二维正方晶格光子晶体的光子带隙分析

张晓娟

(渭南师范学院a.物理与电气工程学院;b.x射线基础研究中心，陕西渭南714000)

起初，制作光子晶体光纤(photonic crystal fiber，PCF)材料的折射率不能随意改变，设计大光子带隙(photonic bandgap，PBG)PBG光子晶体的方法主要是针对某个特定的晶格结构，通过调控其结构参数来实现大PBG优化［1－3］，这就限制了优化和设计大PBG研究工作的进一步开展.目前，可以通过在空气孔中注入一定介质［4－5］(如EIT原子气体或不同固体介质)实现填充材料折射率的改变，进而得到不同频率范围内的PBG.因此，研究PBG与晶格结构、原子占有率及材料折射率之间的关系对制作大带隙PCF至关重要.

结构参数定义如下：原子介电常数εa，背景材料介电常数εb，晶格常数a，原子半径R.经多次模拟发现，在计算中，当平面波支数大于100时，可以获得稳定的能带图.因此，在没有特殊说明的情况下，计算中选取平面波支数均为121.

1 周期性正方晶格的PBG

对于在正方结构晶格［6－9］中的圆形原子，单位元为正方形，可以直接利用倒格矢构造介电常数的傅里叶变换，计算介电常数在倒格子空间的分布.正方晶格是最简单的二维光子晶体结构，如图1所示，其中(a)为晶格结构图，(b)为对应的正方晶格的单位元，(c)为第一布里渊区.

图1 二维正方晶格 (a)晶格结构图;(b)单位元;(c)第一布里渊区

对于正方晶格光子晶体，晶格常数为a，基矢如图1(b)中所示，为

Γ、X、M定义了第一布里渊区的基矢量，在PWM的计算中，波矢量k取如图1(c)所示的黑色区域边界就可以计算得到对应能带.选择εa=11.56(磷化铟)，εb=1(背景材料为空气)，R=0.20a，计算得到完全周期性正方光子晶体的PBG，如图2所示.图中有正方形标记的曲线为TM波所形成的PBG，三角形标记的曲线为TE波对应的PBG，横轴代表波矢量k，纵轴为归一化频率ωa/2πc(a/λ).

图2 正方晶格的PBG

可以看出，TM波在第一和第二个能带之间有一个较大的PBG，归一化频率范围为0.3～0.44，而TE波不存在PBG.因此，即使相同结构参数的光子晶体，对于同一入射方向不同偏振态的入射光波的调制也有所不同，结果使得该结构参数下的光子晶体不存在完全PBG.

2 原子半径R对PBG的影响

仍然选择εa=11.56，εb=1.0，讨论周期性正方晶格原子半径对PBG的影响.计算过程中发现，TE波始终没有形成PBG，因此这里仅讨论TM波所形成的PBG，如图3(a)所示.可以看出，TM波传输时可以形成较大的不完全PBG，且随着原子半径R的增加，PBG数量随之增加，但PBG宽度却越来越小，最后消失.因此实际中需要选择合适的R，得到所需波长范围的PBG.

如果选择原子的介电常数εa为1(即空气孔)，背景材料的介电常数εb为11.56，即在高折射率的材料上挖周期性的空气孔，则其PBG随原子半径的变化曲线如图3(b)所示，图中竖线区域为TE波形成的PBG，点区域为TM波对应的PBG，斜线围起来的区域是TM波和TE波重合的区域，即为完全PBG.可以看出，相比较于图3(a)，该结构参数下的光子晶体在原子半径较大的情况下才可以形成不完全PBG，且PBG宽度随原子半径的增加而增加.TE波先出现PBG，随后TM波出现，而且在R≥0.45a时出现完全PBG.

图3 正方晶格PBG随原子半径R的变化 (a)a=11.56，b=1;(b)a=1，b=11.56

3 原子介电常数εa对PBG的影响

选择εb=1，R=0.20a，改变εa，得到如图4所示的PBG图.计算中发现，TE波仍然不存在PBG，因此这里仅讨论TM波所形成的PBG.图中竖线和点线分别表示所形成的第一个和第二个PBG.可以看出，εa增加，两个PBG对应的归一化频率都下移(即波长红移)，但PBG宽度几乎不变，第一个PBG宽度稍稍增加，第二个PBG先增加后减小.可以证明：当εa=1.452，εb=1，R=0.20a时，不存在PBG.说明在二维入射的情况下，选择制作PCF的硅材料时，上述同等结构参数下的PCF并不存在PBG.

