可加模型的序列相关性检验

刘 锋，李 飞，乔静然

(重庆理工大学数学与统计学院，重庆 400054)

可加模型是Ezekiel首先提出来的一种重要的非参数模型。Breiman和 Friedman、Bujia、Hastie和 Tibshiran、Ansley和 Kohn以及 Opsomer和 Ruppert等［1－8］诸多学者研究了向后拟合算法的收敛速度。Stone［9］估计了可加模型的最优收敛速度。Wand［10］证明了局部多项式向后拟合算法估计量的中心极限定理。近几年来，也有许多学者致力于可加模型的研究，比如Jiang和Li给出了可加模型非参数部分的2阶段局部M－估计。综上所述，目前对于可加模型的研究都集中在模型的估计和收敛速度方面。在对模型进行估计之前，对模型进行序列相关性检验是十分必要的［11］。

对于一个拟合得好的模型，一般要求模型的残差项是一列独立同分布的白噪声，只有满足此假定，方可对模型进行估计。本文正是基于这方面的考虑，引入了VT，P方法对可加模型中的序列相关问题进行检验，得到了零假设下VT，P检验统计量的渐近分布，并用数值模拟验证了检验的功效。

1 方法与主要结果

考虑如下的部分线性单指标模型:

其中(X，Y)是独立同分布的随机变量。Xj(j=1，…，d)是X的第j个分量。X∈Rd，fj是未知函数。为了满足模型的可识别要求，令E(fj(Xj))=0，容易看出当fj(Xj)=βjXj时，式(1)其实就是多元线性回归模型。

本文用VT，P检验方法对模型(1)的序列相关性进行检验。首先构造VT，P检验统计量，令

记T=n－p，根据Hu的研究得到了如下的VT，P检验统计量。但该式中含有未知函数fj(·)，因而不能直接用于统计推断。这时，在零假设下分别用它们的估计(·)来代替。令

对于未知函数fj(·)的估计，采用局部多项式向后拟合算法来计算，其正规方程为

Sj是依赖于Xj1，…，Xjn的n阶局部多项式平滑器矩阵。当式(3)中的逆矩阵的维数比较大时，直接利用正规方程在普通的计算机上难以执行，于是本文采用局部多项式向后拟合算法来实现，步骤如下:

3)重复步骤2)，直到收敛为止。

本研究为了得到主要结果，需要如下条件:

(A3)fj，i=1，…，d 是 p+1 阶连续可导的;

(A4)概率密度函数 fX1，X2，…，Xd和 fX1，fX2，…，fXd都是有界连续的，有紧支撑，并且

(A5)核函数K在它的支撑上是有界连续的，并且一阶偏导数大于0;

在上述条件下，有如下定理:

定理1 在条件A1～A6及零假设下，当T→∞时，有(0，σ2Ip)，其中Ip是 p×p的单位矩阵，σ2=

2 数值模拟

通过一些数值模拟来考虑VT，P检验的有限样本性质。为了简单起见，考虑下面的模型:

其中:ε与 X1、X2相互独立;Z1和 Z2服从U(－1，1);X1=Z1+Z2，X2=Z1－ βZ2;β 为 Z1和Z2的相关系数。

假定误差εi分别服从如下模型:

对于误差模型1和2，样本量分别选为50，100，200，显著性水平选为0.05;对于误差模型3和4，样本量分别选为100，200，400，显著性水平选为0.05，均做1000次模拟。模拟结果在表1～4中给出。

表1 检验size和功效，误差服从AR(1)模型

表2 检验size和功效，误差服从MA(1)模型

表3 检验size和功效，误差服从AR(2)模型

表4 检验size和功效，误差服从MA(2)模型

从表1～4中可以看出:当样本量小时，检验的size有偏大的现象，但是随着样本量的增加，检验的size迅速收敛到给定显著性水平;而在备择假设下，检验的功效都很好。同时也可以看出，在样本容量n相同的情况下，随着模型误差相依程度的不断加大，这2种检验方法的功效也随之提高，在各种情况下，都有好的检验功效。

3 定理1的证明

3.1 引理

在证明过程中，由于T=n－p，因此本文不区别Op(n)和Op(T)等。假定C为绝对常数，在不同的地方取值不同。为了证明定理1，先给出几个引理。

引理1 在条件A1～A6和零假设下，有

证明见文献［10］。

其中(j1，j2，…，jn)是(1，2，…，n)的任意排列。

引理3 设 εi，i=1，2，…，n 是独立随机变量序列，满足 Eεi=0＜∞，则有

且对于(1，2，…，n)的任何一个置换(j1，j2，…，jn)，有

证明见文献［5］。

3.2 定理1的证明

因为

故对任意的整数k(1≤k≤p)，有:

由Gramer-Wold方法，根据m步相依随机变量中心极限定理可得

定理1得证。

［1］Ansley C F，Kohn R.Convergence of the backfitting algorithm for additive models［J］.Journal of the Australian Mathematical Society，Series A，1994，57:316-329.

［2］Buja A，Hastie T J，Tibshirani R.Linear smoothers and additive models［J］.The Annals of Statistics，1989，17:453-510.

［3］Ezekiel A.A method of handling curvilinear correlation for any number of variables［J］.Journal of American Statistical Association，1924，19:431-453.

［4］Fan J，Hardle W，Manmen E.Direct estimation of low-dimensional conponents in additive models［J］.The Annals of Statistics，1998，26:943-971.

［5］Gao J T.Asymptotic theory for partly linear models［J］.Communications in Statistic-Theory and Methods，1995，24:1985-2010.

［6］Hu X M，Liu F，Wang Z Z.Testing serial correlation in semiparametric varying coefficient partial linear errors-invariables models［J］.Jrl Syst Sci Complexity，2006，22:483-494.

［7］Jiang J，Li J.Two-stage local M-estimation of additive models［J］.Science in China，Series A:Mathematics，2008，51:1315-1338.

［8］Opsomer J D，Ruppert D.Fitting a bivariate additive model by local polynomialregression［J］.The Annals of Statistics，1997，25:186-211.

［9］Stone C J.Additive regression and other nonparametric models［J］.The Annals of Statistics，1985，13，689-705.

［10］Wand M P.A central limit theorem for local polynomial backfitting estimators［J］.Journal of Multivariate Analysis，2000，70:57-65.

［11］刘锋，陈敏，邹捷中.部分线性模型序列相关的经验似然比检验［J］.应用数学学报，2006，29:577-586.