彩色再现像时，各个单色再现像的位置和大小不一致，导致直接合成的再现像分辨率低，并且存在倍率色差［5］.因此，需要建立一种方法来调整单色再现像的位置和大小，从而获得清晰的再现像.目前常用的方法有3种：第一，分别用三基色光记录全息图，在数字再现时对再现像进行调整，使其与波长匹配［3］；第二，根据波长调整全息图，数字再现则用常规方法合成彩色再现像［2］；第三，再现阶段的调整，根据波长对全息图不同采样再现［6］.尽管以上方法各具特色，但仍需完善.近年来，空间光调制器（Spatial light modulator，SLM）技术在全息领域中发挥了巨大的作用［7］.本文采用博奇（Burch）编码方法［8］获得傅里叶变换计算全息图，基于空间光调制器用三基色光进行光学再现，研究单色光波长和全息图基元对光学再现像质的影响，以及滤光片和CMOS性能对再现像质的影响.在此基础上，基于三基色相加原理，实现了计算全息彩色再现像的不失真合成.

2 实验原理

2.1 傅里叶变换计算全息图的记录

傅里叶变换全息图的记录光路如图1所示.用准直单色平面波垂直照明物体O（xo，yo），经傅里叶变换透镜L做傅里叶变换后，在透镜的后焦面上得到O（xo，yo）的频谱O（x，y）.O（x，y）与一离轴平面参考波R（x，y）在透镜后焦面上发生干涉后，得到物体的傅里叶变换全息图.物光波复振幅O（x，y）和离轴的平面参考光波可以分别表示为［9］

式中为载频系数，α为参考光与光轴的夹角，λ为入射光波长.线性记录条件下并忽略不重要的常数因子，离轴全息的透过率函数为

在全息图透过率函数所包含的3项中，第三项通过对余弦型条纹的振幅和相位调制，记录了物光波的全部信息.第一、二项是均匀的偏置分量，从物光波信息传递的角度来说是多余的.博奇编码以常量为偏置项，使全息图透过率函数为实值非负函数，其表达式为［7］

式中，A（x，y）为归一化振幅.只要选取合适的载频系数a，就可以将物体的±1级衍射像分离.这样由于每个基元都是实的非负值，因此在制作全息图时，只需要在每个单元中用开孔大小或灰度等级来表示该实的非负值即可.

图1 傅里叶变换全息图记录光路

用计算机实现傅里叶变换全息图的流程为：1）输入待编码的数字图像O（xo，yo）；2）对O（xo，yo）进行离散傅里叶变换；3）利用式（3）把离散傅里叶变换谱编码成全息图的透过率.

2.2 傅里叶变换全息图的光学再现

傅里叶变换全息图光学再现光路如图2所示.在单色平行光照射下，加载在空间光调制器SLM上的傅里叶变换计算全息图，经过透镜L2作逆傅里叶变换，零级像、真实像和共轭像将分别出现在L2的后焦面上，在后焦面放置光电成像器件CMOS记录各级再现像.

图2 光学再现光路

图3（a）为64pixel×64pixel的字母“H”图像.用Matlab编程，采用博奇编码方法对其进行编码，得到计算全息图3（b），全息图再经过傅里叶逆变换，得到数字再现像图3（c）.

图3 字母H的傅里叶变换计算全息图和数字再现像

2.3 彩色傅里叶变换全息图的光学再现

根据色度学中色光的相加原理，彩色图像总光强为三基色图像的光强之和，即

式中，IR，IG，IB分别为红、绿、蓝三基色的光强.光学再现光路如图2所示，用白光照明，用三基色滤光片选择红、绿、蓝3个通道，分别得到对应的单色再现像.由于再现时的波长和编码时的基元大小不同，滤光片的透过率和CMOS的光谱灵敏度不同，使得再现像存在色差，分辨率也下降.