4 点缺陷对PBG的影响

PWM主要处理的是周期性的光子晶体，若要用于计算带有缺陷的二维光子晶体，则需要引入超原胞［10］.选取包括缺陷及其周围的几个周期作为超原胞，按照平面波理论，以超原胞为周期进行延拓计算，这样处理虽然有可能造成缺陷与缺陷之间的模式耦合，但只要选择的超原胞足够大，模式耦合的影响相对较小，因而可以忽略.缺陷的形式有多种，如单点、多点及线缺陷等.点缺陷可以形成性能良好、具有很高的品质因数的微腔，有希望在激光谐振腔、窄带滤波等领域得到广泛应用.

取 εa=11.56，εb=1.0，R=0.2a，比较图5所示三种点缺陷的情况.图5(a)为中心去掉一个介质柱的情况，这里称其为实心光子晶体;(b)为在中心填充一个半径(R1=0.7a)较大的介质柱，称为空芯缺陷光子晶体;(c)为中心去掉三个介质柱，因为中心分布呈矩形，因此称为类矩形光子晶体.

这里仍讨论TM波所形成的PBG.得到不同点缺陷分布光子晶体的PBG如图6所示.为了进行比较，也列出了无缺陷周期性光子晶体的PBG，如图6(a)、(b)、(c)、(d)分别对应图5(a)(b)(c)结构的PBG.

由图6(a)可以看出，对于在理想周期性结构的光子晶体中传输的TM波，在归一化频率为0.3055～0.4448的范围内形成PBG，即该频率范围内的光被禁止传输;当去掉一中心介质柱，形成实心光子晶体结构时，如图6(b)所示，归一化频率在0.3024～0.3902和0.394～0.4461范围内的光被禁止，说明当去掉中心一个原子，PBG的宽度变宽了，同时在PBG的中心增加了一个通带(或者称作为导带)，该通带覆盖的频率范围很窄，近似为单一的归一化频率;图6(c)表明，当中心添加一个半径R1=0.7a的原子时，则该结构形成四个 PBG(0.3037 ～ 0.334，0.3345 ～ 0.3716，0.3749 ～ 0.38649，及0.39045 ～ 0.44999)，其能带的低频边缘下移，高频边缘上移，但不太明显，相比较周期性光子晶体增加了三个通带，同样的，其通带的频率范围都很窄，近似为三个特定频率的光波;图6(d)显示去掉中心三个原子而形成类矩形的光子晶体结构，其能带的总体宽度几乎不变，但PBG中间增加了两个通带.以上这些结果充分表明设置不同的点缺陷，可以在禁带中形成不同频率的通带.因此，为了使不同波长的光波通过，可以在光子晶体中引入不同类型的点缺陷.

图6 不同点缺陷的PBG分布 (a)周期性;(b)实心;(c)空心;(d)类矩形

5 线缺陷对PBG的影响

线缺陷指的是将周期性光子晶体中的一排或者一列原子去掉的一种光子晶体结构.图7(a)所示为移去中心一排原子而形成的线缺陷结构.仍取εa=11.56，εb=1.0，R=0.2a，得到其能带分布如图7(b)所示.计算中采用9×9的超原胞.图7(b)中的横轴代表x方向波矢量大小，纵轴代表归一化频率，其中上下两个区域为通带，中间区域为禁带，实心点连接的曲线为禁带中的导带.相比图6(a)所示完全周期性光子晶体PBG，其PBG中间增加了如图7(b)所示三个导带，其导带的频率范围很窄，可以看作单一的频率.

图7 二维正方晶格线缺陷及其PBG分布 (a)线缺陷结构;(b)PBG分布

6 结论

采用平面波法对不同二维正方晶格光子晶体的PBG进行了分析.结果表明，要想获得不同波长范围的PBG，可以通过设置不同的原子半径和介电常数来实现.同时，引入不同的缺陷结构，可以在禁带中形成不同频率的通带.因此，为了使不同波长的光波通过，可以在光子晶体中引入不同类型的缺陷.

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