一道“怪题”的“解密”教学

浙江省象山县第二中学 吕增锋 （邮编：315731）

最近我校高三学生参加了市高三数学联考，其中有一道填空题甚是“怪异”，具体如下：

1 “怪状”分析

这道题的怪异之处主要体现在以下几个方面.首先是“数据怪”，题中的“2009”、“2010”显然出自年份；并且函数的定义域是含参的变化区域，难道最终的结果和定义域的大小无关吗？其次是“结构怪”，这个函数由一个指数型函数和正弦函数构成，正弦函数具有很好的对称性，但这个指数型函数具有什么性质呢？最后是“结论怪”，本题不是单纯的求最值，这个函数的最大值与最小值的和具有什么特殊的意义？

2 雷人“怪法”

本以为这道题会让学生全军覆没，但出乎意料的是近有60%以上的学生写出了正确答案“4019”，笔者大惑不解，特意用了一堂课的时间让学生展示一下自己的解法.真是不展示不知道，一展示则“雷”倒一大片.

2.1 “雷人”解法 —— 代入法

疑点 1与－1在定义域 ［－a，a］内吗？为什么函数的最值在f（1）和f（－1）中取到？

2.2 “雷人”解法 —— 忽略法

2.3 “雷人”解法 —— 抵消法

纵观学生解法，主观意识过强，思维漏洞百出，与其说是做对不如说是“蒙”对更为恰当.

3 怪题“揭秘”

怪不得学生的“雷人”解法都能得到正确答案.笔者也想到一种更“雷人”的解法.令a→0，则函数f（x）的定义域［－a，a］的长度趋于0，M→f（0），N→f（0），M＋N＝2f（0）＝4019.

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

4 怪题“不怪”

至此，我们知道这道题根本不怪，而是立意新颖、构思巧妙.教师通过什么样的方式一步一步揭开这道题的怪异面纱，从而使教学过程更加符合学生的认知规律？若把上述性质结论直截了当的告诉学生，虽然省事，但未必能起到良好的教学效果，因为“空降”的性质结论不仅无助于打消学生心中的“怪念头”，更是无法体现解题的价值.解题的目的是让学生在解题的过程中进一步熟悉、理解所学内容，在内容之间建立起联系，体现学科意义上的价值；又通过解题让学生从成功中发现自我，培养自信、坚强、忍耐的品格.

问题1 已知函数f（x）＝ax3＋bx＋1，常数a、b∈R.

（1）若f（4）＝0，求f（－4）；

（2）证明：f（x）＋f（－x）是定值；

（3）若x∈ ［－a，a］，函数f（x）的最大值为M，最小值为N，求M＋N的值.

意图 由于原题的函数是由指数型函数构成，相对比较复杂，学生不熟悉，因此在此处特意以学生比较熟悉的三次函数为载体，设计了三个前后呼应的小问题，逐层铺垫，从而使学生掌握以原点为对称中心的函数的性质.

弗兰登塔尔强调“学习数学唯一正确的方法是实行再创造，教师的任务是帮助学生进行这种再创造工作而不是把现成知识灌输给学生”，让解题教学更加自然、易于理解，这就是一种再创造的过程.