3 实 验

3.1 实验装置

实验光路见图2.在实验中，将用博奇编码的傅里叶变换计算全息图加载在SLM上（CGI－770101电寻址，大恒新纪元科技股份有限公司），其总像素数为1 024×768，像元大小为26μm× 26μm.采用彩色CMOS接收再现像，其总像素数为1 280×1 024，像元大小为5.2μm× 5.2μm.单色光源为He－Ne激光器（波长为632.8nm），实验中采用空间滤波器滤波，再用透镜L1准直，形成均匀平行光束.白光源为亮度均匀且在0～150W之间连续可调的钨灯，实验时不需要空间滤波器，只需要L1准直，形成平行光束.三基色滤光片的波长分别为442.4，532.0，635.2nm.CMOS摄像头与电脑连接，通过控制软件将CMOS接收到的图像保存下来.

3.2 改变编码基元尺寸

所谓基元，就是指若干个像素构成的全息图基本单位，1个基元中各像素点的值相等，如图4所示，本文采用正方形基元，并设边长为b.

为了定量研究编码过程中基元对再现像大小的影响，首先用单色光进行全息图的光学再现.实验光路见图2，实验采用的物体为64pixel× 64pixel的字母“H”图像［图3（a）］，其傅里叶变换计算全息图如图3（b）所示，将全息图加载到SLM上.分别选择基元边长b＝26，52，104，130，156，182μm，记录再现像.图5给出基元分别为26，52，104μm的实验结果.

图4 博奇编码全息图基元

图5 不同基元大小的再现像实验结果

3.3 改变光学再现波长

依然采用图2光路.白光源发出的光通过滤光片后成为准单色光，再经透镜L1成为平行光，单色平行光照射到SLM上，被调制的光通过傅里叶透镜L2，就会在其焦平面上再现出物像，经CMOS接收，就得到了单色再现像.通过更换滤光片得到不同波长的再现像.在调节光路时，要使得SLM和CMOS处于透镜L2的前后焦面上，若以红光为基准调节光路，则更换蓝光或绿光滤光片时，若不调节焦距，图像会变得模糊；调节焦距后，图像清晰.

同一幅计算全息图，用红、绿、蓝三基色光波再现的结果如图6所示.实验结果表明，对于不同波长的光，不仅经过透镜后的成像位置不同，而且成像的几何尺寸也会随波长而改变.图6中红、绿、蓝光波再现像的总像素数分别为618× 702，530×584和420×488.

图6 不同波长的再现像

4 结果分析与讨论

4.1 编码基元尺寸对再现像的影响

若以再现像横向尺寸l表征再现像大小，做基元边长b与l的曲线关系，得到如图7所示的结果.对测量结果进行拟合，得到函数关系：l＝9.547×103b－1，拟合相关系数约为1.实验结果表明，再现像大小与基元尺寸成反比.由于再现像的中心位置在l／2处，故再现像的中心位置也与基元尺寸成反比关系.可以依据再现像与基元的关系，在设计计算全息图时，通过调整全息图的大小和位置，在光学再现时达到三基色单色再现像的精确重合，合成彩色再现像.

图7 不同基元对应的再现像横向尺寸

4.2 波长对再现像的影响

若将三基色分别对应的再现像直接叠加，将得到如图8（a）所示的彩色再现像，可以明显看到再现像存在很大色差，图像模糊.

图8 再现像实验结果

分别测量三基色再现像的横向尺寸l和纵向尺寸h，测量结果见表1.结果表明，在其他条件不变的情况下，再现像的大小与波长成正比，波长越长，再现像越大，中心位置偏离零级越远.若将单色再现像乘上一个系数，可使得不同波长的单色再现像大小一致.具体方法是：假设红光再现像大小一定，绿光再现像乘以比例系数1.20，蓝光再现像乘以比例系数1.43，然后再进行叠加.此时得到的再现像如图8（b）所示，可以看到再现像的色差有所减小，分辨率也有所提高.

表1 三基色再现像的尺寸与波长的关系

大多数文献也只是考虑到了波长这一影响因素［10－11］，但是，光电成像器件（CMOS或CCD）的光谱灵敏度少有人考虑［3］.若采用白光源再现，滤光片性能的影响也应考虑.

4.3 滤光片和CMOS对再现像的影响

实验中使用的三基色滤光片的透过率曲线如图9所示，可见，三基色滤光片的透过峰都有一定的宽度，它们的相对半高全宽分别为1.5%，2.1%和2.5%，半高全宽的存在将降低再现像的清晰度.另外，三基色的峰值透过率不同，即输出光强在不同的波长处不同，这是再现像存在色差的原因之一.因此需要修正，具体办法是以红光为基准进行归一化，则绿光和蓝光的再现像分别乘以强度权重系数1.17和1.23.

图9 三基色滤光片的透过率曲线

实验中所采用的彩色CMOS，其光谱灵敏度响应曲线如图10所示.在相同的辐照度下，波长为635.2nm，532.0nm，442.4nm处的输出信号分别为输入信号的47%，51%，39%，对不同波长表现出灵敏度不同，这是导致再现像存在色差的另一个原因.因此也需要修正，具体办法是以绿光为基准进行归一化，则红光和蓝光的再现像分别乘以感光权重系数1.09和1.31.

图10 CMOS光谱灵敏度曲线

对图8（b）合成前的红、绿、蓝3幅图像再分别乘以系数1.09，1.17，1.23×1.31进行修正，得到图8（c）.由于再现像右侧靠近零级，故图像中右侧光强较强.由于滤光片透过率具有一定的宽度，因此，再现像的边缘比较模糊.

4.4 一般彩色物体再现像

根据三基色原理，自然界的任意一种颜色都可以由红、蓝、绿3种颜色合成得到，若原始图像为如图11（a）所示的紫色字母“H”，采用如图2所示的光路，考虑到编码基元大小、再现时所用波长、滤光片的透过率和CMOS的光谱响应这4个因素的影响，用数字图像处理技术，按照上面所述的办法对再现像进行修正，可以得到如图11（b）所示的再现像.原始图像和再现像的红、绿、蓝三基色的灰度分别为220，25，180和222，28，180，因此，在考虑了多种因素之后，经过修正处理的再现像与原始图像色彩基本不失真.

图11 原始图像和合成的彩色再现像

5 结 论

通过对影响再现像分辨率和色彩还原性的因素进行分析，得到以下结论：基元尺寸与再现像的大小与中心位置成反比；单色光波长与再现像的大小与中心位置成正比；滤光片三基色的透过率不同影响再现像的色彩还原性，半高全宽影响分辨率；CMOS三基色的光谱灵敏度不同影响再现像的色彩还原性.提出修正的方法，即基元尺寸和波长的影响用比例系数修正，滤光片与CMOS的影响用权重系数修正.对再现像进行修正以后，彩色再现像基本不失真.若采用三基色激光再现，彩色再现像的分辨率会得到增强.

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Color reconstructed image of Fourier computer－generated hologram

SUN Pinga，b，WANG Zhonga，b，LUO Yu－hana，b，WEI Yi－wena，b
（a.Department of Physics；b.Beijing Area Major Laboratory of Applied Optics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

The Fourier computer－generated holograms loaded on a spatial light modulator were optically reconstructed.The hologram was encoded with the method of Burch encoding.The factors affecting color reconstructed image of Fourier computer－generated hologram，such as resolution and color reproduction were analyzed.Experimental results showed that the cell size was inversely proportional to the size and central location of the reconstructed images；monochromatic wavelength was proportional to the size and central location of the reconstructed image；the transmittance and half－width of trichromatic filters affected the color reproduction and resolution；spectral sensitivity of CMOS was one of the reasons causing chromatic aberration.The influences of cell size and the wavelength could be eliminated using proportional coefficient and those of filters and CMOS could be eliminated using weight coefficient.The synthesis of the color reconstructed images without distortion was realized using the correction method in this paper.

Fourier computer－generated hologram；Burch encoding；trichromatism；color reconstructed image

O436

A

1005－4642（2012）10－0001－05

［责任编辑：任德香］

“第7届全国高等学校物理实验教学研讨会”论文

2012－05－29；修改日期：2012－06－20

北京自然科学基金项目（No.4102031）；北京市大学生科学研究与创业行动计划项目资助

孙 萍（1963－），女，吉林怀德人，北京师范大学物理系高级工程师，博士，研究方向为信息光学.